大学物理答案第9章文档格式.docx
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p水平指向棒尖端而停止
(B)沿逆时针方向旋转至电偶极矩
p水平指向棒尖端,同时沿电场线方向
朝着棒尖端移动
(C)沿逆时针方向旋转至电偶极矩
p水平指向棒尖端,同时逆电场线方向
朝远离棒尖端移动
(D)沿顺时针方向旋转至电偶极矩
p水平方向沿棒尖端朝外,同时沿电场
线方向朝着棒尖端移动
题9-4
图
电偶极子在非均匀外电场中,
除了受到力矩作用使得电偶极子指
向电场方向外,还将受到一个指向电场强度增强方向的合力作用,
因而正确
答案为(B).
9-5精密实验表明,电子与质子电量差值的最大范围不会超过±
10-21
e,
而中子电量与零差值的最大范围也不会超过±
-21
10e,由最极端的情况考
虑,一个有
8个电子,8个质子和8个中子构成的氧原子所带的最大可能净电
荷是多少?
若将原子视作质点,试比较两个氧原子间的库仑力和万有引力
的大小.
分析考虑到极限情况,假设电子与质子电量差值的最大范围为
2×
中子电量为
e,则由一个氧原子所包含的
8个电子、8个质子和8个中子
可求原子所带的最大可能净电荷
.由库仑定律可以估算两个带电氧原子间的
库仑力,并与万有引力作比较.
解一个氧原子所带的最大可能净电荷为
qmax1281021e
二个氧原子间的库仑力与万有引力之比为
Fe
qmax2
2.8106
1
Fg
4πε0Gm2
显然即使电子、质子、中子等微观粒子带电量存在差异,其差异在±
10-21e
范围内时,对于像天体一类电中性物体的运动,起主要作用的还是万有引力.
9-61964年,盖尔曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克构成,中子就是
由一个带
2e的上夸克和两个带
1e的下夸克构成.若将夸克作为经典粒
3
子处理(夸克线度约为10-20
m),中子内的两个下夸克之间相距
2.60×
10
-15
m.
求它们之间的相互作用力.
解
由于夸克可视为经典点电荷,由库仑定律
q1q2
e2
3.78Ner
F
4π0
r2
er
4π0r2er
与径向单位矢量er方向相同表明它们之间为斥力.
9-7
点电荷如图分布,试求
点的电场强度.
P
分析依照电场叠加原理,P点的电场强度等于各点电荷单独存在时在
点激发电场强度的矢量和
.由于电荷量为
q
的一对点电荷在
点激发的电场强
度大小相等、方向相反而相互抵消,
P点的电场强度就等于电荷量为
2.0q的
点电荷在该点单独激发的场强度.
根据上述分析
EP
2q
4π0(a/2)2
π0a2
题9-7图
9-8若电荷Q均匀地分布在长为
L的细棒上.求证:
(1)
在棒的延长线,
且离棒中心为r处的电场强度为
E
Q
ε
4r
2
L
π0
(2)在棒的垂直平分线上,离棒为r
处的电场强度为
r4r2
L2
2πε0
若棒为无限长(即L→∞),试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比
较.
题9-8
分析这是计算连续分布电荷的电场强度
.此时棒的长度不能忽略,因而不
能将棒当作点电荷处理
.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直
线上.如图所示,在长直线上任意取一线元
dx,其电荷为dq=Qdx/L,它在
点P的电场强度为
dE
dq2er
4πε
r
整个带电体在点P的电场强度
EdE
接着针对具体问题来处理这个矢量积分.
(1)若点P在棒的延长线上,带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相
同,
dEi
(2)
若点P在棒的垂直平分线上,如图
(a)所示,则电场强度
E沿x
轴方向
的分量因对称性叠加为零,因此,点
P的电场强度就是
dEyj
sindEj
证
(1)延长线上一点P
dq
,利用几何关系
r′
的电场强度E
L2π0r
=r-x统一积分变量,则
L/2
Qdx
4
πε
/2
rL
πε4r2
-L/2
0Lrx
40LrL
电场强度的方向沿
x轴.
