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(5)乘法公式

平方差公式两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,即:

完全平方公式两数和(或差)的平方,等于它的平方和加上(或者减去)它们积的2倍,即:

五、因式分解

把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种式子的变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。

六、因式分解的基本方法

(1)提取公因式法:

如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,即:

(2)运用公式法:

把乘法公式反过来对某些多项式分解因式,

(3)十字相乘法:

型式子的因式分解,

(4)分组分解法:

利用分组来分解因式的方法。

①分组后能直接提公因式;

②分组后能直接运用公式;

七、因式分解的一般步骤

(1)多项式的各项有公因式时,先提公因式。

(2)各项没有公因式时,要看看能不能用公式法来分解。

(3)如果用上述方法不能分解因式,再看能不能运用分组分解法。

(4)分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。

八、整式的除法

单项式除以单项式,把系数、同底数幂相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以单项式,把这个多项式的每一项除以这个单项式,然后把所得的商相加。

第十章分式

(一)知识要点:

1.分式的概念:

A、B表示两个整式,A÷

B(B≠0)可以表示为

的形式,如果B中含有字母,那么我们把式子

(B≠0)叫分式,其中A叫分子,B叫分母。

关于分式概念的两点说明:

i)分式的分子中可以含有字母,也可以不含字母,但分母中必须含有字母,这是分式与整式的根本区别。

ii)分式中的分母不能为零,是分式概念的组成部分,只有分式的分母不为零,分式才有意义,因此,若分式有意义,则分母的值不为零(所谓分母的值不为零,就是分母中字母不能取使分母为零的那些值)反之,分母的值不为零时,分式有意义。

2.分式的值为零

分式的值为零

3.有理式的概念

4.分式的基本性质

(1)分式的分子、分母乘同一个不等于零的整式,分式的值不变。

(2)分式的分子、分母除以同一个不等于零的整式,分式的值不变。

注:

(1)分式的基本性质表达式中的M是不为零的整式。

(2)分式的基本性质中“分式的值不变”表示分式的基本性质是恒等变形。

5.分式的符号法则:

分式的分子、分母和分式本身的符号,改变其中的任何两个,分式的值不变。

6.约分:

把分式中分子和分母的公因式约去,叫约分。

约分的理论依据是分式的基本性质。

约分后的结果不一定是分式。

约分的步骤:

(1)分式的分子、分母能分解因式的分解因式写成积的形式。

(2)分子、分母都除以它们的公因式。

7.最简分式:

如果一个分式的分子与分母没有公因式,这个分式就叫最简分式。

8.分式的运算:

(1)分式乘法:

(2)分式除法:

i)分式的乘除法运算,归根到底是乘法运算。

ii)分式的乘法运算,可以先约分,再相乘。

iii)分式的分子或分母是多项式的先分解因式,再约分,再相乘。

(3)乘方:

(n为正整数)

(4)通分:

在不改变分式的值的情况下,把几个异分母的分式化为同分母分式的变形叫通分。

分式通分的依据是分式的基本性质。

最简公分母:

几个分式中各分母的数字因数的最小公倍数与所有字母(因式)的最高次幂的积叫这几个分式的最简公分母。

(5)分式的加减法:

同分母:

异分母:

(6)混合运算:

做分式的混合运算时,先乘方,再乘除,最后再加减,有括号先算括号内的。

 

9.分式方程:

分母里含有未知数的方程叫分式方程。

分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别,分母中含未知数就是分式方程,否则就为整式方程。

10.列分式方程的一般步骤:

(1)方程两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程。

(2)列整式方程,求得整式方程的根。

(3)验根:

把求得的整式方程的根代入A,使最简公分母等于0的根是增根,否则是原方程的根。

(4)确定原分式方程解的情况,即有解或无解。

11.增根的概念:

在分式方程去分母转化为整式方程的过程中,可能会增加使原分式方程中分式的分母为零的根,这个根叫原方程的增根,因此列分式方程一定要验根。

增根不是解题错误造成的。

12.列方程解应用题步骤:

审、设、列、解、验、答。

13、整数的负指数幂及其运算

零指数和负整数指数

规定

第十一章图形的平移与旋转

1.图形的平移

(1)平移的概念:

在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的形状和大小.

注意:

①平移是运动的一种形式,是图形变换的一种,本讲的平移是指平面图形

在同一平面内的变换.

②图形的平移有两个要素:

一是图形平移的方向,二是图形平移的距离,这两个要素是图形平移的依据.

③图形的平移是指图形整体的平移,经过平移后的图形,与原图形相比,只改变了位置,而不改变图形的大小,这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.

(2)平移的基本性质:

由平移的基本概念知,经过平移,图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离,平移不改变图形的形状和大小,因此平移具有下列性质:

经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.

