高三一轮复习函数的性质偏难题含答案Word文档格式.docx
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所以对于函数f(x),当x∈[0,1)时,f(x)∈(2,4],所以方程f(x)﹣x=0即f(x)=x无解;
当x∈[1,2)时,f(x)∈[0,1),所以方程f(x)﹣x=0即f(x)=x无解;
所以当x∈[0,2)时方程f(x)﹣x=0即f(x)=x无解,又因为方程f(x)﹣x=0有解x0,且定义域为[0,3],故当x∈[2,3]时,f(x)的取值应属于集合(﹣∞,0)∪[1,2]∪(4,+∞),故若f(x0)=x0,只有x0=2,故答案为:
2.
二、函数值域及最值求法
例2、
(1)(2011•)设g(x)是定义在R上,以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[﹣2,5],则f(x)在区间[0,3]上的值域为 [﹣2,7] .
g(x)为R上周期为1的函数,则g(x)=g(x+1)函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]【正好是一个周期区间长度】的值域是[﹣2,5],令x+1=t,当x∈[0,1]时,t=x+1∈[1,2],此时,f(t)=t+g(t)=(x+1)+g(x+1)=(x+1)+g(x)
=[x+g(x)]+1,所以,在t∈[1,2]时,f(t)∈[﹣1,6]…
(1)
同理,令x+2=t,在当x∈[0,1]时,t=x+2∈[2,3]
此时,f(t)=t+g(t)=(x+2)+g(x+2)=(x+2)+g(x)=[x+g(x)]+2
所以,当t∈[2,3]时,f(t)∈[0,7]…
(2)
由已知条件及
(1)
(2)得到,f(x)在区间[0,3]上的值域为[﹣2,7]
故答案为:
[﹣2,7].
(2)(2013•黄浦区二模)已知,若存在区间[a,b]⊆(0,+∞),使得
{y|y=f(x),x∈[a,b]}=[ma,mb],则实数m的取值围是 (0,4) .
∵f(x)=4﹣在(0,+∞)是增函数,∴f(x)在x∈[a,b]上值域为
[f(a),f(b)],所以f(a)=ma且f(b)=mb,即4﹣=ma且4﹣=mb,
所以ma2﹣4a+1=0且mb2﹣4b+1=0,所以mx2﹣4x+1=0必须有两个不相等的正根,故m≠0,∴,解得0<m<4.
∴实数m的取值围是(0,4).故答案为:
(0,4).
(3).(2012•虹口区一模)已知函数f(x)=2x+a,g(x)=x2﹣6x+1,对于任意的都能找到,使得g(x2)=f(x1),则实数a的取值围是 [﹣2,6] .
∵函数f(x)=2x+a,g(x)=x2﹣6x+1,∴x1∈[﹣1,1]时,f(x)的值域就是[a﹣2,a+2],要使上述围总能找到x2满足g(x2)=f(x1),即g(x)的值域要包含[a﹣2,a+2],∵g(x)是一个二次函数,在[﹣1,1]上单调递减,
∴值域为[﹣4,8],因此,解得﹣2≤a≤6.故答案为:
[﹣2,6].
三、函数单调性与奇偶性
例3、
(1)(2013•资阳一模)已知函数
若f(2m+1)>f(m2﹣2),则实数m的取值围是 (﹣1,3) .
∵x≤1时,函数y=﹣x2+2x+1=﹣(x﹣1)2+2,在(﹣∞,1]上单调递增;
x>1时,函数y=x3+1在(1,+∞)上单调递增,又x≤1时,﹣x2+2x+1≤2,x>1时,
x3+1>2,∴函数,∴函数在R上单调增,
∴2m+1>m2﹣2,∴m2﹣2m﹣3<0,∴﹣1<m<3,故答案为:
(﹣1,3)
(2)已知是R上的增函数,那么a的取值围是
(1,3) .
∵是R上的增函数,
∴∴a∈(1,3)故答案为:
(1,3)
(3)(2012•)已知y=f(x)是奇函数,若g(x)=f(x)+2且g
(1)=1,则g(﹣1)= 3 .
