相交线垂线Word格式.docx

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∵OC是AOB的平分线

∴AOC=COB（或AOC=

AOB）

反之

∵AOC=COB（或AOC=

则OC是AOB的平分线。

对顶角定义“一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角”

⑵要理解点到直线的距离

理解概念，要从定义出发，定义是反映概念最基本的属性，“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离，”距离是指长度，点到直线的距离是指一条线段的长度，什么样的线段呢？

从这点到直线作垂线，这点到垂足之间线段。

这条垂线段的长度，就是点到直线的距离。

具体表示出来是一个正数，而不是一个图形，但这个概念可以通过具体图形来表示。

垂线段PM表示点P到直线AB的距离（图2）。

⑶用比较法认识图形

初学者在辨认某些图形时较为困难，因而采用比较的方法，让正位图形与变式图形进行比较进行判断。

如

从图3中I图的正位图形，去认识II图中的同位角、内错角和同旁内角。

II图，AB、CD被AD所截，5和ADC是同位角；

AB、CD被DB所截，1和4是内错角；

AB、CD被BC所截，DCB与ABC是同旁内角。

【思维基础】

一、填空：

⑴一个角的两边分别是另一个角的两边的______叫做对顶角。

⑵如图4，直线AB、CD相交于O，如果1=30，那么2=_____，根据___________；

AOC=_______，根据_____________。

⑶如图5，直线AB、CD、EF相交于O，1的对顶角是_______；

FOA的对顶角是______；

如果1=40，2=20，则AOD=___________；

图中共有______对对顶角。

⑷两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线______，其中的一条直线______________。

