经典相似三角形练习题(附参考答案).doc

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相似三角形

一．解答题（共30小题）

1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：

△ADE∽△EFC．

2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．

（1）求证：

△CDF∽△BGF；

（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．

3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．

求证：

△ABC∽△FDE．

4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：

△ABF∽△EAD．

5．已知：

如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．

（1）求证：

①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；

（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出

（1）中的两个结论是否仍然成立；

（3）在

（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：

△PBD∽△AMN．

6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．

7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF

的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．

（1）填空：

∠ABC=　_________　°，BC=　_________　；

（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．

8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．

某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：

（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？

（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？

若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．

（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：

全等看成相似的特例）

（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．

10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．

（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；

（2）图中有无相似三角形？

若有，请写出一对；

若没有，请说明理由；

（3）求△BEC与△BEA的面积之比．

11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．

（1）求四边形AQMP的周长；

（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；

（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．

12．已知：

P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：

△ADM∽△MCP．

13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．

（1）求梯形ABCD的面积S；

（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：

①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；

②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？

若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；

③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？

若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？

15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．

16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．

17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？

若能，请给出证明，若不能，请说明理由．

18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？

19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．

20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，

△DEF的顶点E位于边BC的中点上．

（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：

△BEM∽△CNE；

（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除

（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．

21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？

变长或变短了多少米？

23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：

皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．

（1）所需的测量工具是：

　_________　；

（2）请在下图中画出测量示意图；

（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．

24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：

甲组：

如图1，测得一根直立于平地

，长为80cm的竹竿的影长为60cm．

乙组：

如图2，测得学校旗杆的影长

为900cm．丙组：

如图3，测得校园

景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体

其粗细忽略不计）的高度为200cm，

影长为156cm．任务要求：

（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；

（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：

如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）

25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．

26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．

（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；

（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；

（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．

27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．

（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）

（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；

（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与

（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；

（4）类比

（1），

（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．

28．已知：

如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．

29．已知：

如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．

（1）求BD、CD的长；

（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．

30．

（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；

（2）已知：

两相似三角形对应高的比为3：

10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．

一．解答题（共30小题）

1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：

△ADE∽△EFC．

解答：

证明：

∵DE∥BC，

∴DE∥FC，

∴∠AED=∠C．

又∵EF∥AB，

∴EF∥AD，

∴∠A=∠FEC．

∴△ADE∽△EFC．

点评：

本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．

2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．

（1）求证：

△CDF∽△BGF；

（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．

解答：

（1）证明：

∵梯形ABCD，AB∥CD，

∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，（2分）

∴△CDF∽△BGF．（3分）

（2）解：

由

（1）△CDF∽△BGF，

又F是BC的中点，BF=FC，

∴△CDF≌△BGF，

∴DF=GF，CD=BG，（6分）

∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，

∴E为AD中点，

∴EF是△DAG的中位线，

∴2EF=AG=AB+BG．

∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，

∴CD=BG=2cm．（8分）

3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．

求证：

△ABC∽△FDE．

解答：

证明：

∵FD∥AB，FE∥AC，

∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，

∴△ABC∽△FDE．

4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：

△ABF∽△EAD．

解答：

证明