MATLAB中的矩阵与向量运算Word文档格式.docx
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1
2
3
4
5
c=b.'
c=
12345
这标明对行向量的两次转置运算便得到本来的行向量.
'
——共轭转置.对向量进行转置运算并对每个元素取其共轭.如:
d=a+i*a
d=
Columns1through3
1.0000+1.0000i2.0000+2.0000i3.0000+3.0000i
Columns4through5
4.0000+4.0000i5.0000+5.0000i
e=d'
e=
1.00001.0000i
2.00002.0000i
3.00003.0000i
4.00004.0000i
5.00005.0000i
4.2.2纯量（标量）和数组的四则运算
纯量和数组之间可以进行简略数学运算.如:
加,减,乘,除及其混杂运行.
g=[1234
5678
9101112]
g=g2
g=
1012
3456
78910
2*g1
ans=
3113
57911
13151719
4.2.3数组间的四则运算
在MATLAB中,数组间进行四则运算时,介入运算的数组必须具有雷同的维数,加,减,乘,除运算是按元素与元素的方法进行的.个中,数组间的加,减运算与矩阵的加,减运算要同,运算符为:
"
+"
"
.但是,数组间的乘,除运算与矩阵间的乘,除运算完整不合,运算符号也有不同,数组间的乘,除运算符为:
.*"
./"
或"
.\"
.
1.数组按元素相加,减
h=[1111;
2222;
3333]
g+h%按元素相加
2345
12131415
ansh%按元素相减
1234
9101112
2*gh%混杂运算
1357
8101214
15171921
2.按元素乘
g.*h
10121416
27303336
3.按元素除
数组间的除法运算符有两个,即左除:
和右除:
它们之间的关系是:
a./b=b.\a
g./h
1.00002.00003.00004.0000
2.50003.00004.10004.0000
3.00003.33333.66674.0000
h.\g
4.2.4幂运算
在MATLAB中,数组的幂运算的运算为:
.^"
暗示每一个元素进行幂运算.
g.^2%数组g每个元素的平方
14916
25364964
81100121144
g.^
（1）%数组g的每个元素的倒数
1.00000.50000.33330.2500
0.20000.16670.14290.1250
0.11110.10000.09090.0833
2.^g%以g的每个元素为指数对2进行乘方运算
24816
3264128256
512102420484096
g.^h%以h的每个元素为指数对g中响应元素进行乘方运算
729100013311728
g.^（h1）
1111
4.2.5数组的指数,对数和开方运算
在MATLAB中,所谓数组的运算本质是是数组内部每个元素的运算,是以,数组的指数,对数和开方运算与标量的运算规矩完满是一样的,运算符函数分离为:
exp（）,log（）,sqrt（）等.
a=[134;
265;
324];
c=exp（a）
2.718320.085554.5982
7.3891403.4288148.4132
20.08557.389154.5982
数组的对数,开方运算与数组的指数运算,其方法完整一样,这里不胪陈.
4.3向量运算
对于一行或一列的矩阵,为向量,MATLAB有专门的函数来进行向量点积,叉积和混杂积的运算.
4.3.1向量的点积运算
在高级数学中,我们知道,两向量的点积指两个向量在个中一个向量偏向上的投影的乘积,通经常应用来界说向量的长度.在MATLAB中,向量的点积用函数"
dot"
来实现,其挪用格局如下:
C=dot（A,B）——返回向量A与B的点积,成果存放于C中.
C=dot（A,B,DIM）——返回向量A与B在维数为DIM的点积,成果存放于C中.
A=[24531];
B=[38101213];
C=dot（A,B）
C=
137
C=dot（A,B,4）
632503613
4.3.2向量的叉积运算
在高级数学中,我们知道,两向量的叉积返回的是与两个向量构成的平面垂直的向量.在MATLAB中,向量的点积用函数"
cross"
C=cross（A,B）——返回向量A与B的叉积,即:
成果存放于C中.
C=cross（A,B,DIM）——返回向量A与B在维数为DIM的叉积,成果存放于C中.
A=[245];
B=[3810];
C=cross（A,B）
054
4.3.3向量的混杂运算
D=dot（A,cross（B,C））
D=
41
上例标明,起首进行的是向量B与C的叉积运算,然后再把叉积运算的成果与向量A进行点积运算.
