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s^4+2s^3+3s^2+4s+5
这时对象G可以用来描述给定的传递函数模型,作为其它函数调用的变量。
例1-2 一个稍微复杂一些的传递函数模型:
该传递函数模型可以通过下面的语句输入到MATLAB工作空间。
num=6*[1,5];
den=conv(conv([1,3,1],[1,3,1]),[1,6]);
tf(num,den)
运行结果
6s+30
-----------------------------------------
s^5+12s^4+47s^3+72s^2+37s+6
其中conv()函数(标准的MATLAB函数)用来计算两个向量的卷积,多项式乘法当然也可以用这个函数来计算。
该函数允许任意地多层嵌套,从而表示复杂的计算。
2.零极点模型
线性系统的传递函数还可以写成极点的形式:
(5)将系统增益、零点和极点以向量的形式输入给三个变量
、Z和P,就可以将系统的零极点模型输入到MATLAB工作空间中,命令格式为:
(6)
(7)
(8)
在MATLAB控制工具箱中,定义了zpk()函数,由它可通过以上三个MATLAB变量构造出零极点对象,用于简单地表述零极点模型。
G=zpk(Z,P,K) (9)
例1-3 某系统的零极点模型为:
该模型可以由下面的语句输入到MATLAB工作空间中。
K=6;
Z=[-1.9294;
-0.0353+0.9287j;
-0.0353-0.9287j];
P=[-0.9567+1.2272j;
-0.9567-1.2272j;
0.0433+0.6412j;
0.0433-0.6412j];
G=zpk(Z,P,K)
运行结果:
Zero/pole/gain:
6(s+1.929)(s^2+0.0706s+0.8637)
----------------------------------------------
(s^2-0.0866s+0.413)(s^2+1.913s+2.421)
注意:
对于单变量系统,其零极点均是用列向量来表示的,故Z、P向量中各项均用分号(;
)隔开。
3.反馈系统结构图模型
设反馈系统结构图如图1-1所示。
控制系统工具箱中提供了feedback()函数,用来求取反馈连接下总的系统模型,该函数调用格式如下:
G=feedback(G1,G2,sign);
(10)
其中变量sign用来表示正反馈或负反馈结构,若sign=-1表示负反馈系统的模型,若省略sign变量,则仍将表示负反馈结构。
G1和G2分别表示前向模型和反馈模型的LTI(线性时不变)对象。
图1-1 反馈系统结构图
例1-4 若反馈系统图5中的两个传递函数分别为:
,
则反馈系统的传递函数可由下列的MATLAB命令得出
G1=tf(1,[1,2,1]);
G2=tf(1,[1,1]);
G=feedback(G1,G2)
s+1
---------------------
s^3+3s^2+3s+2
若采用正反馈连接结构输入命令
G=feedback(G1,G2,1)
则得出如下结果:
-----------------
s^3+3s^2+3s
例1-5 若反馈系统为更复杂的结构如图1-2所示。
其中
,
则闭环系统的传递函数可以由下面的MATLAB命令得出:
G1=tf([1,7,24,24],[1,10,35,50,24]);
G2=tf([10,5],[1,0]);
H=tf([1],[0.01,1]);
G_a=feedback(G1*G2,H)
得到结果:
0.1s^5+10.75s^4+77.75s^3+278.6s^2+361.2s+120
--------------------------------------------------------------------
0.01s^6+1.1s^5+20.35s^4+110.5s^3+325.2s^2+384s+120
图1-2 复杂反馈系统
4.多项式模型与零极点模型的转换
有了传递函数的有理分式模型之后,求取零极点模型就不是一件困难的事情了。
在控制系统工具箱中,可以由zpk()函数立即将给定的LTI对象G转换成等效的零极点对象G1。
G1=zpk(G)(11)
例1-6给定系统传递函数为:
对应的零极点格式可由下面的命令得出
num=[6.8,61.2,95.2];
den=[1,7.5,22,19.5,0];
G=tf(num,den);
G1=zpk(G)
显示结果:
6.8(s+7)(s+2)
-------------------------
s(s+1.5)(s^2+6s+13)
可见,在系统的零极点模型中若出现复数值,则在显示时将以二阶因子的形式表示相应的共轭复数对。
同样,对于给定的零极点模型,也可以直接由MATLAB语句立即得出等效传递函数模型。
调用格式为:
G1=tf(G)(12)
例1-7 给定零极点模型:
可以用下面的MATLAB命令立即得出其等效的传递函数模型。
输入程序的过程中要注意大小写。
Z=[-2,-7];
P=[0,-3-2j,-3+2j,-1.5];
K=6.8;
G=zpk(Z,P,K);
G1=tf(G)
结果显示:
6.8s^2+61.2s+95.2
-------------------------------
s^4+7.5s^3+22s^2+19.5s
5.模型的连接
5.1并联:
parallel
格式:
[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2,out1,out2)
%将并联连接的传递函数进行相加。
out1和out2分别指定要作相加的输出端编号.