⑸经过一点有______直线与已知直线垂直。

⑹直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，__________________。

⑺从直线外一点到这条直线的___________，叫做点到直线的距离。

⑻如图6，1和C_______角；

2和D是_______角；

3和D是_______角；

2和3是______角，直线AB、CD被ED所截的同旁内角是_____和_____。

二、判断题：

⑴两条直线相交，就产生对顶角。

（）

⑵直线的垂直平分线也叫中垂线。

⑶对顶角的余角相等。

⑷两条直线相交，如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。

【精典题解】

⒈填注理由（图7）

⑴∵AOOB于O

∴AOB=90（）

⑵∵AOB是直角

⑶∵AOC与BOC互为余角，

∴AOC+BOC=90（）

⑷∵BOOA（已知）

∴BOA=90（①）

即AOC+BOC=90

∵OE平分BOC（已知）

∴EOC=

BOC（②）

∵OD平分COA（已知）

∴DOC=

COA（③）

∵AOC+BOC=90

∴

AOC+

BOC=45

思考：

⒈括号内要填写哪些内容？

为什么？

⒉请你叙述角平分线定义，垂直定义。

思路分析：

学习数学要讲“理”，学习代数与学习几何过程讲“理”的表现形式不同，在学习几何讲“理”的最简形式就是“∵，∴”。

因为说是条件，所以说的是结论，有原因才得结果，填理由，就是填上根据什么才能得到结果。

这个根据就是“已知”、“定义”、“图形性质”等等。

常常有不同的依据而得出相同结论，如上例中⑴、⑵、⑶就是如此。

⑴因为有了两直线垂直才得到了AOB=90，所以它的理由是“垂直定义”。

⑵因为AOB是直角，才有AOB=90，所以填注的理由应该是“直角定义”。

⑶因为AOC与BOC互为余角，才有AOB=90，所以应填注的理由是“互为余角定义”。

⑷由上述分析，阅读本题，填注理由就不困难了。

①垂直定义；

②角平分线定义；

③角平分线定义。

⒉选择题（图8）OAOB，OCOD，则（）

（A）1=2（B）2=3

（C）1=3（D）以上都不对

⒈互为余角的两角有何关系？

⒉你会用数学式子表示互余角的关系吗？

举例说明。

思路分析：

观察图形和已知条件，并相对照，然后思考，1和2是什么关系？

2和3是什么关系？

1和2互为余角，你知道为什么吗？

2和3互为余角，你知道为什么吗？

互为余角的角，有什么数量关系？

∵OAOB（）

∴AOB=90（）

即1+2=90①

∵OCOD（）

∴COD=90（）

即2+3=90②

比较①和②两式可知1=3

所以正确答案该选择（C）

小结：

这就证明了“同角的余角相等”。

【创新园地】

用一对直角三角板，你能画出15角吗？

还能画出哪些这样的角？

三、智能显示

⒈如图9，直线AB、CD相交于O，OE是射线，已知1=2，又AOE=100，求DOB的度数。

⒉如图10，直线AB、CD相交于O，OECD于O，OFAB于O，1=65，求BOE的度数。

⒊如图11，直线CD截AB、EF所成的同位角互补，1=50，求2的度数。

⒋自钝角的顶点引它的一边的垂线，把这个钝角分成两个角的度数比是2:

3，求钝角的大小。

【参考答案】

⒈∵COD是平角（已知）

∴1+2+100=180（平角定义）

∴1+2=80

∵1=2（已知）

∴22=80，2=40

∵2=DOB（对顶角相等）

∴DOB=40

⒉∵OECD（已知）

∴DOE=90（垂直定义）

即2+BOE=90①

∵OFAB（已知）

∴FOB=90（垂直定义）

即1+2=90②

比较①、②可知

1=BOE

∵1=65

∴BOE=65

⒊∵1与3是同位角（已知）

又1+3=180（已知）

即3=180－1

∵1=50

∴3=130

∵2和3是对顶角

∴2=130（对顶角相等）

⒋这个钝角是150（图12）

四、同步题库

一、填空题

1.如图2-12A，∠1和∠4是，∠2和∠3是，∠2和∠4是.

图2-12A图2-12B图2-13

2.如图2-12B，∠BEF的同位角是，内错角是，同旁内角是.

3.如图2-13，∠1和∠2是直线和被直线所截成的.

4.如图2-14，直线a、b、c两两相交，共构成对对顶角.

图2-14图2-15图2-16

5.如图2-15，∵∠BOC=90°

（已知）

∴⊥（）

6.如图2-16，∵AB⊥CD（已知）

∴=90°

7.如图2-17,∠1和∠2是角,∠3和是内错角,∠4和∠5是角.

图2-17图2-18图2-19

8.如图2-18,∠1和∠2互为余角,EF⊥AB，则∠1=；

∠2=.

9.如图2-19，直线AB、CD、EF相交于O点，则∠AOC=，∠COE=，∠AOC的邻补角是.

10.如图2-20，∠AOB是直角，C、O、D三点共线，∠AOC=25°

，则∠AOC的余角的补角为.

11.如图2-21，已知直线AB、CD相交于点O，OE是∠DOB的平分线，设∠AOC=70°

，则∠EOB=.

图2-20图2-21图2-22

12.如图2-22，直线AB、CD、EF相交于点O，写出∠AOE和∠DOF的对顶角与.

13.过一点与已知直线垂直.

14.如图2-23，∠1和∠C是直线和直线被直线截成的.

15.如图2-24，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOC=70°

，则∠BOD与∠COB的度数为，.

图2-23图2-24

二、选择题

16.如图2-25，O是直线AB上的一点，OC⊥OD,以下两个结论:

①∠AOC与∠BOD互为余角

②∠AOC、∠COD、∠BOD互为补角

它们的正确与否应是.

（A）①②都正确（B）①正确②不正确

（C）①不正确②正确（D）①②都不正确

图2-25

17.如图2-26，∠1和∠2是对顶角的是.

图2-26

18.如图2-27，∠1和∠2是同位角的是.

图2-27

19.如图2-28，对顶角的对数是.

（A）3对（B）4对（C）5对（D）6对

图2-28

20.下列说法，正确的是.

（A）相等的两个角是对顶角

（B）等角的补角相等

（C）C到直线的距离就是这点到直线所作的垂线段

（D）两条直线被第三条直线所截，内错角相等.

21.下列说法，错误的是.

（A）垂线段最短（B）对顶角相等

（C）同位角相等（D）一个锐角的补角大于这个锐角

22.如图2-29，判断错误的是.

