函数极限与连续Word文件下载.docx
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1.1.3反函数
设有函数y=f（x）,x∈D，值域为M.若对M中任一个值y，都可由关系式y=f（x）确定唯一的一个x值，这样便确定了一个定义在M上以y为自变量、x为因变量的新函数，这个函数叫做函数
y=f（x）的反函数.记作x=f-1（y）,y∈M。
从反函数的定义可知，函数的定义域是其反函数的值域，
而其值域则是反函数的定义域.从几何图形上看，函数y=f（x）的图象与x=f
习惯上，y=f（x）,x∈D的反函数写作y=f
-1
（y）的图像是一样的。
（x）,x∈M，他们的图像关于y=x对称。
1.2初等函数
1.2.1基本初等函数
研究的各种函数，特别是一些常见的函数都是有几种最简单的函数构成的，这些就是基本初等函数.
表1.1基本初等函数
需要注意的是，绝对值运算不属于基本初等函数；
反三角函数只是三角函数在某一区间上的一部分的反函数。
1.2.2复合函数
定义1.2设函数y=f（u）的定义域为D1，函数u=ϕ（x）的值域为D2，其中D2⊆D1，则变量y通过u成为x的函数，称为由函数y=f（u）和函数u=ϕ（x）构成的复合函数，记为y=f[φ（x）]，其中u为中间变量.复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有多个中间变量，这些中间变量是经过多次复合产生的.
1.2.3初等函数与分段函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初
⎧-1⎪
等函数.除了初等函数外，其余的函数通常用分段的形式表示，称为分段函数，如f（x）=⎨0
⎪1⎩
是一个分段函数，y=x也是分段函数而非初等函数。
x0
1.3极限
1.3.1数列极限
一系列数构成一个数列，数列中的每一个数，称为数列的项.其中第n项an被称为数列的通项.数列简记为{an}，有的数列可能会有一定的趋势。
定义1.3如果当项数n→∞时，数列{an}的通项an无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为数列{an}的极限，也称数列{an}收敛于A，否则，称数列{an}发散。
记作
liman=A或an→A（n→∞）
n→∞
请注意：
（1）数列极限中n→∞是指n→+∞，不要考虑n→-∞时的情形；
（2）数列极限只能是常数，如数列1,2,,n,趋向于无穷大，可以记作liman=+∞，但该数列没
有极限；
（3）数列极限要么没有，有的话只有一个。
如数列-1,1,-1,1,,（-1）,不能说他有两个极限，而
n
是没有极限；
⎧n⎪
（4）数列极限只和n→+∞时的趋势有关，和前面有限多项无关，如an=⎨1
⎪⎩n
数列极限只和n≥10000时的趋势有关，其极限为0
一个数列根据其变化趋势，可以分为三类：
（1）数列有极限，如an=
，该
；
（2）数列没有极限但有趋势，如an=n；
（3）数列没有极限也没有趋势，则该数列是“摆动”的或是“振荡”的，如an=（-1），an=sinn
等；
1.3.2函数极限
函数极限是在讨论当自变量x出现某个趋势的时候，因变量会出现怎样的变化，函数极限通常包含54种情况。
1.x→+∞时的极限
当x→+∞时，如果f（x）的值无限地接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f（x）当x→+∞时的极限，记作
x→+∞
limf（x）=A或f（x）→A（x→+∞）
例如limarctanx=
π
2
2.x→-∞时的极限
当x→-∞时，函数f（x）的值无限地接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f（x）当x→-∞时的极限，记作
limf（x）=A或f（x）→A（n→-∞）
x→-∞
例如limarctanx=-
3.x→∞时的极限
如果x→+∞时的极限和x→-∞时的极限相等，则可记作x→∞时的极限。
例如lim4.x→x0时的极限
=0x→∞x
x2-1
对于函数f（x）=，可以看出当x→1时对应的函数值无限地接近于常数2，我们称常数2为函
x-1x2-1
数f（x）=当x→1时的极限.
x-1
定义1.4设函数f（x）在点x0附近（x0点可除外）有定义，当x→x0时,函数f（x）的值无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f（x）当x→x0时的极限，记作
x→x0
limf（x）=A或f（x）→A（x→x0）
可以看出，函数f（x）在x→x0时的极限，与f（x）在x=x0处是否有定义无关.
图1.2
5.单侧极限
有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同（如分段函数在其定义域的分段点上），或函数在某些点仅在其一侧有定义，这时函数在那些点上的极限只能单侧地给出定义.
