一阶微分方程解的存在定理共10页.docx

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一阶微分方程解的存在定理共10页

第三章一阶微分方程解的存在定理

其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。

不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?

尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。

这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。

日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。

[教学目标]

1.单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。

让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。

这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。

理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。

2.我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?

吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:

“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!

”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。

特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:

提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。

知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。

根本原因还是无“米”下“锅”。

于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。

所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。

要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。

了解解的延拓定理及延拓条件。

3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。

[教学重难点]解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。

[教学方法]讲授，实践。

[教学时间]12学时

[教学内容]解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。

[考核目标]

1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。

2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。

3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。

§1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法

微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。

在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。

而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。

因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。

他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。

例如方程

过点的解就是不唯一，易知是方程过的解，此外，容易验证，或更一般地，函数

都是方程过点而且定义在区间上的解，其中是满足的任一数。

解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。

另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。

而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。

1．存在性与唯一性定理：

（1）显式一阶微分方程

（3.1）

这里是在矩形域：

（3.2）

上连续。

定理1：

如果函数满足以下条件：

1）在上连续：

2）在上关于变量满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数，使对于上任何一对点，均有不等式成立，则方程（3.1）存在唯一的解，在区间上连续，而且满足初始条件

（3.3）

其中,称为Lipschitz常数.

思路：

1）求解初值问题（3.1）的解等价于积分方程

的连续解。

2）构造近似解函数列

任取一个连续函数，使得，替代上述积分方程右端的

，得到

如果，那么是积分方程的解，否则，又用替代积分方程右端的，得到

如果，那么是积分方程的解，否则，继续进行，得到

（3.4）

于是得到函数序列.

3）函数序列在区间上一致收敛于，即

存在，对（3.4）取极限,得到

即.

4）是积分方程在上的连续解.

这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理.

为了讨论方便,只考虑区间,对于区间的讨论完全类似.

命题1设是方程（3.1）定义于区间上,满足初始条件

（3.3）

的解,则是积分方程

（3.5）

的定义于上的连续解.反之亦然.

证明因为是方程（3.1）满足的解,于是有

两边取到的积分得到

即有

所以是积分方程定义在区间上的连续解.

反之,如果是积分方程（3.5）上的连续解,则

（3.6）

由于在上连续,从而连续,两边对求导,可得

而且,

故是方程（3.1）定义在区间上,且满足初始条件的解.

构造Picard的逐次逼近函数序列.

（3.7）

命题2对于所有的，（3.6）中的函数在上有定义，连续且满足不等式

（3.8）

证明用数学归纳法证明

当时，，显然在上有定义、连续且有

即命题成立.

假设命题2成立，也就是在上有定义、连续且满足不等式

当时，

由于在上连续,从而在上连续，于是得知在上有定义、连续,而且有

即命题2对时也成立.由数学归纳法知对所有的均成立.

命题3函数序列在上是一致收敛的.

记,

证明构造函数项级数

（3.9）

它的部分和为

于是的一致收敛性与级数（3.9）的一致收敛性等价.为此，对级数（3.9）的通项进行估计.

（3.10）

由Lipschitz条件得知

设对于正整数,有不等式

成立,则由Lipschitz条件得知,当时,有

于是由数学归纳法可知,对所有正整数,有

（3.11）

由正项级数的收敛性,利用Weierstrass判别法,级数（3.9）在上一致收敛.因而序列在上一致收敛.

设,则也在上连续,且

命题4是积分方程（3.5）的定义在上的连续解.

证明由Lipschitz条件

以及在上一致收敛于,可知在上一致收敛于.因此

即

故是积分方程（3.5）的定义在上的连续解.

命题5设是积分方程（3.5）的定义在上的一个连续解,则,.

证明设,则是定义在的非负连续函数,由于

而且满足Lipschitz条件,可得

令,则是的连续可微函数,且,

,,,

即,于是在上,

故,即,,命题得证.

对定理说明几点:

（1）存在唯一性定理中的几何意义.

在矩形域中,故方程过的积分曲线的斜率必介于与之间,过点分别作斜率为与的直线.

当时，即,（如图（a）所示），解在上有定义；当时,即,（如图（b）所示），不能保证解在上有定义，它有可能在区间内就跑到矩形外去，只有当才能保证解在内，故要求解的存在范围是

.

（2）、由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数在矩形域上关于的偏导数存在并有界，即，则李普希兹条件条件成立.事实上

这里.如果在上连续，它在上当然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数不一定有偏导数存在.例如函数在任何区域都满足李普希兹条件,但它在处没有导数.

（3）、设方程（3.1）是线性的,即方程为

易知,当在区间上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值所确定的解在整个区间上有定义、连续.

实际上,对于一般方程（3.1）,由初值所确定的解只能定义在上,是因为在构造逐步逼近函数序列时,要求它不越出矩形域,此时,右端函数对没有任何限制,只要取.

（4）、Lipschitz条件是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件.

例如试证方程

经过平面上任一点的解都是唯一的.

证明时,,在上连续,也在上连续,因此对轴外的任一点,方程满足的解都是唯一存在的.又由

可得方程的通解为,其中为上半平面的通解,为下半平面的通解,它们不可能与相交.注意到是方程的解,因此对轴上的任一点,只有通过,从而保证平面上任一点的解都是唯一的.

但是

因为,故不可能存在,使得

所以方程右端函数在的任何邻域并不满足Lipschitz条件.

此题说明Lipschitz条件是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件.

2）考虑一阶隐方程

（3.12）

由隐函数存在定理,若在的某一邻域内连续且,而,则必可把唯一地表为的函数

（3.13）

并且于的某一邻域连续,且满足

如果关于所有变元存在连续的偏导数,则对也存在连续的偏导数,并且

（3.14）

显然它是有界的,由定理1可知,方程（3.13）满足初始条件的解存在且唯一.从而得到下面的定理.

定理2如果在点的某一邻域中:

ⅰ）关于所有变元连续,且存在连续的偏导数；

ⅱ）

ⅲ）

则方程（3.12）存在唯一的解

（为足够小的正数）

满足初始条件

（3.15）

1、近似计算和误差估计

求方程近似解的方法——Picard的逐次逼近法

对方程的第次近似解和真正解在内的误差估计式

（3.16）

此式可用数学归纳法证明.

设有不等式

成立,则

例1讨论初值问题

解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中,.

解,由于,根据误差估计式（3.16）

可知.于是

就是所求的近似解,在区间上,这个解与真正解得误差不超过0.05.