09 一元二次方程及其应用Word文件下载.docx
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配方得：
x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，
开方得：
x﹣1=±
，
解得：
x1=1+
．
故选C．
此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（2014•陕西,第8题3分）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣
ax+a2=0的一个根，则a的值为（ ）x_k_b_1
A．1或4B．﹣1或﹣4C．﹣1或4D．1或﹣4
一元二次方程的解．
将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣
ax+a2=0，再解关于a的一元二次方程即可．
解：
∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣
ax+a2=0的一个根，
∴4+5a+a2=0，
∴（a+1）（a+4）=0，
解得a1=﹣1，a2=﹣4，
本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x的值代入，再解关于a的方程即可．
4．（2014•湖北黄冈,第6题3分）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=（ ）
﹣8
32
16
40
根与系数的关系．
根据根与系数的关系得到α+β=﹣2，αβ=﹣6，再利用完全平方公式得到α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，然后利用整体代入的方法计算．
根据题意得α+β=﹣2，αβ=﹣6，
所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣2）2﹣2×
（﹣6）=16．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：
若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣
，x1•x2=
5.（2014•湖北荆门,第5题3分）已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（ ）
A．0＜α＜1B．1＜α＜1.5C．1.5＜α＜2D．2＜α＜3
解一元二次方程-公式法；
估算无理数的大小．
先求出方程的解，再求出
的范围，最后即可得出答案．
解方程x2﹣x﹣1=0得：
x=
∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，
∴a=
，
∵2＜
＜3，
∴3＜1+
＜4，
∴
＜
＜2，
本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
6．（2014•攀枝花，第8题3分）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ）
α+β=﹣1
αβ=﹣1
α2+β2=3
+
=﹣1
先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β）2﹣2αβ，利用通分变形
得到
，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．
根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．
所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣1）2﹣2×
（﹣1）=3；
=
=1．
故选D．
二、填空题
1.（2014•湖南永州,第10题3分）方程x2﹣2x=0的解为 x1=0，x2=2 ．
解一元二次方程-因式分解法；
解一元一次方程．.
把方程的左边分解因式得x（x﹣2）=0，得到x=0或x﹣2=0，求出方程的解即可．
x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0或x﹣2=0，
x1=0或x2=2．
故答案为：
x1=0，x2=2．
本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
2.（2014•随州，第14题3分）某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20% ．
一元二次方程的应用
本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
设这个增长率是x，根据题意得：
2000×
（1+x）2=2880
x1=20%，x2=﹣220%（舍去）
20%．
本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．
3、（2014•江西，第10题3分）若
是方程
的两个实数根，则
_______。
【答案】x＞
。
【考点】根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式，代数式求值．
根据一元二次方程根与系数的关系，若任意一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两根x1，x2，则x1+x2=－
x1•x2=
根据完全平方化公式对化数进行变形，代入计算即可.
【解答】解：
∵a、b是方程x2－2x－3＝0的两根，
∴a+b=2，ab=－3，
a2＋b2=（a＋b）2--2ab＝22-2×
（-3）=10.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：
如果方程的两根为x1，x2，则x1+x2=－
.也考查了代数式的变形能力、整体思想的运用．
4．（2014•黑龙江哈尔滨,第15题3分）若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为 1 ．
一元二次方程的解．
根据x=﹣1是已知方程的解，将x=﹣1代入方程即可求出m的值．
将x=﹣1代入方程得：
1﹣3+m+1=0，
m=1．
1
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5.（2014•黑龙江牡丹江,第18题3分）现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 x2﹣70x+825=0 ．
由实际问题抽象出一元二次方程．
几何图形问题．
本题设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80﹣2x）cm，宽是（60﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出．
由题意得：
（80﹣2x）（60﹣2x）=1500
整理得：
x2﹣70x+825=0，
x2﹣70x+825=0．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，要学会通过图形求出面积．
6．（2014•莱芜，第15题4分）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= ﹣1 ．
根据已知和根与系数的关系x1x2=
得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．
∵x1x2=k2，两根互为倒数，
∴k2=1，
解得k=1或﹣1；
∵方程有两个实数根，△＞0，
∴当k=1时，△＜0，舍去，
故k的值为﹣1．
本题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣
，x1x2=
进行求解．
7.（2014•丽水，第15题4分）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？
设通道的宽为xm，由题意列得方程 （30﹣2x）（20﹣x）=6×
78 ．
几何图形问题．
设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×
78．
设道路的宽为xm，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）=6×
78，
此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
8．（2014•广西来宾，第10题3分）已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是（ ）
x2﹣6x+8=0
x2+2x﹣3=0
x2﹣x﹣6=0
x2+x﹣6=0
首先设此一元二次方程为x2+px+q=0，由二次项系数为1，两根分别为2，﹣3，根据根与系数的关系可得p=﹣（2﹣3）=1，q=（﹣3）×
2=﹣6，继而求得答案．
设此一元二次方程为x2+px+q=0，
∵二次项系数为1，两根分别为﹣2，3，
∴p=﹣（2﹣3）=1，q=（﹣3）×
2=﹣6，
∴这个方程为：
x2+x﹣6=0．
故选：
此题考查了根与系数的关系．此题难度不大，注意若二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2．
9．（2014年广西钦州，第7题3分）若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．﹣10B．10C．﹣16D．16
根与系数的关系．
根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．
∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0两个根，
∴x1+x2=﹣10．
