6．如图所示，一个劲度系数为k的轻弹簧，一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴线施一水平力将弹簧拉长，求在弹簧由原长开始到伸长量为x1过程中拉力所做的功．如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由x1增大到x2的过程中，拉力又做了多少功？
7．电动机通过一绳吊起一质量为8kg的物体，绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1200W，要将此物体由静止起，用最快的方式吊高90m所需时间为多少（已知此物体在被吊高达90m时开始以最大速度匀速上升）？
8．如图所示，有一劲度系数k=500N/m的轻弹簧，左端固定在墙壁上，右端紧靠一质量m=2kg的物块，物块与水平面间的动摩擦因数为0.4，弹簧处于自然状态．现缓慢推动物块使弹簧从B到A处压缩10cm，然后由静止释放物块，求：
（1）弹簧恢复原长时，物块的动能多大？
（2）在弹簧恢复原长的过程中，物块的最大动能为多大？
9．如图所示，质量为2kg的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以10m/s的速度开始下滑，到达B点时的速度变为2m/s，求物体从A运动到B的过程中，摩擦力所做的功是多少？
10．一条长链的长度为a，置于足够高的光滑桌面上，如图所示．链的下垂部分长度为b，并由静止开始从桌上滑下，问：
当链的最后一节离开桌面时，链的速度及在这一过程中重力所做的功为多少？
11．如图所示，一人用定滑轮吊起一个质量为M的物体，绳子每单位长的质量为ρ，试求人将物体从地面吊起高度为L的过程中所做的最小功．
12．质量为5×105kg的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的0.06倍，机车经过5min速度达到最大值108km/h，求机车的功率和机车在这段时间内所通过的路程．
13．用锤子把铁钉打入木块中，设每次打击锤子时给铁钉的动能相同，铁钉进入木块所受的阻力跟打入的深度成正比．如果钉子第一次被打入木块的深度为2cm，求第二次打入的深度和需要几次打击才能将铁钉打入4cm深处．
14．如图所示，AB与CD为两个斜面，其上部足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面的两端相切（OE为整个轨道的对称轴）．圆弧的圆心角为120°，半径R=2.0m，一个物体在离弧底E高度h=3.0m处，以速率v0=4.0m/s沿斜面运动．若物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.02，则该物体在AB与CD斜面上（除圆弧部分）一共能够走的路程为多少？
《求变力做功的常见方法》答案
1．C
解析：
因为力F的方向不断改变，不能用W=Fscosα求解，但可把物体的位移分割成许多的小段，在每一小段位移上作用在物体上的力F可视为恒力．因此选C．
2．D
解析：
设克服摩擦力做功为W，则ΔEk=0=mgR-μmgR-W，所以W=（1-μ）mgR．因此选D．
3．AB
解析：
发动机所做的功即为发动机牵引力所做的功，由功率定义W=Pt可知，选项B正确．汽车以恒定功率启动，当F=Ff时，达到最速度vm，应有P=Fvm=Ffvm，所以W=Pt=Ffvmt，选项A正确．选项C、D均将汽车的运动看作匀变速运动，其中选项C是先求出a，再求出合外力ma的功，选项D是先算出平均速度，然后用表示发动机做的功，显然都是错误的，因为机车的运动是变加速运动而不是匀变速运动．因此选AB．
4．A
解析：
在C点施加的竖直向下的力做了多少功，就有多少其它能转化为绳的机械能．由于WF>0，WF=ΔEp+ΔEk，而ΔEk=0，所以ΔEp>0，即绳的重力势能增加，得知绳重心升高．因此选A．
5．解：
弹簧对滑块的弹力与弹簧的形变量成正比，求出弹力的平均值为：
，用力的平均值乘以位移即得到变力的功：
．
6．解：