4.4矩阵的根本运算
假如说MATLAB的最大特色是壮大的矩阵运算功效,此话毫不为过.事实上,MATLAB中所有的盘算都是以矩阵为根本单元进行的.MATLAB对矩阵的运算功效最周全,也是最为壮大的.矩阵在情势上与构造方面是等同于前面所述的数组的,当其数学意义倒是完整不合的.
矩阵的根本运算包含矩阵的四则运算,矩阵与标时的运算,矩阵的幂运算,指数运算,对数运算,开方运算及以矩阵的逆运算,行列式运算等.
4.4.1矩阵的四则运算
矩阵的四则运算与前面介绍的数组的四则运算基底细同.但也有一些不同.
1.矩阵的加减
矩阵的加,减与数组的加,减是完整雷同的,运算时请求两矩阵的大小完整雷同.
a=[12;
35;
26];
b=[24;
18;
90];
c=a+b
36
413
116
2.矩阵的相乘
对于矩阵的乘法,从线性代数中,我们知道,请求进行相乘的两矩阵有雷同的公共维.如:
b=[241;
890];
c=a*b
18221
46573
52622
设A矩阵为一个阶的矩阵,则请求与之相乘的B矩阵必须是一个阶,得到矩阵是阶的.即,只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时,两个矩阵的乘积才有意义.
3.矩阵的除法
对于矩阵的除法有两个运算符号,分离为左除符号"
\"
和右除符号"
/"
.矩阵的右除运算速度要慢一点,而左除运算可以防止奇怪矩阵的影响.
对于方程,若此方程为超定的方程,则应用除法可以主动找到使的平方最小化的解.若此方程为不定方程,则应用除法运算符至少求得的解至多有rank（A）（矩阵A的秩）个非零元素,并且求得的解是这种类型的解中范数最小的一个.
a=[213420;
57820;
211417;
343138];
b=[10203040]'
;
x=b\a
x=
0.76671.18670.8767
上面方程是超定方程.要留意的:
成果矩阵x是列向量情势.假如,
a=[2134205;
78202114;
17343138];
b=[102030]'
1.62861.25711.10711.0500
上面的方程为不定方程.
4.矩阵与标量间的四则运算
矩阵与标量的四则运算和数组与标量间的四则运算完整雷同,即矩阵中的每个元素与标量进行加,减,乘,除四则运算.须要解释的是,当进行除法运算时,标量只能做除数.
5.矩阵的幂运算
矩阵的幂运算与标量的幂运算不合.用符号"
^"
它不是对矩阵的每个元素进行幂运算,而是与矩阵的某种分化有关.
b=[213420;
782021;
173431];
c=b^2
343320741754
355537662631
35362312
6.矩阵的指数,对数运算与开方运算
矩阵的指数运算,对数运算与开方运算与数组响应的运算是不合的.它其实不是对矩阵中的单个元素的运算,而是对全部矩阵的运算.这些运算函数如下:
expm,expm1,expm2,expm3——指数运算函数;
logm——对数运算函数;
sqrtm——开方运算函数.
265;
324];
c=expm（a）
1.0e+004*
0.46680.76940.9200
0.79191.30651.5613
0.48070.79190.9475
c=logm（a）
0.5002+2.4406i0.59600.6800i0.78811.2493i
0.4148+0.4498i1.46600.1253i1.01080.2302i
0.57801.6143i0.4148+0.4498i1.0783+0.8263i
c=sqrtm（a）
0.6190+0.8121i0.81280.2263i1.16230.4157i
0.3347+0.1497i2.30220.0417i1.14750.0766i
1.02710.5372i0.3347+0.1497i1.6461+0.2750i
7.矩阵的转置,逆运算与行列式运算
矩阵的转置的运算符为"
.求逆用运算函数:
inv（）.而用函数:
det（）则可求的矩阵行列式的大小.
a=[120;
251;
4101];
c=a'
124
2510
011
b=inv（a）
522
211
021
d=det（a）
4.5矩阵的特别运算
矩阵的特别运算包含矩阵特点值运算,前提数运算,奇怪值运算,范数运算,秩运算,正交化运算,迹运算,伪逆运算等,这些运算,MATLAB都可以异常便利地给出.