此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：
x1+x2=﹣，x1x2=．
三、解答题
1.（2014•湖北宜昌,第22题10分）在“文化宜昌•全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：
本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．
（1）求2014年全校学生人数；
（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：
阅读总量=人均阅读量×
人数）
①求2012年全校学生人均阅读量；
②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．
一元二次方程的应用；
一元一次方程的应用．
（1）根据题意，先求出2013年全校的学生人数就可以求出2014年的学生人数；
（2）①设2012人均阅读量为x本，则2013年的人均阅读量为（x+1）本，根据阅读总量之间的数量关系建立方程就可以得出结论；
②由①的结论就可以求出2012年读书社的人均读书量，2014年读书社的人均读书量，全校的人均读书量，由2014年读书社的读书量与全校读书量之间的关系建立方程求出其解即可．
（1）由题意，得
2013年全校学生人数为：
1000×
（1+10%）=1100人，
∴2014年全校学生人数为：
1100+100=1200人；
（2）①设2012人均阅读量为x本，则2013年的人均阅读量为（x+1）本，由题意，得
1100（x+1）=1000x+1700，
x=6．
答：
2012年全校学生人均阅读量为6本；
②由题意，得
2012年读书社的人均读书量为：
2.5×
6=15本，
2014年读书社人均读书量为15（1+a）2本，
2014年全校学生的读书量为6（1+a）本，
80×
15（1+a）2=1200×
6（1+a）×
25%
2（1+a）2=3（1+a），
∴a1=﹣1（舍去），a2=0.5．
a的值为0.5．
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，增长率问题的数量关系的运用，解答时根据阅读总量之间的关系建立方程是关键．
2.（2014•湖南衡阳,第24题6分）学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率．
一元二次方程的应用．
增长率问题．
设这两年的年平均增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
设这两年的年平均增长率为x，
根据题意得：
5000（1+x）2=7200，即（1+x）2=1.44，
1+x=1.2或x+1=﹣1.2，
x=0.2=20%，或x=﹣2.2（舍去）．
这两年的年平均增长率为20%．
考查了一元二次方程的应用，本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
3.（2014•河北，第21题10分）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax2++bx+c=0变形为：
x2+
x=﹣
，…第一步
x+（
）2=﹣
+（
）2，…第二步
（x+
）2=
，…第三步
x+
（b2﹣4ac＞0），…第四步
，…第五步
嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；
事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是 x=
．
用配方法解方程：
x2﹣2x﹣24=0．
解一元二次方程-配方法
阅读型．
第四步，开方时出错；
把常数项24移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
在第四步中，开方应该是x+
=±
．所以求根公式为：
故答案是：
四；
；
x2﹣2x﹣24=0
移项，得
x2﹣2x=24，
配方，得
x2﹣2x+1=24+1，
即（x﹣1）2=25，
开方得x﹣1=±
5，
∴x1=6，x2=﹣4．
本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：
第一步移项，把常数项移到右边；
第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；
第三步左边写成完全平方式；
第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
4、（2014•随州，第23题8分）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．
（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么月需售出多少辆汽车？
（注：
销售利润=销售价﹣进价）
分段函数
（1）根据分段函数可以表示出当0＜x≤5，5＜x≤30时由销售数量与进价的关系就可以得出结论；
（2）由销售利润=销售价﹣进价，由
（1）的解析式建立方程就可以求出结论．
当0＜x≤5时
y=30．
当5＜x≤30时，
y=30﹣0.1（x﹣5）=﹣0.1x+30.5．
∴y=
（2）当0＜x≤5时，
（32﹣30）×
5=10＜25，不符合题意，
[32﹣（﹣0.1x+30.5）]x=25，
x1=﹣25（舍去），x2=10．
该月需售出10辆汽车．
本题考查了分段函数的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出分段函数的解析式是关键．
5、（2014衡阳，第24题6分）
已知某校去年年底的绿化面积为
平方米，预计到明年年底的绿化面积将会增加到
平方米，求这两年的年平均增长率。
【考点】一元二次方程、直接开方法解方程
【点评】本题考查一元二次方程增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量，同类型的问题还有降低的问题，根据题意去列方程即可.
6、（2014•无锡第20题8分）
（1）解方程：
x2﹣5x﹣6=0；
（2）解不等式组：
解一元一次不等式组．
（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
（1）方程变形得：
（x﹣6）（x+1）=0，
x1=6，x2=﹣1；
（2）
由①得：
x≥3；
由②得：
x＞5，
则不等式组的解集为x＞5．
此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2014•四川成都,第26题8分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
二次函数的应用；
一元二次方程的应用．
（1）根据题意得出长×
宽=192，进而得出答案；
（2）由题意可得出：
S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性得出答案．
（1）∵AB=xm，则BC=（28﹣x）m，
∴x（28﹣x）=192，
x1=12，x2=16，
x的值为12m或16m；
S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∴x=15时，S取到最大值为：
S=﹣（15﹣14）2+196=195，
花园面积S的最大值为195平方米．
此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
8．（2014•重庆A,第23题10分）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．
（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？
（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了
a%，求a的值．
一元二次方程的应用；
一元一次不等式的应用
（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000﹣x）元，利用“购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍”，列出不等式求解即可；
（2）根据“自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了
a%，且总集资额为20000元”列出方程求解即可．
（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000﹣x）元，
30000﹣x≥3x，
x≤7500．
最多用7500元购买书桌、书架等设施；
（2）根据题意得：
200（1+a%）×
150（1﹣
a%）=20000
a2+10a﹣3000=0，
a=50或a=﹣60（舍去），
所以a的值是50．
本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是从题目中整理出等量关系和不等关系，难度不大．
9．（2014•莱芜，第22题10分）某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程、已知2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．
（1）求平均每年投资增长的百分率；
（2）已知河道治污每平方需投入400元，园林绿化每平方米需投入200元，若要求2015年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米，且河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍，那么园林绿化的费用应在什么范围内？
一元一次不等式组的应用．
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