在拉弹簧的过程中，拉力的大小始终等于弹簧弹力的大小，根据胡克定律可知，拉力与拉力的作用点的位移x（等于弹簧的伸长量）成正比，即：
F=kx．
F-x关系图象如图所示，由图可知△AOx1的面积在数值上等于把弹簧拉伸x1的过程中拉力所做的功，即．
梯形Ax1x2B的面积在数值上等于弹簧伸长量由x1增大到x2过程中拉力所做的功，即．
7．解：
本题可分为两个过程来处理，第一个过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体，使物体匀加速上升，第一个过程结束时，电动机的功率刚达到最大功率．第二个过程是电动机一直以最大功率拉物体，拉力逐渐减小，物体变加速上升，当拉力减小至等于重力时，物体开始匀速上升．
在匀加速运动过程中，加速度：
，末速度：
，上升时间：
，上升高度：
．
在功率恒定的上升过程中，设经h2后，达匀速运动的速度：
，此过程中外力对物体做的总功W=Pmt2-mgh2，由动能定理W=ΔEk得：
，其中h2=H-h1=80m．解得t2=5.75s．
所需时间最小应为：
t=t1+t2=2+5.75=7.75s．
8．解：
（1）从A到B的过程，对物体应用动能定理得，其中．可利用示功图求出，画出弹簧弹力随位移变化的图象（如图所示），F1=kx1，弹力做功的值等于△OAB的面积，即，所以
．
（2）放开物体后，物体做的是加速度越来越小的加速运动，当弹簧的弹力等于摩擦力时，物体有最大的动能．设此时弹簧的压缩量为x2．由kx2=μmg得
．
物体的位移s2=x1-x2=0.1-0.016=0.084m．在这一过程中弹力的功在数值上等于图中梯形OADC的面积，即，所以物块的最大动能为
．
9．解：
根据动能定理有
．
在物体由A运动到B的过程中，弹力N不做功；重力在物体由A运动到C的过程中对物体所做的正功与物体从C运动到B的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零．因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由A运动到B的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量．则有
，
即．
10．解：
取桌面为零势能面，设整个链条质量为m，桌面高度为h，下垂部分质量为m0．则有，，开始下滑时链条的初动能Ek1=0，初势能，机械能．设链条全部离开桌面的瞬时速度为v，此时链条的势能，动能，机械能，根据机械能守恒定律有E1=E2，即，解得．
因此，在这一过程中重力所做的功为
．
11．解：
设绳的重量全部集中在它的重心上，物体升高高度为L时，绳的重心上升，则系统机械能的增量为
ΔE=ΔE1+ΔE2=ΔEp1+ΔEk1+ΔEp2+ΔEk2，
式中ΔE1、ΔE2分别为物体和绳的机械能增量．
由功能原理知，人的拉力所做的功为
W=ΔE=ΔEp1+ΔEk1+ΔEp2+ΔEk2，
当ΔEk1=ΔEk2=0时，即缓慢提升物体时W最小，即
．
12．解：
根据题意，机车所受阻力f=kmg=0.06×5×105×10=3×105N，
当机车速度达到最大值时，机车功率为P=fvm=3×105×30=9×106W．
根据动能定理得，
机车在这段时间内所通过的路程为
．
13．解：
（1）依据题意做出f-x关系图线如图所示．
第一次打击时铁钉克服阻力所做的功W1等于图中△AOC的面积的值．
设第二次打击时铁钉被打入的深度为x0，第二次打击时铁钉克服阻力所做的功W2等于图中梯形ABDC的面积的值．
因f=kx，由图可得
，，
则，
，
因每次打击时给铁钉的动能相等，故
W1=W2，
则，
解得．
（2）设打击n次可将铁钉打入4cm深处，此时克服阻力做功为W3，即图中△OEF的面积的值．
由图可知，当x=4cm时，，则
．
每次打击时克服阻力做功（即给铁钉的动能）为W1=2k，所以
．
14．解：
斜面的倾角为θ=60°，由于物体在斜面上所受到的滑动摩擦力小于重力沿斜面的分力（μmgcos60°，
物体在斜面上通过的总路程为
．
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