高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布124离散型随机变量及其分布列教师用书理新人教Word文档格式.docx
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（2）离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．（ √ ）
（3）某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．（ ×
）
（4）从4名男演员和3名女演员中选出4名演员，其中女演员的人数X服从超几何分布．（ √ ）
（5）离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.（ ×
（6）离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．（ √ ）
1．（教材改编）抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是（ ）
A．一颗是3点，一颗是1点
B．两颗都是2点
C．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点
D．以上答案都不对
答案 C
解析 根据抛掷两颗骰子的试验结果可知，C正确．
2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P（X＝0）等于（ ）
A．0B.C.D.
解析 设X的分布列为
2p
即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝，故选C.
3．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有（ ）
A．17个B．18个C．19个D．20个
答案 A
解析 X可能取得的值有3,4,5，…，19，共17个．
4．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为
2
答案 0.1 0.6 0.3
解析 ∵X的所有可能取值为0,1,2，
∴P（X＝0）＝＝0.1，
P（X＝1）＝＝＝0.6，P（X＝2）＝＝0.3.
∴X的分布列为
0.1
0.6
0.3
5.（教材改编）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P（X＝4）的值为______．
答案
解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，
故P（X＝4）＝＝.
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
例1
（1）设X是一个离散型随机变量，其分布列为
－1
2－3q
q2
则q等于（ ）
A．1B.±
C.－D.＋
解析 ∵＋2－3q＋q2＝1，∴q2－3q＋＝0，解得q＝±
.又由题意知0<
q2<
，∴q＝－.
（2）设离散型随机变量X的分布列为
3
4
0.2
求2X＋1的分布列．
解 由分布列的性质知
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
首先列表为
2X＋1
5
7
9
从而2X＋1的分布列为
引申探究
1．在本例
（2）的条件下，求随机变量η＝|X－1|的分布列．
解 由
（2）知m＝0.3，列表
|X－1|
∴P（η＝1）＝P（X＝0）＋P（X＝2）＝0.2＋0.1＝0.3，
P（η＝0）＝P（X＝1）＝0.1，P（η＝2）＝P（X＝3）＝0.3，
P（η＝3）＝P（X＝4）＝0.3.
故η＝|X－1|的分布列为
η
2.若本例
（2）中条件不变，求随机变量η＝X2的分布列．
解 依题意知η的值为0,1,4,9,16.
P（η＝0）＝P（X2＝0）＝P（X＝0）＝0.2，
P（η＝1）＝P（X2＝1）＝P（X＝1）＝0.1，
p（η＝4）＝P（X2＝4）＝P（X＝2）＝0.1，
P（η＝9）＝P（X2＝9）＝P（X＝3）＝0.3，
P（η＝16）＝P（X2＝16）＝P（X＝4）＝0.3，
16
思维升华
（1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
（2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
设随机变量X的分布列为P（X＝）＝ak（k＝1,2,3,4,5）．
（1）求a；
（2）求P（X≥）；
（3）求P（<
X≤）．
解
（1）由分布列的性质，得P（X＝）＋P（X＝）＋P（X＝）＋P（X＝）＋P（X＝1）＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝.
（2）P（X≥）＝P（X＝）＋P（X＝）＋P（X＝1）＝3×
＋4×
＋5×
＝.
（3）P（<
X≤）＝P（X＝）＋P（X＝）＋P（X＝）＝＋＋＝＝.
题型二 离散型随机变量的分布列的求法
命题点1 与排列组合有关的分布列的求法
例2 （2015·
重庆改编）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列．
解
（1）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P（A）＝＝.
（2）X的所有可能值为0,1,2，且
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝.
综上知，X的分布列为
命题点2 与互斥事件有关的分布列的求法
例3 （2015·
安徽改编）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：
元），求X的分布列．
解
（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，
P（A）＝＝.
（2）X的可能取值为200,300,400.
P（X＝200）＝＝，
P（X＝300）＝＝，
P（X＝400）＝1－P（X＝200）－P（X＝300）
＝1－－＝.
故X的分布列为
200
300
400
命题点3 与独立事件（或独立重复试验）有关的分布列的求法
例4 （2016·
蚌埠模拟）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列．
解 用A表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”．
则P（Ak）＝，P（Bk）＝，k＝1,2,3,4,5.
（1）P（A）＝P（A1A2）＋P（B1A2A3）＋P（A1B2A3A4）
＝P（A1）P（A2）＋P（B1）P（A2）P（A3）＋P（A1）P（B2）·
P（A3）P（A4）
＝2＋×
2＋×
×
2＝.
（2）X的可能取值为2,3,4,5.
P（X＝2）＝P（A1A2）＋P（B1B2）
＝P（A1）P（A2）＋P（B1）P（B2）＝，
P（X＝3）＝P（B1A2A3）＋P（A1B2B3）
＝P（B1）P（A2）P（A3）＋P（A1）P（B2）P（B3）＝，
P（X＝4）＝P（A1B2A3A4）＋P（B1A2B3B4）
＝P（A1）P（B2）P（A3）P（A4）＋P（B1）P（A2）P（B3）·
P（B4）＝，
P（X＝5）＝1－P（X＝2）－P（X＝3）－P（X＝4）＝.