由题意y=f(x)是奇函数,g(x)=f(x)+2
∴g(x)+g(﹣x)=f(x)+2+f(﹣x)+2=4,又g
(1)=1
∴1+g(﹣1)=4,解得g(﹣1)=3,故答案为3
(4)f(x)为R上的偶函数,g(x)为R上的奇函数且过(﹣1,3),g(x)=f(x﹣1),则f(2012)+f(2013)= ﹣3 .
由f(x)为R上的偶函数,g(x)为R上的奇函数,得f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=﹣g(x),且g(0)=0,由g(x)=f(x﹣1),得f(x)=g(x+1)=﹣g(﹣x﹣1)=﹣f(﹣x﹣2)=﹣f(x+2),即f(x)=﹣f(x+2),所以f(x+4)=﹣f(x+2)=﹣[﹣f(x)]=f(x),故f(x)是周期为4的周期函数,所以f(2012)=f(4×
503)=f(0)=g
(1)=﹣g(﹣1)=﹣3,f(2013)=f(4×
503+1)=f
(1)=f(﹣1)=g(0)=0,所以f(2012)+f(2013)=﹣3,故答案为:
﹣3.
四、函数的周期性
例4、
(1)已知奇函数满足
的值为
。
解:
(2)设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x﹣2)=﹣f(x)对一切x∈R都成立,又当x∈[﹣1,1]时,f(x)=x3,则下列四个命题:
①函数y=f(x)是以4为周期的周期函数;
②当x∈[1,3]时,f(x)=(2﹣x)3;
③函数y=f(x)的图象关于x=1对称;
④函数y=f(x)的图象关于(2,0)对称.其中正确的命题是 ①②③④ .
∵函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),
∵f(x﹣2)=﹣f(x)对一切x∈R都成立,∴f(x﹣4)=f(x),∴函数y=f(x)是以4为周期的周期函数,故①正确.当x∈[1,3]时,x﹣2∈∈[﹣1,1],f(x﹣2)=(x﹣2)3=﹣f(x),∴f(x)=(2﹣x)3,故②正确.∵f(x﹣2)=﹣f(x),
∴f(1+x)=f(1﹣x),∴函数y=f(x)的图象关于x=1对称,故③正确.
∵当x∈[1,3]时,f(x)=(2﹣x)3,∴f
(2)=0,∵f(x﹣2)=﹣f(x),
∴f(﹣x﹣2)=﹣f(﹣x)=f(x)=﹣f(x﹣2),∴f(x+2)=﹣f(x﹣2),∴函数y=f(x)的图象关于(2,0)对称.故正确的命题有①②③④,故答案选①②③④.
(2)若f(n)为n2+1(n∈N*)的各位数字之和,如142+1=197,1+9+7=17则f(14)=17,记f1(n)=f(n),f2(n)=f[f1(n)],…,fk+1(n)=f[fk(n)]k∈N*,则f2010(8)= 8 .
f1(8)=f(8)=64+1=656+5=11,f2(8)=f[f1(8)]=f(11)=121+1=122=1+2+2=5
f3(8)=f[f2(8)]=f(5)=25+1=26=8,f4(8)=f[f3(8)]=f(8)
…所以f2010(8)=f3(8)=8,故答案为:
8
五、函数图像的对称性
例5、
(1)已知函数
为偶函数,则函数
图像关于直线对称,函数
图像关于直线对称。
图像关于直线
对称,函数
对称。
(2)设.则
1006 .
若a+b=1,则f(a)+f(b)==
===1,
所以
=[f()+f()]+[f()+f()]+…+[f()+f()]
=1+1+…+1=1006.故答案为:
1006.
(3)已知函数f(x)的定义域为R,则下列命题中:
①若f(x﹣2)是偶函数,则函数f(x)的图象关于直线x=2对称;
②若f(x+2)=﹣f(x﹣2),则函数f(x)的图象关于原点对称;
③函数y=f(2+x)与函数y=f(2﹣x)的图象关于直线x=2对称;
④函数y=f(x﹣2)与函数y=f(2﹣x)的图象关于直线x=2对称.其中正确的命题序号是 ④ .
