公平的竞赛评卷系统Word文件下载.docx
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1．有A,B,C,D四个题目，P所学校参赛，设计一种安全可靠、简单易算的答卷编号加密及解密的数学公式，并保证可更换性。
2．设计出答卷分配给评委的方案，要求每个题组的M个评委不能评阅本校答卷，同时尽量做到答卷分配的广泛及满足特殊要求。
3．为确定评委评卷是否公平，要求给出一种对于评分一致性和公正性的检验方法。
4．面对评委评卷过程中尺度偏差导致的“不公平”现象，构造一种分数的调整公式，给出具体实例，说明方法的可行性。
5．对于评卷工作中会出现的其他问题提出看法并说明理由。
6.现已提供35个学校298个参赛队的具体信息，以及25个评委对评阅的特殊要求，根据这些数据进行分析计算。
要求对问题1，2给出具体的算法及结果。
对问题3，4，5给出模拟数据再进行分析和运算。
二、模型的假设
1.每个参赛学校至多派出一名评卷老师参加评卷。
2.评阅答卷的等概率性：
在保证评卷委员不会评阅本校答卷的前提下，每份答卷分发给各个评卷委员评阅的概率是相等的，即不存在某评卷委员一直评阅优秀答卷，而另一个评卷委员一直评阅较差答卷。
3.评卷委员的独立性：
每位评卷委员在评卷时不会受到外界或其余评卷委员的干扰，完全凭借主观对答卷进行评阅，每位评卷委员都独立自主。
三、模型的符号说明
abcd
代表未被加密的答卷序号
mnpq
用来给答卷序号加密的密钥
efgh
经过加密后的答卷序号密文
评委总数
评阅第i个题组的评委数
答卷总数
第i个题组的答卷数
X
题组数
L
每份答卷被评阅的评委数
第j个评委的广泛度
第j个评委评阅i题的学校总数
第j个评委最大评阅答卷数
运输模型中的运费
满足评委阅卷数量的初始0-1答卷分配矩阵
第k份答卷的加权平均得分
第j个评委评阅第k份答卷的给分
第j个评委评阅第k份答卷的偏差
第k份答卷调整后的分数
评委i给答卷的分数
评委i评阅的所有答卷中分数
出现的次数
四、模型的建立及求解
原始的消息称为明文，而加密后的消息称为密文。
从明文到密文的变换过程成为加密，从密文到明文的变换过程称为解密
。
根据发送方和接收方使用密匙是否相同，将加密技术分为对称加密和非对称加密。
如果收发双方使用不同的密钥，这种加密方法就称为非对称加密。
如果发送方和接受方使用相同的密钥，则称为对称加密。
由于非对称加密解密速度慢，密钥尺寸大
，由于要在尽量短的时间内完成答卷的评阅，所以尽管非对称加密方法的保密性很高，但在答卷编号加密的过程中并不适用。
对称加密中最基本的技术技巧是代换和置换，而单纯的置换密码因为有着与原始明文相同的字母频率特征而易被识破，多部置换密码更安全些，但这种复杂的置换是不容易构造出来的。
综合考虑评阅答卷的时间尽可能短，加密的保密性尽可能好，我们采用对称代换法对答卷序号进行加密。
对称加密的模型如下所示：
加密算法根据明文X和密钥K生成密文
[
],即：
该式表示密文Y是明文X的函数，而具体的函数由密钥K的值决定。
拥有密钥K的接受者可以进行以下转换，以得到明文：
具体函数我们定义如下：
设答卷序号表示为abcd，即上述模型中的明文X，密钥表示为mnpq，即上述模型中的K，加密后的答卷序号表示为efgh，即上述模型中的密文Y。
把明文中各位上的数字与密钥中相应位的数字相加，结果对10求余，所得余数作为密文中对应位的数字。
具体加密表达式为：
根据题目的要求，各答卷的题号为明号，所以只需在得到的密文后加上题号即可得到完整的序号密文。
在解密过程中，只需进行与加密过程相反的运算即可，用密文中各位上的数字与密钥中相应位的数字相减，结果对10求余。
但由于加密过程中是对10求余，如果明文中各位上的数字与密钥相应位的数字之和大于10，那么在进行解密过程时就不能保证密文中各位上的数字与密钥中相应位的数字之差大于零。
例如，取明文中的个位为7，密钥中的个位为5，根据上述加密表达式可得，密文的个位为2。
再根据这个结果进行解密过程，用密文的个位减密钥的个位再对10求余，出现了
的情况。
所以不能简单的相减。
因为在加密过程中对10求余，相当于减掉10的倍数，所以在解密时要相应的加上10的倍数，才能保证密文中各位上的数字与密钥中相应位的数字相减的结果一定大于零。
因为只是小于10的两个数相加，对10求余的结果一定也是个小于10的数，所以在解密表达式中只需给密文的各位数字加10，再进行运算即可满足条件。
具体解密表达式为：
经MATLAB计算，为各答卷序号加密。
部分答卷加密后所得密文如表1所示（全部密文见附录1）：
表1部分答卷密文
明文
密文
0113
5681A
0305
5873A
0604
5172A
0813
5381A
1103
6671A
1313
6881A
0114
5682B
0306
5874B
0605
5173B
0814
5382A
1104
6672A
1314
6882B
0115
5683A
0401
5979A
0606
5174A
0815
5383B
1105
6673B
1315
6883B
0116
5684B
0402
5970B
0607
5175B
0816
5384B
1106
6674B
1401
6979A
0117
5685A
0403
5971A
0608
5176A
0817
5385A
1107
6675A
1402
6970A
0118
5686A
0404
5972A
0609
5177A
0818
5386B
1108
6676A
1403
6971B
0119
5687B
0405
5973A
0610
5188A
0819
5387B
1109