①要正确找出“对应线段,对应角”,从而正确表达基本性质的特征.

②“对应点所连的线段平行且相等”,这个基本性质既可作为平移图形之间的性质,又可作为平移作图的依据.

(3)简单的平移作图

平移作图:

确定一个图形平移后的位置所需条件为:

①图形原来的位置;

②平移的方向;

③平移的距离.

2.图形的旋转

(1)旋转的概念:

图形绕着某一点(固定)转动的过程,称为旋转,这一固定点叫做旋转中心。

理解旋转这一概念应注意以下两点:

①旋转和平移一样是图形的一种基本变换;

②图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度.

(2)旋转的基本性质:

图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段、对应角都相等,图形的形状、大小都不发生变化.

(3)简单图形的旋转作图

两种情况:

①给出绕着旋转的定点,旋转方向和旋转角的大小;

②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点.

作图步骤:

①作出图形的几个关键点旋转后的对应点;

②顺次连接各点得到旋转后的图形.

(4)图案设计:

图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到的。

其中中心对称是旋转变换的一种特例。

旋转对称图形:

把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角.(旋转角00<

<

3600).

中心对称图形:

如果把一个图形绕着一个定点旋转1800后,与初始图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.

3.图形的翻折

图形的翻折

1、轴对称图形:

把一个图形沿某一条直线翻折过来,直线两旁的部分能够相互重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴。

2、如果把一个图形沿某一条直线翻折,能与另一个图形重合,那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做对称轴,两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对应点。

第十二章实数

1.为什么学平方根、立方根:

2.算术平方根的概念:

3.算术平方根具有非负性:

4.平方根的概念:

5.平方根的特性:

6.开平方:

7.立方根概念:

8.立方根的特性:

9.开立方:

10.实数的意义:

11.实数的分类:

12.实数范围内求相反数、倒数、绝对值:

13.实数与数轴上的点是一一对应的:

14.分数指数幂

知识归纳

一.实数的概念:

1.数的分类及概念

数系表:

说明:

“分类”的原则:

1)相称(不重、不漏)

2)有标准

2.非负数:

正实数与零的统称。

(表为:

x≥0)

常见的非负数有:

性质:

若干个非负数的和为0,则每个非负数均为0。

3.数轴:

①定义(“三要素”)

②作用:

A.直观地比较实数的大小;

B.明确体现绝对值意义;

C.建立点与实数的一一对应关系。

二.实数的运算

(1)加法

同号两数相加,取原来的符号,并把绝对值相加;

异号两数相加。

取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;

任何数与零相加等于原数。

(2)减法a-b=a+(-b)

(3)乘法

两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;

零乘以任何数都得零.即

(4)除法

(5)乘方

(6)开方如果x2=a且x≥0,那么

=x;

如果x3=a,那么

在同一个式于里,先乘方、开方,然后乘、除,最后加、减.有括号时,先算括号里面.

3.实数的运算律

(1)加法交换律a+b=b+a

(2)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)

(3)乘法交换律ab=ba.

(4)乘法结合律(ab)c=a(bc)

(5)分配律a(b+c)=ab+ac

其中a、b、c表示任意实数.运用运算律有时可使运算简便.

第十三章相交线与平行线

1、相交直线:

只有一个交点

邻补角

对顶角

斜交-----角平分线

垂直-----垂直的基本性质

-----点到直线的距离

-----线段的垂直平分线

两条直线被第三条直线所截-----同位角

-----内错角

-----同旁内角

2、平行直线:

没有交点

平行线的性质定理

平行线的判定定理

平行线:

在同一平面内,__________的两条直线叫做平行线。

在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:

__________。

相交时,对顶角相等。

平行线的判定:

(1)同位角__________,两直线平行。

(2)内错角相等,两直线__________。

(3)同旁内角__________,两直线平行。

(4)平行(或垂直)于同一直线的两直线__________。

平行线的性质:

(1)经过直线外一点,有且只有________条直线与这条直线平行。

(2)两直线平行,同位角__________。

(3)两直线平行,内错角__________。

(4)两直线平行,同旁内角__________.

(5)一条直线和两条平行线中的一条垂直(或平行),这条直线也和__________垂直(或平行).