(2)根据以上分析,中垂线上一点
P的电场强度E的方向沿y轴,大小为
sinαdq
L4πε0r2dE
利用几何关系sinα=r/r′,r
x2
统一积分变量,则
rQdx
-L/24π0
Lx2
3/2
2π0r
4r2
当棒长L→∞时,若棒单位长度所带电荷
λ为常量,则P点电场强度
lim
Q/L
2πε0r
l
/L
λ
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同
[图(b)].这说明只要满
足r2/L2<<1,带电长直细棒可视为无限长带电直线.
9-9一半径为R的半球壳,均匀地带有电荷,电荷面密度为
σ,求球心处
电场强度的大小.
题9-9图
分析这仍是一个连续带电体问题,求解的关键在于如何取电荷元.现将半
球壳分割为一组平行的细圆环,如图所示,从教材第9-3节的例2可以看出,
所有平行圆环在轴线上P处的电场强度方向都相同,将所有带电圆环的电场
强度积分,即可求得球心O处的电场强度.
解将半球壳分割为一组平行细圆环,任一个圆环所带电荷元
dS
2πR2
sin
d
,在点O激发的电场强度为
xdq
i
4π0x2
r23/2
由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同,利用几何关系
xRcosθ,r
Rsinθ统一积分变量,有
Rcos
2πR2sin
4π0x2
r22/3
R3
cosd
20
积分得
π/2
sincosd
9-10
水分子H2O中氧原子和氢原子的等效电荷中心如图所示,
假设氧原
子和氢原子等效电荷中心间距为r0.试计算在分子的对称轴线上,距分子较远处的电场强度.
题9-10图
分析水分子的电荷模型等效于两个电偶极子,它们的电偶极矩大小均为
P0er0,而夹角为2θ.叠加后水分子的电偶极矩大小为p2er0cos,方向沿对称轴线,如图所示.由于点O到场点A的距离x>>r0,利用教材第
5-3节中电偶极子在延长线上的电场强度
12p
x
可求得电场的分布
.也可由点电荷的电场强度叠加,求电场分布.
解1
水分子的电偶极矩
p2p0cos
2er0cos
在电偶极矩延长线上
4er0cosθ
er0cosθ
4πε0
x3
πε0
4πε0x3
解2
在对称轴线上任取一点
A,则该点的电场强度
θ
2e
E2EcosβE
2cos
4π
ε0r
ε0x
由于
r02
2xr0cosθ
cosβ
r0cosθ
代入得
r0cos
2xr0cos
测量分子的电场时,
总有x>>r0
,因此,式中
x2
2xrcos
x31
2r0cos
2r0cos
,将上式化简并略去微小量后,得
reθ
cos
9-11
两条无限长平行直导线相距为
r0,均匀带有等量异号电荷,电荷线
密度为λ.
(1)求两导线构成的平面上任一点的电场强度
(设该点到其中一
线的垂直距离为x);
(2)求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力.
题9-11图
分析
(1)在两导线构成的平面上任一点的电场强度为两导线单独在此所
激发的电场的叠加.
(2)由F=qE,单位长度导线所受的电场力等于另一根导线在该导线处
的电场强度乘以单位长度导线所带电量,即:
F=λE.应该注意:
式中的电
场强度E是另一根带电导线激发的电场强度,电荷自身建立的电场不会对自
身电荷产生作用力.
解
(1)设点P在导线构成的平面上,E+、E-分别表示正、负带电导线在P点的电场强度,则有
EE
2π0
r0x
r0
xr0
(2)设F+、F-分别表示正、负带电导线单位长度所受的电场力,则有
2πε0r0
λE
λi
2πεr
显然有F+=F-,相互作用力大小相等,方向相反,两导线相互吸引.
9-12设匀强电场的电场强度
E与半径为R的半球面的对称轴平行,
试计
算通过此半球面的电场强度通量.
