新人教A版必修3学年高中数学第2章统计213分层抽样学案Word文档格式.docx
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[答案] C
分层抽样的依据
（1）适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．
（2）样本能更充分地反映总体的情况．
（3）等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．
[针对训练1] 下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是（ ）
A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C．某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量
D．从50个零件中抽取5个做质量检验
[解析] A的总体容量较大，宜采用系统抽样方法；
B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；
C总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层抽样方法；
D与B类似．
题型二分层抽样的设计
【典例2】 某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工只能参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%；
登山组的职工占参加活动总人数的
，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：
（1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
（2）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
[解]
（1）设登山组人数为x，游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为a，b，c，则有
＝47.5%，
＝10%，
解得b＝50%，c＝10%，故a＝100%－50%－10%＝40%，
即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例为40%,50%,10%.
（2）游泳组中，抽取的青年人人数为200×
×
40%＝60；
抽取的中年人人数为200×
50%＝75；
抽取的老年人人数为200×
10%＝15.
即游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为60,75,15.
分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法
（1）已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比
，其中N为总体容量，n为样本容量；
然后确定每层抽取的个体的个数ni＝Ni×
，其中Ni为第i（i＝1,2，…，k）层的个体数，ni为第i层应抽取的个体数．
（2）已知各层个体数之比为m1∶m2∶…∶mk，样本容量为n时，每层抽取的个体数为ni＝n×
（i＝1,2，…，k）．
[针对训练2] 某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）
一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
A.24B．18C．16D．12
[解析] 依题意知，二年级的女生有380名，那么三年级学生的人数应该是2000－373－377－380－370＝500，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为
64＝16.
题型三抽样方法的综合应用
【典例3】 某学校有职工140人，其中教师91人、教辅行政人员28人、总务后勤人员21人．为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本．以下的抽样方法中，与方法1、方法2对应正确的抽样方法是（ ）
方法1：
将140人从1～140编号，然后制作出标有1～140的形状、大小相同的号签，并将号签放入同一箱子里均匀搅拌，然后从中抽出20个号签，编号与号签相同的20个人被选出．
方法2：
按20∶140＝1∶7的比例，从教师中抽出13人，从教辅行政人员中抽出4人，从总务后勤人员中抽取3人．从各类人员中抽取所需人员时，均采用随机数表法，可抽到20人．
A．分层抽样 简单随机抽样
B．分层抽样 分层抽样
C．简单随机抽样 分层抽样
D．简单随机抽样 简单随机抽样
[解析] 结合简单随机抽样、分层抽样的概念判断，方法1是简单随机抽样，方法2是分层抽样．
抽样方法的选择
第一步，看总体是否由差异明显的几个层次组成．若是，则选用分层抽样；
否则，考虑用简单随机抽样．
第二步，看总体容量和样本容量的大小．当总体容量较小时，采用抽签法；
当总体容量较大、样本容量较小时，采用随机数表法．
[针对训练3] ①教育局督学组到校检查工作，临时需在每班各抽调两人参加座谈；
②某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90～119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；
③某班春节聚会，要产生两位“幸运者”．就这三件事，合适的抽样方法分别为（ ）
A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样
B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样
C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样
D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样
[解析] ①每班各抽两人需用系统抽样．②由于学生分成了差异比较大的几层，应用分层抽样．③由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样．故选D.
[答案] D
课堂归纳小结
1．对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式求解
（1）
＝
；
（2）总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比．
2．选择抽样方法的规律
（1）当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号
签容易搅匀，可采用抽签法．
（2）当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法．
（3）当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样法．
1．简单随机抽样和分层抽样之间的共同点是（ ）
A．都是从总体中逐个抽取的
B．抽样过程中每个个体被抽到的机会是相等的
C．将总体分成几层，然后各层按照比例抽取
D．两者之间没有共同点
[解析] 由三种抽样方法的定义可知，在抽样过程中每个个体被抽到的机会相等，所以选B.
[答案] B
2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
[解析] 设在高二年级学生中抽取的人数为x，则
，解得x＝8.
