点线面位置关系知识点梳理及经典例题带解析.doc

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【知识梳理】

（1）四个公理

公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

符号语言：

。

公理2：

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

三个推论：

①经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

②经过两条相交直线，有且只有一个平面

③经过两条平行直线，有且只有一个平面

它给出了确定一个平面的依据。

公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。

符号语言：

。

公理4：

（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。

符号语言：

。

（2）空间中直线与直线之间的位置关系

1.概念异面直线及夹角：

把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

已知两条异面直线，经过空间任意一点O作直线，我们把与所成的角（或直角）叫异面直线所成的夹角。

（易知：

夹角范围）

定理：

空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

（注意：

会画两个角互补的图形）

2.位置关系：

（3）空间中直线与平面之间的位置关系

直线与平面的位置关系有三种：

（4）空间中平面与平面之间的位置关系

平面与平面之间的位置关系有两种：

直线、平面平行的判定及其性质

1.内容归纳总结

（1）四个定理

定理

定理内容

符号表示

分析解决问题的常用方法

直线与平面

平行的判定

平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行

在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。

即将“空间问题”转化为“平面问题”

平面与平面

平行的判定

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

判定的关键：

在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。

即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”

直线与平面

平行的性质

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

平面与平面

平行的性质

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

直线、平面平垂直的判定及其性质

1.内容归纳总结

（一）基本概念

1.直线与平面垂直：

如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面垂直，记作。

直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。

直线与平面的公共点叫做垂足。

2.直线与平面所成的角：

角的取值范围：

。

3.二面角：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

二面角的记法：

二面角的取值范围：

；两个平面垂直：

直二面角。

（二）四个定理

定理

定理内容

符号表示

分析解决问题的常用方法

直线与平面

垂直的判定

一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。

即将“线面垂直”转化为“线线垂直”

平面与平面

垂直的判定

一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。

（满足条件与垂直的平面有无数个）

判定的关键：

在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。

即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”

直线与平面

垂直的性质

同垂直与一个平面的两条直线平行。

平面与平面

垂直的性质

两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。

解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线

【经典例题】

典型例题一

例1简述下列问题的结论，并画图说明：

（1）直线平面，直线，则和的位置关系如何？

（2）直线，直线，则直线和的位置关系如何？

分析：

（1）由图

（1）可知：

或；

（2）由图

（2）可知：

或．

说明：

此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法．

典型例题二

例2是平行四边形所在平面外一点，是的中点，求证：

平面．

分析：

要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．

证明：

如图所示，连结，交于点，

∵四边形是平行四边形

∴，连结，则在平面内，且是的中位线，

∴．

∵在平面外，

∴平面．

说明：

应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？

由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为：

过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．

典型例题三

例3经过两条异面直线，之外的一点，可以作几个平面都与，平行？

并证明你的结论．

分析：

可考虑点的不同位置分两种情况讨论．

解：

（1）当点所在位置使得，（或，）本身确定的平面平行于（或）时，过点再作不出与，都平行的平面；

（2）当点所在位置，（或，）本身确定的平面与（或）不平行时，可过点作，．由于，异面，则，不重合且相交于．由于，，确定的平面，则由线面平行判定定理知：

，．可作一个平面都与，平行．

故应作“0个或1个”平面．

说明：

本题解答容易忽视对点的不同位置的讨论，漏掉第

（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论．

典型例题四

例4平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．

已知：

直线，平面，．

求证：

．

证明：

如图所示，过及平面内一点作平面．

设，

∵，

∴．

又∵，

∴．

∵，，

∴．

说明：

根据判定定理，只要在内找一条直线，根据条件，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过作平面与相交，我们常把平面称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化．

和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．

典型例题五

例5已知四面体的所有棱长均为．求：

（1）异面直线的公垂线段及的长；

（2）异面直线和所成的角．

分析：

依异面直线的公垂线的概念求作异面直线的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．

解：

（1）如图，分别取的中点，连结．

由已知，得≌．

∴，是的中点，

∴．

同理可证

∴是的公垂线段．

在中，，．

∴

．

（2）取的中点，连结，则．

∴和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角．

连结，在中，，，．

由余弦定理，得

．

∴．

故异面直线和所成的角为．

说明：

对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．

典型例题六

例6　如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内．

已知：

直线，，，．

求证：

．

分析：

由于过点与平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面外，不存在过与平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法．

证明：

如图所示，设，过直线和点作平面，且．

∵，∴．

这样过点就有两条直线和同时平行于直线，与平行公理矛盾．

∴必在内．

说明：

（1）本例的结论可以直接作为证明问题的依据．

（2）本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式．

如上图，过直线及点作平面，设．∵，∴．

这样，与都是过点平行于的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条，

∴与重合．∵，∴．

典型例题七

例7下列命题正确的个数是（　　）．

（1）若直线上有无数个点不在平面内，则；

（2）若直线平行于平面内的无数条直线，则；

（3）若直线与平面平行，则与平面内的任一直线平行；

（4）若直线在平面外，则．

A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个

分析：

本题考查的是空间直线与平面的位置关系．对三种位置关系定义的准确理解是解本题的关键．要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类．

解：

（1）直线上有无数个点不在平面内，并没有说明是所在点都不在平面内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交．解题时要注意“无数”并非“所有”．

（2）直线虽与内无数条直线平行，但有可能在平面内，所以直线不一定平行．（3）这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到．当时，若且，则在平面内，除了与平行的直线以外的每一条直线与都是异面直线．（4）直线在平面外，应包括两种情况：

和与相交，所以与不一定平行．

故选A．

说明：

如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面．如直线、都平行于，则与的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线、，则与的位置关系可能是平行，可能是在内．

典型例题八

例8　如图，求证：

两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交．

已知：

直线，．求证：

直线与平面相交．

分析：

利用转化为平面问题来解决，由可确定一辅助平面，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用．

解：

∵，

∴和可确定平面．

∵，

∴平面和平面相交于过点的直线．

∵在平面内与两条平行直线、中一条直线相交，

∴必定与直线也相交，不妨设，又因为不在平面内（若在平面内，则和都过相交直线和，因此与重合，在内，和已知矛盾）．

所以直线和平面相交．

说明：

证明直线和平面相交的常用方法有：

证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平面内以及直线和平面平行；用此结论：

一条直线如果经过平面内一点，又经过平面外一点，则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明）．

典型例题九

例9　如图，求证：

经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行．

已知：

与是异面直线．求证：

过且与平行的平面有且只有一个．

分析：

本题考查存在性与唯一性命题的证明方法．解题时要理解“有且只有”的含义．“有”就是要证明过直线存在一个平面，且，“只有”就是要证满足这样条件的平面是唯一的．存在性常用构造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论．

证明：

（1）在直线上任取一点，由点和直线可确定平面．

在平面内过点作直线，使，则和为两相交直线，

所以过和可确定一平面．

∵，与为异面直线，

∴．

又∵，，

∴．

故经过存在一个平面与平行．

（2）如果平面也是经过且与平行的另一个平面，

由上面的推导过程可知也是经过相交直线和的．

由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面与重合，

即满足条件的平面是唯一的．

说明：

对于两异面直线和，过存在一平面且与平行，同样过也存在一平面且与平行．而且这两个平面也是平行的（以后可证）．对于异面直线和的距离，也可转化为直线到平面的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法．

典型例题十

例10　如图，求证：

如果一条直线和两个相