(6)平行线间的距离处处__________。

(7)经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分__________。

考点透视

1、了解直线、线段和射线等概概念的区别,两条相交直线确定一个交点,了解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、直角、锐角、钝角等概念,掌握两点确定一条直线的性质,角平分线的概念,度、分、秒的换算,几何图形的符号表示法,会根据几何语句准确、整洁地画出相应的图形;

2、了解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念,了解垂线段最短的性质,平行线的基本性质,理解对顶角、补角、邻补角的概念,理解对顶角的性质,同角或等角的补角相等的性质,掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念,会识辨别同位角、内错角和同旁内角,会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算,会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行。

第十四章全等三角形

一、全等三角形概念与性质:

1、全等形:

能够重合的两个图形叫做全等形。

(1)在数学上,两个图形可以完全重合,或者说两个物体大小、形状完全相等,那么这两个物体全等。

“全等”用符号“≌”表示,读作“全等于”。

  

(2)一个图形经过翻折、平移和旋转变换所得到的新图形一定与原图形全等。

反过来,两个全等的图形经过上述变换后一定可以互相重合。

  (3)两个多边形全等,互相重合的顶点叫对应顶点,互相重合的边叫对应边,互相重合角的叫对应角。

2、两个三角形是全等形,就说它们是全等三角形。

两个全等三角形,经过运动后一定重合,互相重合的顶点叫做对应顶点;

互相重合的边叫做对应边;

互相重合的角叫做对应角。

3、全等三角形的性质:

两个三角形的三组对应边相等、三组对应角相等。

推出:

(1)周长相等

(2)面积相等

二、全等三角形的判定定理:

边角边公理(SAS):

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

角边角公理(ASA):

有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

角角边公理(AAS):

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等

边边边公理(SSS):

三边对应相等的两个三角形全等

 注意:

在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

第十四章三角形

⒈三角形的定义:

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

⒉三角形的分类:

(1)按角分类:

(2)按边分类:

等腰三角形的性质:

等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”)

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,简称“等腰三角形的三线合一”.

等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线为对称轴.

等腰三角形的判定:

有两条边相等的三角形是等腰三角形 

——等腰三角形的定义

等角对等边。

⒊三角形的主要线段的定义:

(1)三角形的角平分线:

三角形的一个角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三象形的角平分线.

(2)三角形的中线:

在三角形中,连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.

(3)三角形的高:

从三角形一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.

4.三角形的高

请你在图中画出△ABC的一条高并说说你画法。

从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高,表示为AD⊥BC于点D。

高与垂线不同,高是线段,垂线是直线。

三角形的三条高相交于一点

如果△ABC是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗?

现在我们来画钝角三角形三边上的高,如图。

显然,上面的结论成立。

请你画一个直角三角形,再画出它三边上的高。

上面的结论还成立。

5.三角形的中线

如图,我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线,表示为BD=DC或BD=DC=1/2BC或2BD=2DC=BC.

请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线,看看有什么发现?

三角的三条中线相交于一点

如果三角形是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗?

请画图回答。

6.三角形的角平分线

如图,画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD=∠BAC。

思考:

三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗?

三角形的角平分线是线段,而角的平分线是射线,是不一样的。

请你在图中再画出另两个角的平分线,看看有什么发现?

三角形三个角的平分线相交于一点

想一想:

三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同?

三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部,而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部,直角三角形三条高的交战在角直角顶点,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

7.三角形的角与角之间的关系:

(1)三角形三个内角的和等于180;

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

(4)直角三角形的两个锐角互余.

8.三角形的边与边之间的关系:

(1)三角形两边的和大于第三边;

(2)三角形两边的差小于第三边;

⒎三角形的角与角之间的关系:

第十五章平面直角坐标系

1、平面直角坐标系的有关概念:

2、如何建立平面直角坐标系?

①在平面内取互相垂直有公共原点的两条数轴;

②取向右,向上的方向为正方向;

③两条数轴的单位长度相同。

3、平面内的每一点都对应有惟一的有序实数对。

4、各象限内点的特点:

x轴、y轴不属于任何象限,原点O既在x轴上又在y轴上。

5、点P(a,b)到x轴的距离为|b|,到y轴的距离为|a|。

6、特殊位置的点的坐标的特征:

(1)坐标轴上的点:

①点P的坐标为(a,0)

点P在x轴上;

②点P的坐标为(0,b)

点P在y轴上;

(2)各象限内的点:

①点P

在第一象限

②点P(a,b)在第二象限

③点P(a,b)在第三象限

④点P(a,b)在第四象限

7、具有特殊位置关系的两点之间的坐标关系;

(1)关于坐标轴或原点对称的两点,根据对称的性质,如图4,有

①点P(a,b)关于x轴对称点坐标为

②点P(a,b)关于y轴对称点坐标为

③点P(a,b)关于原点对称点坐标为

)。

(2)连线平行于坐标轴的两点,连线平行于x轴的两点的纵坐标相同,连线平行于y轴的两点的横坐标相同。

8、在平面直角坐标系中,

(1)将点

向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点

(或

);

(2)将点

向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点

其中,

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