3．为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求（ ）
A．每层不等可能抽样
B．每层抽取的个体数相等
C．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n
（i＝1,2，…，k）个个体．（其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量）
D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制
[解析] A不正确．B中由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体数，显然从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了，因此B也不正确．C中对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数无关，即对于每个个体来说，被抽取的可能性是相同的，故C正确．D不正确．
4．某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ ）
A．100B．150C．200D．250
[解析] 抽样比为
，该校总人数为1500＋3500＝5000，则
，故n＝100.
[答案] A
5．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；
在丙地区有10个特大型销售点，要从中抽取7个销售点调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次为（ ）
A．分层抽样法，系统抽样法
B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法
D．简单随机抽样法，分层抽样法
[解析] 由调查①可知个体差异明显，故宜用分层抽样；
调查②中个体较少，故宜用简单随机抽样．
课后作业（十二）
（时间45分钟）
学业水平合格练（时间25分钟）
1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A．抽签法B．随机数法
C．系统抽样法D．分层抽样法
[解析] 由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法．
2．将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取（ ）
A．12,6,3B．12,3,6
C．3,6,12D．3,12,6
[解析] 由分层抽样的概念，知A，B，C三种性质的个体应分别抽取21×
＝3,21×
＝6,21×
＝12.
3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、肉食品类、果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）
A．4B．5C．6D．7
[解析] 四类食品的比例为4132，则抽取的植物油类的数量为20×
＝2，抽取的果蔬类的数量为20×
＝4，二者之和为6，故选C.
4．问题：
①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；
②从20名学生中选出3名参加座谈会．
方法：
Ⅰ.简单随机抽样；
Ⅱ.分层抽样．其中问题与方法能配对的是（ ）
A．①Ⅰ，②ⅡB．①Ⅱ，②Ⅰ
C．①Ⅰ，②ⅠD．①Ⅱ，②Ⅱ
[解析] 对于①，由于箱子颜色差异较为明显，可采用分层抽样方法抽取样本；
对于②，由于总体容量、样本容量都较小，宜采用简单随机抽样．
5．共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如下表所示：
年龄
12～20岁
20～30岁
30～40岁
40岁
及以上
比例
14%
45.5%
34.5%
6%
为调查共享单车使用满意率情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20～30岁的人数为（ ）
A．12B．28C．69D．91
[解析] 由分层抽样的定义得，应抽取20～30岁的人数为200×
45.5%＝91，故选D.
6．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
[解析] ∵300×
＝60，∴取60人．
[答案] 60
7．防疫站对学生进行身体健康调查．红星中学共有学生1600名，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是________．
[解析] 设该校的女生人数是x，则男生人数是1600－x，抽样比是
，则
x＝
（1600－x）－10，解得x＝760.
[答案] 760
8．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：
120份，180份，240份，x份，因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为________．
[解析] 由题意可得
，解得x＝360，故在15～16岁学生中抽取的问卷份数为360×
＝120.
[答案] 120
9．一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为32523，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？
并写出具体过程．
[解] 因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而应采用分层抽样的方法．具体过程如下：
①将3万人分成5层，一个乡镇为一层．
②按照各乡镇的人口比例随机抽取各乡镇的样本：
300×
＝60（人），300×
＝40（人），
＝100（人），300×
＝60（人）．
各乡镇分别用分层抽样抽取的人数分别为60,40,100,40,60.
③将抽取的这300人组到一起，即得到一个样本．
10．为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：
人）
高校
相关人数
抽取人数
A
1
B
36
C
54
3
（1）求x、y；
（2）若从高校B相关的人中选2人作专题发言，应采用什么抽样法，请写出合理的抽样过程．
[解]
（1）分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有：
⇒x＝18，
⇒y＝2，故x＝18，y＝2.
（2）总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：
第一步，将36人随机的编号，号码为1,2,3，…，36；
第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；
第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次抽取2个号码，并记录上面的编号；
第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本．
应试能力等级练（时间20分钟）
11．某初级中学共有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人进行某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为001,002,003，…，270；
使用系统抽样时，将学生统一随机编号为001,002,003，…，270，并将整个编号平均分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：
①007,034,061,088,115,142,169,196,223,250；
②005,009,100,107,111,121,180,195,200,265；
③011,038,065,092,119,146,173,200,227,254；
④036,062,088,114,140,166,192,218,244,270.