思维升华 求离散型随机变量X的分布列的步骤：
（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；
（2）求X取每个值的概率；
（3）写出X的分布列．
求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
（2016·
湖北部分重点中学第一次联考）连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为你的幸运数字．
（1）求你的幸运数字为3的概率；
（2）若k＝1，则你的得分为6分；
若k＝2，则你的得分为4分；
若k＝3，则你的得分为2分；
若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的分布列．
解
（1）设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A，则它包含事件A1，A2，A3，其中A1：
三次恰好均为2；
A2：
三次中恰好1,2,3各一次；
A3：
三次中有两次均为1，一次为4.
A1，A2，A3为互斥事件，则
P（A）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＝C（）3＋C·
·
C·
＋C（）2·
（2）由已知得ξ的可能取值为6,4,2,0，
P（ξ＝6）＝，P（ξ＝4）＝（）2＋2×
C×
＝，
P（ξ＝2）＝，P（ξ＝0）＝1－－－＝.
故ξ的分布列为
ξ
6
题型三 超几何分布
例5 （2017·
济南质检）PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；
在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；
在75微克/立方米以上空气质量为超标．
从某自然保护区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
PM2.5日均值（微克/立方米）
[25,35]
（35,45]
（45,55]
（55,65]
（65,75]
（75,85]
频数
（1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（2）从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．
解
（1）记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，
则P（A）＝＝.
（2）依据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.
P（ξ＝k）＝（k＝0,1,2,3）．
∴P（ξ＝0）＝＝，
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，
P（ξ＝3）＝＝.
思维升华
（1）超几何分布的两个特点
①超几何分布是不放回抽样问题；
②随机变量为抽到的某类个体的个数．
（2）超几何分布的应用条件
①两类不同的物品（或人、事）；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体．
某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动．（每位同学被选到的可能性相同）
（1）求选出的3名同学来自互不相同学院的概率；
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．
解
（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，
故选出的3名同学来自互不相同学院的概率为.
（2）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P（X＝k）＝（k＝0,1,2,3）．
∴P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝.
故随机变量X的分布列是
17．离散型随机变量的分布列
典例 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．
错解展示
现场纠错
解 P（ξ＝1）＝0.9，
P（ξ＝2）＝0.1×
0.9＝0.09，
P（ξ＝3）＝0.1×
0.1×
0.9＝0.009，
P（ξ＝4）＝0.13×
0.9＝0.0009，
P（ξ＝5）＝0.14＝0.0001.
∴ξ的分布列为
0.9
0.09
0.009
0.0009
0.0001
纠错心得
（1）随机变量的分布列，要弄清变量的取值，还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率．
（2）验证随机变量的概率和是否为1.
1．（2016·
太原模拟）某射手射击所得环数X的分布列为
8
10
0.02
0.04
0.06
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为（ ）
A．0.28B．0.88C．0.79D．0.51
解析 根据X的分布列知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
2．（2016·
岳阳模拟）设X是一个离散型随机变量，其分布列为
1－2q
A．1B．1±
C．1－D．1＋
解析 由题意知
即解得q＝1－.
3．（2016·
郑州模拟）已知随机变量X的分布列为P（X＝i）＝（i＝1,2,3,4），则P（2<
X≤4）等于（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 由分布列的性质知，
＋＋＋＝1，
则a＝5，
∴P（2<
X≤4）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋＝.
4．（2016·
湖北孝感汉川期末）设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝i）＝a（）i，i＝1,2,3，则实数a的值为（ ）
A．1B.C.D.
答案 D
解析 ∵随机变量ξ的分布列为P（ξ＝i）＝a（）i，i＝1,2,3，
∴a[＋（）2＋（）3]＝1，
解得a＝.故选D.
5．（2017·
武汉调研）从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是（ ）
解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.
6．（2017·
长沙月考）一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是（ ）
A．P（X＝3）B．P（X≥2）
C．P（X≤3）D．P（X＝2）
解析 由超几何分布知P（X＝2）＝.
7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：
对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分（即得－1分）；
若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则X的所有可能取值是________．
答案 －1,0,1,2,3
解析 X＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，
X＝0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，
X＝1，甲抢到1题且答对，乙抢到2题且至少答错1题或甲抢到3题，且1错2对，
X＝2，甲抢到2题均答对，
X＝3，甲抢到3题均答对．
8．随机变量X的分布列如下：
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P（|X|＝1）＝________，公差d的取值范围是________．
答案 [－，]
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝，
∴P（|X|＝1）＝a＋c＝.
又a＝－d，c＝＋d，
根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，
∴－≤d≤.
9．设离散型随机变量X的分布列为
若随机变量Y＝|X－2|，则P（Y＝2）＝________.
答案 0.5
解析 由分布列的性质，知
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，
∴P（Y＝2）＝P（X＝4或X＝0）
＝P（X＝4）＋P（X＝0）
＝0.3＋0.2＝0.5.
10．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤6）＝________.
解析 P（ξ≤6）＝P（取到3只红球1只黑球）＋P（取到4只红球）＝＋＝.
11．（2015·
山东改编）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：
若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；
若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；
若能被10整除，得1分．
（1）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（2）若甲参加活动，求甲得分X的分布列．
解
（1）个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.
（2）由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，
随机变量X的取值为0，－1,1，因此
P（X＝0）＝＝，
P（X＝－1）＝＝，
P（X＝1）＝1－－＝.
所以X的分布列为
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