6677B
1404
6972B
0120
5698B
0406
5974B
0701
5279B
0820
5398B
1110
6688B
1405
6973A
0121
5699A
0407
5975B
0702
5270B
0901
5479B
1201
6779A
1406
6974B
0122
5690B
0408
5976A
0703
5271A
0902
5470A
1202
6770B
1407
6975B
对本加密公式的评价：
加密算法能够保证安全性需要尽量满足以下标准：
（1）破译密码的代价超出密文信息的价值
（2）破译密码的时间超出密文的有效生命期。
本加密算法的密钥有
种，若要破译加密算法，根据密文得到正确的明文信息需要很大的工作量，在答卷分数公布之前破解的概率很小，保证了加密算法的保密性。
而且密钥的各位数字是随机选取的，满足可随意变换的条件。
而且加密算法简单易懂，不会浪费大量时间做加密工作，在对答卷进行加密过程中实际可行。
五、模型的计算方法的设计
每个题组的M个评委来自不同学校，给出一种答卷编号分配的数学公式方法，要求回避本校答卷，并且每个评委评阅的答卷尽可能广泛，并满足某些特殊要求。
5.1评阅答卷的评委分配
由于不同题组的数量不同，应使每位评委评阅的答卷数量尽可能平均，即各题组答卷总数与评阅该题组的评委数成正比。
确定了每个题组所需评委的人数之后，先分配有要求的评委，其余评委则在避免本校答卷的前提下随机分配，即可得出答卷分配的方法。
采用目前具有代表性，应用范围最广的最小方差法确定每个题组所需的评委数。
定义方差为
，根据题意，当方差达到最小值时，满足各题组答卷与评阅该题组的评委数最接近正比，同时还必须满足
为整数。
根据题中给出的条件，题组数X=4，评委总数
，答卷总数
，A题答卷数
，B题答卷数
，C题答卷数
，D题答卷数
利用以上的条件可列得方程组：
利用Lingo求解得
即A题需分配8名评委，B题需分配9名评委，C题需分配4名评委，D题需分配4名评委。
由于某些评委有特殊要求，如编号为15，22的只容许评C，D题，编号为26的只容许评A，B题，编号为1，4，6，12，16的评委要求评A题，编号为2，5，7，10的评委要求评B题；
编号为24的评委要求评C题，编号为29的评委要求评D题，并根据已计算出的每个题组所需评委数目，我们将评委的分配情况绘制成表2。
表2分配评委结果
题号
评委编号
A
1，3，4，6，12，16，20，28
B
2，5，7，10，14，17，21，26，30
C
8，13，15，24
D
9，11，22，29
5.2答卷的分配
在上文中我们已经将评委分配到不同的题组中，接下来需要根据各个题组的不同情况，将答卷分配给该题组的评委。
步骤如下：
第一步：
确定每个评委的最大评阅答卷数
，方法是计算某题的答卷总数
与评阅此题的评委总数
之比，不小于此结果的整数即为某评委的最大评阅数
第二步：
将评委的初步分配理解为运输模型，第一步中确定的某评委最大评阅答卷数
为容量，某评委能否评阅某答卷理解为运费
，具体定义不能批阅的答卷运费为1000，可以批阅的答卷运费定义为1，运用Lingo程序中的运输模型的程序，确定满足评委阅卷数量的初始0-1答卷分配矩阵
则此模型可表示为：
第三步：
针对初始方案中有的答卷同时分配给不同评委评阅的不合理情况，运用MATLAB软件进行修正，得到最终的分配方案，使答卷可均匀分配给每一个评委。
第四步：
根据MATLAB的运行结果，将结果中为1的答卷分配给相应评委。
第五步：
如果没有完成所需批阅次数，返回第二步，并将已经批阅的答卷的对应位置的运费设为1000。
如果完成批阅次数，本题组分配结束。
依据以上算法思想，我们以A题为例，得到A题四次分配的结果如表3所示。
表3A题的四次分配
第一次分配
1
020703050408050506090711080409071005110412071312
3
0101010402010403050806040706081009021008120613131605
4
01050203030105040606070508090903140215011806
6
011301270208040406080801121013021411150417101901
12
01210303013004050506070708131002130717011710
16
010801260410060209081107130313041405160417021805
20
011101170502061007030817090611031201130117031903
28
011804010507051107100814090910041108130314101704
第二次分配
040505080604080108130902120613011313130314021703
060206090710080408140906090911031210130214051704
010401080207030505060707100411081201130717021901
010501170118030304010504071109081005110717011806
012102080301041005070606090311041410150416051805
010101110203040805050608070508101002150117101903
01130115012601300201040304040706090714011604
012705020511061007030809081710081207130413121411
第三次分配