定义1.5设函数f（x）在点x0的右（左）侧某个区间内有定义.如果存在常数A，当x从x0的右（左）
+-
边趋近于x0时，即x→x0（x→x0）时，函数f（x）的值无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为函
数f（x）当x→x0时的右（左）极限，记作
+
limf（x）=A（limf（x）=A）-
或f（x0+0）=A（f（x0-0）=A）
f（x）=limf（x）=A.定理1.1limf（x）=A的充要条件是lim-+
x→x0x→x0
例如函数
⎧x+2,x≥0
f（x）=⎨
x-2,x
f（x）=lim（x-2）=-2，作出函数图像可以看出，lim--
x→0
x→0+
limf（x）=lim（x+2）=2，显然limf（x）≠limf（x），因此当x→0时函数极限不存在.+-+
图1.3
思考：
数列极限的概念需要注意一些问题，函数极限的概念呢？
1.4无穷小量与无穷大量
1.4.1无穷小量
若函数f（x）当x→x0（或x→∞）时的极限为0，那么称函数f（x）为x→x0（或x→∞）时的无穷小量；
若函数g（x）在x0的某空心邻域U（x0）内有界，则称g（x）为当x→x0时的有界量，否则称为无界量。
例如，函数x-1是当x→1时的无穷小量；
函数x（k为正整数），ln（1+ax），sinax，tanax和
a
1-cosax（a为常数）都是当x→0时的无穷小量；
函数x（a
k
x
当x→0时是有界量.
下面给出无穷小量的性质：
（1）有限个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量；
无限个无穷小量的和、差、积则不确定。
（2）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.
例如，limxsin
=0.x
注意，要求在用上面两个性质时，是自变量在同一个变化趋势下的无穷小量和有界量的运算。
1.4.2无穷大量
若函数f（x）在当x→x0（或x→∞）时，f（x）无限增大，就称函数f（x）为x→x0（或x→∞）时的无穷大量.
下面给出无穷大量的性质：
（1）有限个无穷大量的积是无穷大量.
（2）无穷大量与有界量的和是无穷大量.
无界量是否就是无穷大量？
当x→∞时xsinx是无界量还是无穷大量？
1.4.3无穷大与无穷小的关系
在自变量的同一变化过程中，如果f（x）为无穷小量，且f（x）≠0，则
为无穷大量；
反之，如f（x）
果f（x）为无穷大量，则
必为无穷小量.无穷大量与无穷小量的乘积结果不确定。
f（x）
1.4.4无穷小量的比较
无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度不同.为此，我们考察两个无穷小量的比，以便对它们的收敛速度做出判断.
设当x→x0时，f（x）与g（x）均为无穷小量.
（1）若lim
=0，则称当x→x0时，f（x）是比g（x）高阶的无穷小量，g（x）
或称g（x）是比f（x）低阶的无穷小量，记为f（x）~o（g（x））.例如，当x→0时，x和x等都
x222
=limx=0，是无穷小量，而lim所以，称当x→0时，x是比x高阶的无穷小量;
x是比xx→0xx→0
低阶的无穷小量.
（2）若lim
=c≠0，则称当x→x0时f（x）是与g（x）同阶的无穷小量.特别当c=1时，即g（x）
lim
=1，则称当x→x0时，f（x）是与g（x）等价的无穷小量.记作g（x）
f（x）~g（x）（x→x0）.
1.5极限的运算
1.5.1极限运算法则
若极限limf（x）与limg（x）都存在，则函数f（x）±
g（x），f（x）⋅g（x），当x→x0时极限也存在，
且
（1）lim[f（x）±
g（x）]=limf（x）±
limg（x）
（2）lim[f（x）g（x）]=limf（x）⋅limg（x）
特别地，
当g（x）=c（常数）时，则有limcf（x）=climf（x）
当f（x）=g（x）时，有lim[f（x）]=[limf（x）]
22
limf（x）f（x）f（x）x→x
（3）若g（x）≠0且limg（x）≠0，则函数当x→x0时极限也存在，且lim=0
x→x0x→x0g（x）g（x）limg（x）
（4）lime
=e
limf（x）
-+
注意，当自变量x以其它方式变化时（x→+∞、x→-∞、x→∞、x→x0、x→x0），结论仍
然成立.同时，数列极限运算依然满足上述法则.
1.5.2常见的求极限方法
1.基本方法
2x2+x+1例1.1计算lim
x→+∞x2+1
解：
注意到lim（2x+x+1）=+∞，lim（x+1）=+∞，所以不能直接运用极限的运算法则来计算，
可采用分子、分母同时除以x的方法来求解.
2x+x+1
=lim2x→+∞x→+∞x+1lim
2+
x111
+2++22=lim2=2+0+0=2
x→+∞1+01+21+2
xx
2x2-3x+1
例1.2计算lim2x→1x-1
这是一个
的不定式，可以使用洛必达法则计算。
0
x→1
此外注意到lim（2x-3x+1）=0，lim（x-1）=0；
不能直接运用商的极限运算法则，但可分子、分
母分解因式，约去公因子x-1后，再求极限.