关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
A．②③都不能为系统抽样
B．②④都不能为分层抽样
C．①④都可能为系统抽样
D．①③都可能为分层抽样
[解析] 系统抽样又称为“等距抽样”，做到等距的有①③④，但只做到等距还不一定是系统抽样，还应做到10段中每段要抽1个，检查这一点只需看第一个编号是否在001～027范围内，结果发现④不符合，同时，若为系统抽样，则分段间隔k＝
＝27，④也不符合这一要求，所以可能是系统抽样的为①③，因此排除A，C；
若采用分层抽样，一、二、三年级的人数比例为4∶3∶3，由于共抽取10人，所以三个年级应分别抽取4人、3人、3人，即在001～108范围内要有4个编号，在109～189和190～270范围内要分别有3个编号，符合此要求的有①②③，即它们都可能为分层抽样（其中①③在每一层内采用了系统抽样，②在每一层内采用了简单随机抽样），所以排除B.
12．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．
①采用随机抽样法，将零件编号为00,01，…，99，抽签取出20个；
②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；
③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．对于上述抽样方式，下面说法正确的是（ ）
A．不论哪一种抽样方法，这100个零件中每一个个体被抽到的概率都是
B．①②两种抽样方法中，这100个零件每一个个体被抽到的概率为
，③并非如此
C．①③两种抽样方法中，这100个零件中每一个个体被抽到的概率为
，②并非如此
D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个个体被抽到的概率是不同的
[解析] 虽然三种抽样方式、方法不同，但最终每个个体被抽取的机会是均等的，这正说明了三种抽样方法的科学性和可行性．
13．古代科举制度始于隋而成于唐，完善于宋、元．明代则处于其发展的鼎盛阶段．其中表现之一为会试分南卷、北卷、中卷，按比例录取，其录取比例为11∶7∶2.若明宣德五年会试录取人数为100，则中卷录取人数为____________．
[解析] 由题意知，明宣德五年会试录取人数为100，则中卷录取人数为100×
＝10（人）．
[答案] 10（人）
14．某机关老年、中年、青年的人数分别为18,12,6，现从中抽取一个容量为n的样本，若采用系统抽样和分层抽样，则不用剔除个体．当样本容量增加1时，若采用系统抽样，需在总体中剔除1个个体，则样本容量n＝____________.
[解析] 当样本容量为n时，因为采用系统抽样时不用剔除个体，所以n是18＋12＋6＝36的约数，n可能为1,2,3,4,6,9,12,18,36.因为采用分层抽样时不用剔除个体，所以
18＝
，
12＝
6＝
均是整数，所以n可能为6,12,18,36.又因为当样本容量增加1时，需要剔除1个个体，才能用系统抽样，所以n＋1是35的约数，而n＋1可能为7,13,19,37，所以n＋1＝7，所以n＝6.
[答案] 6
15．为了考察某校的教学水平，将对这个学校高三年级的部分学生的本学年考试成绩进行考察，为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查：
（已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同）
①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；
②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；
③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察．（已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）
根据上面的叙述，试回答下列问题．
（1）上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？
每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
（2）上面三种抽取方式中各自采用何种抽取样本的方法？
（3）试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤．
[解]
（1）这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；
第二种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；
第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.
（2）上面三种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；
第二种方式采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法；
第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法．
（3）第一种方式抽样的步骤如下：
第一步，首先在这20个班中用抽签法任意抽取一个班．
第二步，然后从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩．
第二种方式抽样的步骤如下：
第一步，首先在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为a.
第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，共计19人．
第三种方式抽样的步骤如下：
第一步，分层．
因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次．
第二步，确定各个层次抽取的人数．
因为样本容量与总体的个体数比为1001000＝110，所以在每个层次抽取的个体数依次为
，即15,60,25.
第三步，按层次分别抽取：
在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；
在良好生中用系统抽样法抽取60人；
在普通生中用简单随机抽样法抽取25人．
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