4.5.1矩阵的特点值运算
在线性代数中,盘算矩阵的特点值进程相当庞杂.而在MATLAB中,矩阵特点值运算只需用函数"
eig（）"
eigs（）"
盘算即可得到.其应用格局如下.
E=eig（X）——生成由矩阵X的特点值所构成的一个列向量;
[V,D]=eig（X）——生成两个矩阵V和D,个中V是以矩阵X的特点向量作为列向量构成的矩阵,D是由矩阵X的特点值作为主对角线元素构成的对角矩阵.
eigs（）函数应用迭代法求解矩阵的特点值和特点向量.
D=eigs（X）——生成由矩阵X的特点值所构成的一个列向量.X必定是方阵,最好是大型稀少矩阵;
[V,D]=eigs（X）——生成两个矩阵V和D,个中V是以矩阵X的特点向量作为列向量构成的矩阵,D是由矩阵X的特点值作为主对角线元素构成的对角矩阵.
[b,c]=eig（a）
0.24400.91070.4472
0.33330.33330.0000
0.91070.24400.8944
3.732100
00.26790
001.0000
4.5.2矩阵（向量）的范数运算
为了反应了矩阵（向量）某些特点,线性代数中引入了范数的概念,它分为2范数,1范数,无限范数和Frobenius范数等.在MATLAB中,用函数norm（）或normest（）盘算矩阵（向量）的范数.其应用格局如下.
norm（X）——盘算矩阵（向量）X的2范数;
norm（X,2）——同上;
norm（X,1）——盘算矩阵（向量）X的1范数;
norm（X,inf）——盘算矩阵（向量）X的无限范数;
norm（X,'
fro'
）——盘算矩阵（向量）X的Frobenius范数;
normest（X）——只盘算矩阵（向量）X的2范数;
并且是2范数的估量值,实用于盘算norm（X）比较费时的情形.
X=hilb（4）
X=
0.50000.33330.25000.2000
0.33330.25000.20000.1667
0.25000.20000.16670.1429
norm（4）
norm（X）
1.5002
norm（X,2）
norm（X,1）
2.0833
norm（X,inf）
norm（X,'
）
1.5097
normest（X）
4.5.3矩阵的前提数运算
矩阵的前提数是断定矩阵"
病态"
程度的一个量值,矩阵A的前提数越大,标明A越"
反之,标明A越"
良态"
.如Hilbert矩阵就是一个著名的病态矩阵.
cond（X）——返回矩阵X的2范数的前提数;
cond（X,P）——返回矩阵X的P范数的前提数,个中P为1,2,inf或fro;
rcond（X）——用于盘算矩阵前提数的倒数值,当矩阵X为"
时,rcond（X）就接近0,X为"
时,rcond（X）就接近1.
condest（X）——盘算关于矩阵X的1范数的前提数的估量值.
M=magic（3）
M=
816
357
492
H=hilb（4）
H=
c1=cond（M）
c1=
4.3301
c2=cond（M）
c2=
c3=rcond（M）
c3=
0.1875
c4=condest（M）
c4=
5.3333
h1=cond（H）
h1=
1.5514e+004
h2=cond（H,inf）
h2=
2.8375e+004
h3=rcond（H）
h3=
3.5242e005
h4=condest（H）
h4=
从上盘算可以看出,魔方矩阵比较"
而Hilbert矩阵是"
的.
4.5.4矩阵的秩
秩是线性代数中的相当主要的概念之一,平日矩阵可以经由初等行列式或列变换,将其转化为行阶梯形矩阵,而行阶梯矩阵所包含非零行的行数是一个定的,这个肯定的非零行的行数就是矩阵的秩.矩阵中的秩用函数rank（）来盘算.
T=rand（6）
T=
0.95010.45650.92180.41030.13890.0153
0.23110.01850.73820.89360.20280.7468
0.60680.82140.17630.05790.19870.4451
0.48600.44470.40570.35290.60380.9318
0.89130.61540.93550.81320.27220.4660
0.76210.79190.91690.00990.19880.4186
r=rank（T）
r=
6
由上盘算可知,矩阵T为满秩矩阵.
T1=[111;
223]
T1=
111
223
r=rank（T1）
由上盘算可知,矩阵T1为行满秩矩阵.
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