二项分布经典例题+练习题Word文档格式.docx
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（Ⅰ）求X的分布列;
（Ⅱ）求X的数学期望E（X）.
2．（2012年高考（重庆理））（本小题满分13分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问8分.）
甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获
胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为1,乙每次投篮投中的概率为1,且各次投篮互不32
影响.
（Ⅰ）求甲获胜的概率;
（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望
3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜
4场则比赛宣告结束，假定A,B在每场比赛中获胜的概率都是1，
2试求需要比赛场数的期望．
3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
（Ⅰ）根据已知条件完成下面的22列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别
有关?
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽
样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望E（X）和方差D（X）.
5.（2007陕西理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为4、3、2，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）
该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：
本小题结果可用分数表示
6.一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数的
概率分别布.
（1）每次取出的产品不再放回去；
（2）每次取出的产品仍放回去；
（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.
7.（2007•山东）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．（I）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；
（II）求ξ的分布列和数学期望；
8.
（本题满分12分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠
定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A区域返券60元；
停在B区域返券30元；
停在C区域不返券.例如：
消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.I）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
II）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获
得返券的金额记为X（元），求随机变量X的分布列和数学期望.
9.（本题满分12分）中国•黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：
cm）
湖北理工学院
湖北师范学院
9
15
89
16
12589
650
17
346
72
18
01
1
19
若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。
（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；
（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。
10.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为
1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；
乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
x15678
P0．4ab0．1
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽
取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
4
5
8
6
7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数
X2的数学期望.
11.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？
说明理由。
巩固练习答案
1.【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点.
（Ⅰ）X的可能取值有:
3,4,5,6.
故,所求X的分布列为
（Ⅱ）所求X的数学期望E（X）为:
E（X）=iP（X=i）=.
i=43【答案】
（Ⅰ）见解析;
（Ⅱ）13.
2.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事
件的概率,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式.
解:
设Ak,Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中,则
P（Ak）=,P（Bk）=1,k（1,2,3）
（1）记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互
独立事件同时发生的概率计算公式
知,P（C）=P（A1）+P（A1B1A2）+P（A1B1A2B2A3）
=P（A1）+P（A1）P（B1）P（A2）+P（A1）P（B1）P（A2）P（B2）P（A3）
12112121
=++
3323323
综上知,有分布列
2
P
从而,E=13+29+39=9（次）
3.解：
（1）事件“X=4”表示，A胜4场或B胜4场（即B负4场或A负4场），且两两互斥．
P（X=4）=C44
（1）4
（1）0+C40
（1）0
（1）4=2；
（2）事件“X=5”表示，A在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A负且4场中A负
了3场），且这两者又是互斥的，所以
P（X=5）=1C43
（1）3
（1）4-3+1C41
（1）1
3）类似地，事件“X=6”、“X=7”的概率分别为
比赛场数的分布列为
故比赛的期望为E（X）=42+54+65+75=5.8125（场）
16161616
这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6
场才能分出胜负．
4.【答案及解析】
（I）由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25
人,从而2×
2列联表如下:
由2×
2列联表中数据代入公式计算,得:
因为3.030<
3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.（II）由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为1,由题意,
从而X的分布列为:
【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望E（X）和方差D（X）,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键.
5.（Ⅰ）解法一：
记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为
A（i=1，2，3），
则P（A1）=4，P（A2）=3，P（A3）=2，
该选手被淘汰的概率
P=P（A1+A1A2+A2A2A3）=P（A1）+P（A1）P（A2）+P（A1）P（A2）P（A3）
142433101
=++=．
555555125
（Ⅰ）解法二：
则P（A1）=4，P（A2）=3，P（A3）=2．
P=1-P（A1A2A3）=1-P（A1）P（A2）P（A3）
432101
=1-=．
555125
（Ⅱ）的可能值为1，2，3，P（=1）=P（A1）=1，
428
P（=2）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=42=8，
4312
P（=3）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=43=12．
的分布列为
12
25
181257
E=1+2+3=．
5252525
6.
（1）X的所有可能值为1，2，3，4。
X的分布列为
P（X=1）=7/10，
P（X=2）=3/10×
7/9=7/30，
P（X=3）=3/10×
2/9×
7/8=7/120，
P（X=4）=3/10×
1/8=1/120。
2）X的所有可能值为1，2，3，4。
3）X的所有可能值为1，2，3，4。
8/10=6/25，
2/10×
9/10=27/500，
1/10=3/500。
7.解：
（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的基本事件总数为6×
6=36，满足条件的事件是使方程有实根，则△=b2-4c≥0，即b≥2c下面针对于c的取值进行讨论
当c=1时，b=2，3，4，5，6；
当c=2时，b=3，4，5，6；
当c=3时，b=4，5，6；
当c=4时，b=4，5，6；
当c=5时，b=5，6；
当c=6时，b=5，6，
目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，
因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为19
36
（II）由题意知用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到
ξ=0，1，2
根据第一问做出的结果得到
则P（ξ=0）=17，P（ξ=1）=2=1，P（ξ=2）=17，
36361836
∴ξ的分布列为
8.设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.则P（A）=1,P（B）=1,P（C）=1.
632
Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.
P=P（A）+P（B）=1+1=1
632
即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是1.Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.
随机变量X的可能值为0，30，60，90，120.
………………5分
P（X=30）=12132=13;
P（X=60）=262+33=18;
P（X=90）=13162=91;
P（X=120）=66=36.
…10分
12分9、解：
（1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高
的中位数为：
168+169=168.5.…2分
（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，
按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为58=2人，“非高个子”
20
为512=3人；
则至少有1人为高个子的概率P＝1－C32=7……6分
（3）由题可知：
湖北师范学院的高个子只有3人，则的可能取值
为0,1，2,3；
P（=3）=C3=1，
C356
即的分布列为：
略）
12分
0．1
II）由已知得，样本的频率分布表如下：
X234567
f0．30．20．20．10．1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等
级系数X2的概率分布列如下：
678
P0．30．20．20．10．10．1
所以
EX=3P（X=3）+4P（X=4）+5P（X=5）+6P（X=6）+7P（X=7）+8P（X=8）=30.3+40.2+50.2+60.1+70.1+80.1=4.8.
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为6=1.
因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.8=1.2.
据此，乙厂的产品更具可购买性。
11.（I）首次出现故障发生在保修期内的概率为P=2+3=1
（II）随机变量X1的分布列为随机变量X2的分布列为
139
III）EX=11+23+39=2.86（万元）
1255010
EX=1.81+2.99=2.79（万元）
21010
QEXEX所以应该生产甲品牌汽车。
10.解：
（I）因为EX=6,所以50.4+6a+7b+80.1=6,即6a+7b=3.2.
又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1,即a+b=0.5.
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