2x2-3x+1（2x-1）（x-1）2x-11lim=lim=lim=2x→1x→1x→1x-1（x+1）（x-1）x+12
例1.3
计算lim（a>
0）.
x→0x
此外，还可采用分子有理化的方法求解
.
===
x→0x→0x→02a
例1.4计算lim（
21
-）2
x-1x-1
和都是无穷大量，所以不能直接运用极限运算法则，可采用通分的方x2-1x-1
这是一个∞-∞的不定式，绝大多数情况下这种不定式都可以先通分，再使用已知方法计算。
因为当x→1时，法求解.
lim（
21-（x-1）-11
-）=lim=lim=-
x→1（x+1）（x-1）x→1x+12x2-1x-1
例1.5计算lim（
12n+++）n2n2n2
因为有无穷多项，所以不能用和的极限运算法则，此时可先变形，再求极限.lim（
12n1+2++nn（n+1）/2111
+++）=lim=lim=lim（1+）=基本方法实22222n→∞n→∞n→∞2n2nnnnn
际上只是一些常见的解题技巧，算不上一种有规律的方法，只能通过多做习题来掌握。
2.两个重要极限
这里有两个定理，考试时一般用不到：
（1）若limg（x）=limh（x）=A，且在点x0的某空心邻域内恒有g（x）≤f（x）≤h（x），则极限
limf（x）存在，且limf（x）=A
（2）单调有界数列必有极限，详细来说就是单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的
数列必有极限。
两个重要极限分别为
（1）lim
sinx
=1
sinx11
=0，limxsin=1，limxsin=0注意，lim
x→∞x→∞x→0xxx
为什么，能看出这些式子有什么区别吗？
⎛1⎫
（2）lim1+⎪=e（其中e=2.71828的无理数）
x→∞
⎝x⎭
这个极限又可以写成另一种形式lim（1+t）=e
t→0
1t
大多数1型不定式都可以用这个重要极限计算。
∞
lim1+⎪=e中的∞是+∞还是-∞呢？
⎝x⎭⎛2⎫
例1.6计算lim1+⎪
⎛⎫⎛⎫2⎪x⎪⎪1⎛2⎫⎪⎪=e2解：
lim1+⎪=lim1+
x→∞x→∞x⎪⎪x⎭⎝⎪
⎝2⎭⎪⎝⎭
limx⎛2⎫⎛2⎫x→∞
常见的错误解法：
lim1+⎪=lim1+⎪=1x→∞=1
x→∞x→∞
⎝x⎭⎝x⎭
xlimx
错在哪里？
⎛x+1⎫
例1.7计算lim⎪
x→∞x-1⎝⎭
⎡⎤22⎫22⎛x+1⎫⎛⎛⎫⎢⎥解：
lim=lim1+=lim1+⋅（1+）=e2⎪⎪⎪x→∞x-1x→∞x→∞⎢x-1⎝⎭⎝x-1⎭⎝x-1⎭⎥⎣⎦
3.洛必达法则
定理1.2若
（1）limf（x）=0，limg（x）=0；
（2）f和g在点x0的附近（点x0可除外）可导，且g'
（x）≠0；
（3）lim
f'
（x）
=A（A可为实数，也可为无穷大量）.g'
则lim
f（x）f'
=lim=Ag（x）x→x0g'
定理1.3若
（1）limf（x）=∞，limg（x）=∞；
0∞
型不定式和型不定式求极限。
其中条件
（1）必须满足，也就是说在每一次对分子分母0∞
求导前都需要进行判断是否是型不定式或型不定式，如果是可以继续运算，如果不是则直接求出极限；
这就是对
条件
（2）对我们求函数极限的题目来说都是满足的；
条件（3）通常都是满足的，只有当我们求极限求不出结果时才需要考虑是否这个题目不满足条件（3）。
ex-1
例1.8求lim.
这是
型不定式，根据洛必达法则，有0
ex-1exlim=lim=e0=1.x→0x→01x
例1.9求limx→+∞
-arctanx1
1π
--arctanx2x2lim=lim=lim=1.
x→+∞x→+∞x→+∞1+x211
-2
这是例1.10求lim
x→
tanx
.tan3x
型不定式，根据洛必达法则，有∞
tanxsec2xcos23xlim=lim=limπtan3xπ3sec23xπ3cos2xx→x→x→
=lim
-6cos3xsin3x
-6cosxsinxsin6x6cos6x
πsin2xx→2cos2x
=
6cos3π
=3
2cosπ
x2sin
例1.11求lim
1x.
11
limxsin
=lim（x⋅x⋅sin1）=x→0=0=0.解：
x→0x→0sinxsinxsinxx1
limx→0x
111
（x2sin）'
2xsin-cos
=lim不存在，所以所给极限不能用洛必达法则求出.因为lim
x→0x→0（sinx）'
cosx
有时候理论上洛必达法则是可行的，但实际计算中可能会使得计算量极其庞大，这时候应该使用一些其他的方法求解.
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