（A）∠1和∠7是同旁内角（B）∠3和∠4是同位角

（C）∠5和∠6是对顶角（D）∠8和∠1是内错角

图2-29

23.已知直线a与直线c的夹角等于直线b与直线c的夹角，则直线a和直线b的位置关系是.

（A）平行（B）相交（C）垂直（D）不能确定

24.点到直线的距离是指.

（A）直线外一点与这条直线上一点所连结的线段

（B）直线外一点与这条直线上任一点所连结的线段的长度

（C）直线外一点到这条直线的垂线段

（D）直线外一点到这条直线的垂线段长度

25.互为邻补角的角平分线关系是.

（A）互相垂直（B）相交而不垂直

（C）成一条直线（D）以上都有可能

26.下列说法正确的是.

（A）直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短

（B）直线的垂线有且只有一条

（C）直线外一点与直线上各点连结的线段长度都大于点到直线的距离

（D）直线外一点与直线上各点连结的线段中，垂线段最短

27.直线a上一点A与a外一点B的距离为2，与a外一点C的距离为3，则点B到a的距离d1与点C到直线a的距离d2的关系是.

（A）d1<

d2（B）d1=d2（C）d1>

d2（D）以上都有可能

28.如果∠AOB和∠BOC互补，则∠AOB和∠BOC的角平分线关系是.

（A）垂直（B）相交但不垂直（C）重合（D）以上三种情况都有可能

图2-30图2-31

三、解答题

29.如图2-30，两直线相交于点O，∠1=2∠2,求∠2、∠3、∠4.

30.如图2-31，已知∠3=60°

，∠7=50°

，求∠1、∠2、∠4、∠5、∠6、∠8.

31.如图2-32，AB、CD、EF相交于O且AB⊥CD,∠1=35°

求

（1）∠2

（2）∠BOE（3）∠BOF

图2-32

32.如图2-33，CO⊥OB，∠AOC：

∠AOB=2:

5,求∠AOC、∠AOB的度数.

33.如图2-34，EOF为一条直线，∠AOB=∠COD=90°

，OE平分∠COB，∠EOB=15°

30′，求∠AOF.

图2-33图2-34

参考答案

同步题库

一、填空题

1.同位角，同旁内角，内错角2.∠BGD，∠AGC，∠EGD3.AD，BC，AC，内错角4.65.AB,CD垂直定义6.∠BOC，垂直定义7.邻补，∠4，同旁内8.∠4，∠39.∠BOD，∠DOF，∠AOD或∠COB10.115°

11.35°

12.∠BOF，∠EOC13.有且只有一条直线14.AB，CD，CE，内错角15.70°

110°

二、选择题

16.B17.C18.A19.D20.B21.C22.D23.D24.D25.A26.D27.D28.D

29.解：

依题意知

∠1=∠4（对顶角相等）∠2=∠3

∴∠1+∠3=∠2+∠4=180°

∵∠1=2∠2

∴2∠2+∠2=180°

∠2=60°

∴∠3=60°

∠4=120°

30.解,依题意知

∵∠1=∠3,∠3=60°

∴∠1=60°

又∠1+∠2=180°

∴∠2=120°

又∠2=∠4∴∠4=120°

∵∠7=50°

，∠5=∠7

∴∠5=50°

又∠5+∠8=∠6+∠7=180°

又∠6=∠8

∴∠6=130°

∠8=130°

31.解：

由题意知

∠1+∠AOC+∠2=180°

∵∠1=35°

，AB⊥CD

∴∠2=180°

-90°

-35°

=55°

又∠2+∠BOE=180°

∵∠2=55°

∴∠BOE=125°

∵AB、EF相交于O点

∴∠2=∠BOF=55°

32.解：

由题意知，设∠AOC=2x，则∠AOB=5x

故∠BOC=∠AOB-∠AOC=5x-2x=3x

∵CO⊥OB∴∠BOC=90°

∴3x=90°

则x=30°

∴∠AOC=60°

∠AOB=150°

33.解:

由题意知,

∵OE平分∠BOC

∴∠BOE=∠COE=15°

30′

∴∠BOC=30°

60′=31°

故∠DOB=∠AOC=90°

-31°

=59°

又∠AOF+∠AOC+∠EOC=180°

∴∠AOF=180°

-59°

-15°

=105°