①不正确.因为f(x﹣2)的图象是由f(x)的图象向右平移两个单位而得到,结合f(x﹣2)是偶函数知,f(x)的图象关于x=﹣2对称,
②由f(x+2)=﹣f(x﹣2)变形得f(x+8)=f(x)是周期函数.不能得出函数f(x)的图象关于原点对称,故不正确.③不正确,因为函数y=f(2+x)是由f(x)向左平移2个单位,函数y=f(2﹣x)的图象是由f(﹣x)的图象向右平移2个单位,故两函数的图象仍然关于原点对称.
④如图所示,正确.故答案为:
④
. 六、函数性质的综合应用
例6、(2013•春季)已知真命题:
“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f(x+a)﹣b是奇函数”.
(1)将函数g(x)=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数g(x)图象对称中心的坐标;
(2)求函数h(x)=图象对称中心的坐标;
(3)已知命题:
“函数y=f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数y=f(x+a)﹣b是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;
如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).
(1)平移后图象对应的函数解析式为y=(x+1)3﹣3(x+1)2+2,整理得y=x3﹣3x,由于函数y=x3﹣3x是奇函数,由题设真命题知,函数g(x)图象对称中心的坐标是(1,﹣2).
(2)设h(x)=的对称中心为P(a,b),由题设知函数h(x+a)﹣b是奇函数.设f(x)=h(x+a)﹣b则f(x)=﹣b,即f(x)=.由不等式的解集关于原点对称,得a=2.
此时f(x)=﹣b,x∈(﹣2,2).
任取x∈(﹣2,2),由f(﹣x)+f(x)=0,得b=1,
所以函数h(x)=图象对称中心的坐标是(2,1).
(3)此命题是假命题.举反例说明:
函数f(x)=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象,但是对任意实数a和b,函数y=f(x+a)﹣b,即y=x+a﹣b总不是偶函数.
修改后的真命题:
“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f(x+a)是偶函数”.
例7、已知函数f(x)=ax2+bx+1,a,b为实数,a≠0,x∈R,F(x)=,
(1)若f(﹣1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;
(2)在
(1)的条件下,当x∈[﹣1,1]时,g(x)=f(x)+kx是单调函数,数k的取值围;
(3)设mn<0,m+n>0,a>0,且函数f(x)为偶函数,判断F(m)+F(n)是否大于0.
(1)依题意,有,解得,∴f(x)=x2+2x+1,
∴
(2)由
(1)得g(x)=f(x)+kx=x2+2x+1+kx=x2+(k+2)x+1,
∴函数g(x)的对称轴x=,∵g(x)在区间[﹣1,1]上是单调函数,
∴.解得k≥0,或k≤﹣4.
∴实数k的取值围为(﹣∞,﹣4]∪[0,+∞),
(3)∵f(x)=ax2+bx+1为偶函数,∴b=0,即f(x)=ax2+1(a>0),
∵mn<0,m+n>0,a>0,不妨设n<0<m,则有0<﹣n<m,
∴m﹣n>0,m+n>0.∵F(m)+F(n)=am2+1﹣an2﹣1=a(m+n)(m﹣n),
∴F(m)+F(n)>0.
例8、(2012•)已知f(x)=lg(x+1)
(1)若0<f(1﹣2x)﹣f(x)<1,求x的取值围;
(2)若g(x)是以2为周期的偶函数,且当0≤x≤1时,g(x)=f(x),求函数y=g(x)(x∈[1,2])的反函数.
(1)由解得:
﹣1<x<1.
由0<lg(2﹣2x)﹣lg(x+1)=lg<1得:
1<<10,
∵x+1>0,∴x+1<2﹣2x<10x+10,
∴.由得:
.