题9-12图
分析方法1:
作半径为R的平面S与半球面S一起可构成闭合曲面,由于闭合面内无电荷,由高斯定理
EdS
q0
S
ε0
这表明穿过闭合曲面的净通量为零,穿入平面S′的电场强度通量在数值上
等于穿出半球面S的电场强度通量.因而
Φ
方法2:
由电场强度通量的定义,对半球面
S求积分,即
Φs
解1由于闭合曲面内无电荷分布,根据高斯定理,有
依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元
的方向,
ΦEπR2cosππR2E
解2取球坐标系,电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为
EEcose
e
sinsiner
R2sinθdθder
ΦEdS
ER2sin
sindd
π
ER2sin
πR2E
9-13地球周围的大气犹如一部大电机,由于雷雨云和大气气流的作用,
在晴天区域,大气电离层总是带有大量的正电荷,云层下地球表面必然带有
负电荷.晴天大气电场平均电场强度约为120V
m1,方向指向地面
.试求
地球表面单位面积所带的电荷
(以每平方厘米的电子数表示).
分析考虑到地球表面的电场强度指向地球球心,
在大气层中取与地球
同心的球面为高斯面,利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷
.
在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面,
其半
径R
RE(RE为地球平均半径).由高斯定理
E4πRE2
地球表面电荷面密度
q/4πRE2
0E1.06109Cm2
单位面积额外电子数
n
/(e)
6.63
105
cm2
9-14
设在半径为R的球体内电荷均匀分布,电荷体密度为
求带电球内
外的电场强度分布.
分析电荷均匀分布在球体内呈球对称,
带电球激发的电场也呈球对称
性.根据静电场是有源场,电场强度应该沿径向球对称分布.因此可以利用高斯定理求得均匀带电球内外的电场分布.以带电球的球心为中心作同心球面为高斯面,依照高斯定理有
4π2
Qi
ES
s
上式中Qi是高斯面内的电荷量,分别求出处于带电球内外的高斯面内的电
荷量,即可求得带电球内外的电场强度分布.
解依照上述分析,由高斯定理可得
rR时,
4πr2E
4πr3
假设球体带正电荷,电场强度方向沿径向朝外
.考虑到电场强度的方向,带
电球体内的电场强度为
Er
30
4πR3
考虑到电场强度沿径向朝外,带电球体外的电场强度为
30r2
9-15两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面,半径分别为
R1和R2
(R2>R1),单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r
处的电场强度:
(1)r<
R1,
(2)R1<r<R2,(3)
r>R2.
题9-15图
分析电荷分布在无限长同轴圆柱面上,电场强度也必定沿轴对称分布,取同轴圆柱面为高斯面,只有侧面的电场强度通量不为零,且
EdSE2πrL,求出不同半径高斯面内的电荷q.即可解得各区域
电场的分布.
解作同轴圆柱面为高斯面,根据高斯定理
2πrL
q/ε0
r<R1,
E1
R1<r<R2,
qλL
E2
r>R2,
E3
在带电面附近,电场强度大小不连续,如图(
b)所示,电场强度有一跃变
λL
σ
2π
ε0rL
9-16如图所示,有三个点电荷
Q1、Q2
、Q3沿一条直线等间距分布且
Q1=Q3=Q.已知其中任一点电荷所受合力均为零,求在固定
Q1、Q3的
情况下,将Q2从点O移到无穷远处外力所作的功.
题9-16图
分析由库仑力的定义,根据Q1、Q3所受合力为零可求得Q2.外力作功W′应等于电场力作功W的负值,即W′=-W.求电场力作功的方法有两种:
(1)根据功的定义,电场力作的功为
WQ2Edl
其中E是点电荷Q1、Q3产生的合电场强度.
(2)根据电场力作功与电势能差的关系,有
WQ2V0VQ2V0
其中V0是Q1、Q3在点O产生的电势(取无穷远处为零电势).
解1由题意Q1所受的合力为零
Q2
Q3
Q14πεd2
Q1
4πε02d
解得