050205040703071009081008110312011302140114051501
010101150505070507110814090711041207130314021504
010401270403050706100706081309091313140816041701
010801210506060907070810100811081312141017041710
010501260207040805080608080911071206130113041901
01110117020803010511060608041210170217031806
011802030303041006020604081709031002100414111903
011301300201030504010405080109020906160517071805
第四次分配
020104010511060206040711081709021103160417031903
011502030117040305080606071009061005110414111805
011301180303040405070608070709030814100813131501
011101210408050506090801090711071207130113121704
010801260405050606100804100211081302140115041710
010501270305050207030809090812011303140217021806
010401300301041007050810090912061304140516051901
01010207020805040706081310041210130714101701
与A题的分配方法相同，将B,C,D题进行了四次分配，完整的分配方案见附录2。
分配结果表明，每一个评委都没有批阅到本学校的答卷，满足回避本校答卷的要求。
有特殊要求的评委由于被最先分配，也被分配到要求的题组中。
下面进行每个评委评阅的答卷广泛度的检验：
首先，我们将某评委的广泛度定义为此评委评阅某一题的学校数与一共选做此题目的学校总数之比。
即：
依据以上的分配方案，针对广泛度公式中需要的参数，统计评委评阅某一题的学校数量以及选做此题目的学校总数，统计结果如表4所示：
表4计算广泛度所需参数
2
5
7
8
9
10
11
13
评委评阅学校数
17
18
某题组总学校数
19
14
15
21
22
24
26
29
30
利用表4中数据及广泛度公式，我们计算得到各评委的广泛度如表5所示：
表525位评委的广泛度
广泛度（%）
89.47
94.74
100
94.12
94.44
表5数据显示，所有的评委的阅卷广泛度都在89%以上，由此可以说明，评阅答卷的分配满足了所有评委阅卷尽可能广泛的要求。
六、计算机实现
1.加密程序
%加密密钥=5578；
loadxuhao
c=5;
d=5;
e=7;
f=8;
q=floor（xuhao/1000）;
qm=rem（q+c,10）;
b=floor（（xuhao-q*1000）/100）;
bm=rem（b+d,10）;
s=floor（（xuhao-q*1000-b*100）/10）;
sm=rem（s+e,10）;
g=floor（xuhao-q*1000-b*100-s*10）;
gm=rem（g+f,10）;
m=qm*1000+bm*100+sm*10+gm;
2.解密程序
%解密
q_=floor（m/1000）;
qm_=rem（q_+10-c,10）;
b_=floor（（m-q_*1000）/100）;
bm_=rem（b_+10-d,10）;
s_=floor（（m-q_*1000-b_*100）/10）;
sm_=rem（s_+10-e,10）;
g_=floor（m-q_*1000-b_*100-s_*10）;
gm_=rem（g_+10-f,10）;
m_=qm_*1000+bm_*100+sm_*10+gm_;
3.各题组评委数量分配
MIN=（298/25-95/M1）^2+（298/25-107/M2）^2+（298/25-50/M3）^2+（298/25-46/M4）^2;
M1+M2+M3+M4=25;
@gin（M1）;
@gin（M2）;
@gin（M3）;
@gin（M4）;
结果：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
0.5157929
Extendedsolversteps:
9
Totalsolveriterations:
914
VariableValueReducedCost
M18.0000000.1335894
M29.0000000.8219132E-01
M34.000000-3.624979
M44.0000002.414985
RowSlackorSurplusDualPrice
10.5157929-1.000000
20.0000000.000000
4.答卷初始分配方案的Lingo程序
!
A95warehouse,8customer
transportationproblem;
sets:
warehouse/wh1,wh2,wh3..wh95/:
capacity;
customer/c1,c2,c3..c8/:
demand;
routes（warehouse,customer）:
cost,volume;
endsets
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