(2)当x∈[1,2]时,2﹣x∈[0,1],∴y=g(x)=g(x﹣2)=g(2﹣x)=f(2﹣x)=lg(3﹣x),由单调性可知y∈[0,lg2],又∵x=3﹣10y,
∴所求反函数是y=3﹣10x,x∈[0,lg2].
例9、(2012•卢湾区二模)对于定义域为D的函数y=f(x),若有常数M,使得对任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D满足等式,则称M为函数y=f(x)的“均值”.
(1)判断1是否为函数f(x)=2x+1(﹣1≤x≤1)的“均值”,请说明理由;
(2)若函数f(x)=ax2﹣2x(1<x<2,a为常数)存在“均值”,数a的取值围;
(3)若函数f(x)是单调函数,且其值域为区间I.试探究函数f(x)的“均值”情况(是否存在、个数、大小等)与区间I之间的关系,写出你的结论(不必证明).
(1)对任意的x1∈[﹣1,1],有﹣x1∈[﹣1,1],
当且仅当x2=﹣x1时,有,
故存在唯一x2∈[﹣1,1],满足,
所以1是函数f(x)=2x+1(﹣1≤x≤1)的“均值”.
(2)当a=0时,f(x)=﹣2x(1<x<2)存在“均值”,且“均值”为﹣3;
当a≠0时,由f(x)=ax2﹣2x(1<x<2)存在均值,可知对任意的x1,
都有唯一的x2与之对应,从而有f(x)=ax2﹣2x(1<x<2)单调,故有或,解得a≥1或a<0或,综上,a的取值围是或a≥1.
(3)①当I=(a,b)或[a,b]时,函数f(x)存在唯一的“均值”.
这时函数f(x)的“均值”为;
②当I为(﹣∞,+∞)时,函数f(x)存在无数多个“均值”.
这时任意实数均为函数f(x)的“均值”;
③当I=(a,+∞)或(﹣∞,a)或[a,+∞)或(﹣∞,a]或[a,b)或(a,b]时,
函数f(x)不存在“均值”.
①当且仅当I形如(a,b)、[a,b]其中之一时,函数f(x)存在唯一的“均值”.
②当且仅当I为(﹣∞,+∞)时,函数f(x)存在无数多个“均值”.
③当且仅当I形如(a,+∞)、(﹣∞,a)、[a,+∞)、(﹣∞,a]、[a,b)、(a,b]其中之一时,函数f(x)不存在“均值”.
例10、已知函数y=f(x),x∈R满足f(x+1)=af(x),a是不为0的实常数.
(1)若当0≤x≤1时,f(x)=x(1﹣x),求函数y=f(x),x∈[0,1]的值域;
(2)在
(1)的条件下,求函数y=f(x),x∈[n,n+1),n∈N的解析式;
(3)若当0<x≤1时,f(x)=3x,试研究函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是否可能是单调函数?
若可能,求出a的取值围;
若不可能,请说明理由.
(1)∵,∴.
(2)当n≤x≤n+1(n≥0,n∈Z)时,fn(x)=afn﹣1(x﹣1)=a2fn﹣1(x﹣2)
═anf1(x﹣n),fn(x)=an(x﹣n)(n+1﹣x).
(3)当n≤x≤n+1(n≥0,n∈Z)时,fn(x)=afn﹣1(x﹣1)=a2fn﹣1(x﹣2)
═anf1(x﹣n),∴fn(x)=an•3x﹣n;
显然fn(x)=an•3x﹣n,x∈[n,n+1],n≥0,n∈Z当a>0时是增函数,此时∴fn(x)∈[an,3an],若函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数,则必有an+1≥3an,解得:
a≥3;
显然当a<0时,函数y=f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数;
所以a≥3.
七、实战演练
一.填空题
1、(2009•)将函数(x∈[0,6])的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α),得到曲线C.若对于每一个旋转角θ,曲线C都是一个函数的图象,则α的最大值为 arctan .
先画出函数(x∈[0,6])的图象,这是一个圆弧,圆心为M(3,﹣2),由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时,曲线C都不是一个函数的图象,∴∠MAB=arctan,故答案为:
arctan
2、(2013•)对区间I上有定义的函数g(x),记g(I)={y|y=g(x),x∈I}.已知定义域为[0,3]的函数y=f(x)有反函数y=f﹣1(x),且f﹣1([0,1))=[1,2),f﹣1((2,4])=[0,1).若方程f(x)﹣x=0有解x0,则x0= 2 .
3、(2008•)设函数y=f(x)存在反函数y=f﹣1(x),且函数y=x﹣f(x)的图象过点(1,2),则函数y=f﹣1(x)﹣x的图象一定过点 (﹣1,2) .
解析:
由函数y=x﹣f(x)的图象过点(1,2)得:
f
(1)=﹣1,即函数y=f(x)过点(1,﹣1),则其反函数过点(﹣1,1),所以函数y=f﹣1(x)﹣x的图象一定过点(﹣1,2).
3、(2011•)设g(x)是定义在R上,以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[﹣2,5],则f(x)在区间[0,3]上的值域为 [﹣2,7] .
g(x)为R上周期为1的函数,则g(x)=g(x+1),函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]【正好是一个周期区间长度】的值域是[﹣2,5],令x+1=t,当x∈[0,1]时,t=x+1∈[1,2],此时,f(t)=t+g(t)=(x+1)+g(x+1)=(x+1)+g(x)
同理,令x+2=t,在当x∈[0,1]时,t=x+2∈[2,3],此时,f(t)=t+g(t)
=(x+2)+g(x+2)=(x+2)+g(x)=[x+g(x)]+2,所以,当t∈[2,3]时,f(t)∈[0,7]…
(2)
4、(2011•闸北区二模)设f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,若函数f(x)+g(x)的值域为[1,3),则f(x)﹣g(x)的值域为 (﹣3,﹣1] .
由f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,得到f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),∵1≤f(x)+g(x)<3,且f(x)和g(x)的定义域都为R,
把x换为﹣x得:
1≤f(﹣x)+g(﹣x)<3,变形得:
1≤﹣f(x)+g(x)<3,即﹣3<f(x)﹣g(x)≤﹣1,则f(x)﹣g(x)的值域为(﹣3,﹣1].
(﹣3,﹣1]
5、在直角坐标系中,如果两点A(a,b),B(﹣a,﹣b)在函数y=f(x)的图象上,那么称[A,B]为函数f(x)的一组关于原点的中心对称点([A,B]与[B,A]看作一组).函数g(x)=关于原点的中心对称点的组数为 2 .
由题意可知g(x)=sin,x≤0,则函数g(x)=sin,x≤0,
关于原点对称的函数为h(x)=sin,x>0,则坐标系中分别作出函数h(x)=sin,x>0,g(x)=log4(x+1),x>0的图象如题,由图象可知,两个图象的交点个数有2个,所以函数g(x)=关于原点的中心对称点的组数为2组.故答案为:
6.(2013•)设a为实常数,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=9x++7.若f(x)≥a+1对一切x≥0成立,则a的取值围为 . .
因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以当x=0时,f(x)=0;
当x>0时,则﹣x<0,所以f(﹣x)=﹣9x﹣+7,因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=9x+﹣7;
因为f(x)≥a+1对一切x≥0成立,所以当x=0时,0≥a+1成立,所以a≤﹣1;
当x>0时,9x+﹣7≥a+1成立,只需要9x+﹣7的最小值≥a+1,因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7,所以6|a|﹣7≥a+1,
解得,所以.故答案为.
7.(2012•)若f(x)=为奇函数,则实数m= ﹣2 .
∵f(x)=为奇函数,∴f(﹣1)=﹣f
(1)
即m﹣1=3(1+m)∴m=﹣2故答案为:
﹣2
8.(2012•)已知函数f(x)=e|x﹣a|(a为常数).若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值围是 (﹣∞,1] .
因为函数f(x)=e|x﹣a|(a为常数).若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数
由复合函数的单调性知,必有t