5.2串联:
series
[num,den]=series(num1,den1,num2,den2)
%将串联连接的传递函数进行相乘。
5.3闭环:
cloop(单位反馈)
[numc,denc]=cloop(num,den,sign)
%表示由传递函数表示的开环系统构成闭环系统,当sign=1时采用正反馈;
当sign=-1时采用负反馈;
sign缺省时,默认为负反馈。
6.Simulink建模方法
在一些实际应用中,如果系统的结构过于复杂,不适合用前面介绍的方法建模。
在这种情况下,功能完善的Simulink程序可以用来建立新的数学模型。
Simulink是由MathWorks软件公司1990年为MATLAB提供的新的控制系统模型图形输入仿真工具。
它具有两个显著的功能:
Simul(仿真)与Link(连接),亦即可以利用鼠标在模型窗口上“画”出所需的控制系统模型。
然后利用SIMULINK提供的功能来对系统进行仿真或线性化分析。
与MATLAB中逐行输入命令相比,这样输入更容易,分析更直观。
下面简单介绍SIMULINK建立系统模型的基本步骤:
(1)SIMULINK的启动:
在MATLAB命令窗口的工具栏中单击按钮
或者在命令提示符>
下键入simulink命令,回车后即可启动Simulink程序。
启动后软件自动打开Simullink模型库窗口,如图1-3所示。
这一模型库中含有许多子模型库,如Sources(输入源模块库)、Sinks(输出显示模块库)、Nonlinear(非线性环节)等。
若想建立一个控制系统结构框图,则应该选择File|New菜单中的Model选项,或选择工具栏上newModel
按钮,打开一个空白的模型编辑窗口如图1-4所示。
图1-3 simulink模型库
图1-4 模型编辑窗口
(2)画出系统的各个模块:
打开相应的子模块库,选择所需要的元素,用鼠标左键点中后拖到模型编辑窗口的合适位置。
(3)给出各个模块参数:
由于选中的各个模块只包含默认的模型参数,如默认的传递函数模型为1/(s+1)的简单格式,必须通过修改得到实际的模块参数。
要修改模块的参数,可以用鼠标双击该模块图标,则会出现一个相应对话框,提示用户修改模块参数。
(4)画出连接线:
当所有的模块都画出来之后,可以再画出模块间所需要的连线,构成完整的系统。
模块间连线的画法很简单,只需要用鼠标点按起始模块的输出端(三角符号),再拖动鼠标,到终止模块的输入端释放鼠标键,系统会自动地在两个模块间画出带箭头的连线。
若需要从连线中引出节点,可在鼠标点击起始节点时按住Ctrl键,再将鼠标拖动到目的模块。
(5)指定输入和输出端子:
在Simulink下允许有两类输入输出信号,第一类是仿真信号,可从source(输入源模块库)图标中取出相应的输入信号端子,从Sink(输出显示模块库)图标中取出相应输出端子即可。
第二类是要提取系统线性模型,则需打开Connection(连接模块库)图标,从中选取相应的输入输出端子。
例1-8 典型二阶系统的结构图如图1-5所示。
用SIMULINK对系统进行仿真分析。
图1-5 典型二阶系统结构图
按前面步骤,启动simulink并打开一个空白的模型编辑窗口。
(1)画出所需模块,并给出正确的参数:
●在sources子模块库中选中阶跃输入(step)图标,将其拖入编辑窗口,并用鼠标左键双击该图标,打开参数设定的对话框,将参数steptime(阶跃时刻)设为0。
●在Math(数学)子模块库中选中加法器(sum)图标,拖到编辑窗口中,并双击该图标将参数Listofsigns(符号列表)设为|+-(表示输入为正,反馈为负)。
●在continuous(连续)子模块库中、选积分器(Integrator)和传递函数(TransferFcn)图标拖到编辑窗口中,并将传递函数分子(Numerator)改为〔900〕,分母(Denominator)改为〔1,9〕。
●在sinks(输出)子模块库中选择scope(示波器)和Out1(输出端口模块)图标并将之拖到编辑窗口中。
(3)将画出的所有模块按图1-6用鼠标连接起来,构成一个原系统的框图描述如图10所示。
(4)选择仿真算法和仿真控制参数,启动仿真过程。
●在编辑窗口中点击Simulation|Simulationparameters菜单,会出现一个参数对话框,在solver模板中设置响应的仿真范围StartTime(开始时间)和StopTime(终止时间),仿真步长范围Maxinumstepsize(最大步长)和Mininumstepsize(最小步长)。
对于本例,StopTime可设置为2。
最后点击Simulation|Start菜单或点击相应的热键启动仿真。
双击示波器,在弹出的图形上会“实时地”显示出仿真结果。
输出结果如图1-7所示。
图1-6二阶系统的simulink实现
在命令窗口中键入whos命令,会发现工作空间中增加了两个变量――tout和yout,这是因为Simulink中的Out1模块自动将结果写到了MATLAB的工作空间中。
利用MATLAB命令plot(tout,yout),可将结果绘制出来,如图1-8所示。
比较1-7和1-8,可以发现这两种输出结果是完全一致的。
图1-8MATLAB命令得出的系统响应曲线
图1-7仿真结果示波器显示
三、实验内容
1.系统的传递函数为:
写出零极点模型,并转换为多项式传递函数模型;
2.系统结构图如下所示,求其多项式传递函数模型
3.系统结构图如下所示,求其多项式传递函数模型
4.系统结构图如下所示,求其多项式传递函数模型
5.用Matlab产生下列系统的传递函数的多项式传递函数模型、零极点模型。
四、实验报告要求
1.写明实验目的和实验原理。
实验原理中简要说明求取传递函数的途径和采用的语句或函数。
2.在实验过程和结果中,要求按项目写清楚自定的传递函数,从屏幕上复制程序和运行结果,打印报告或打印粘贴在报告上。
不方便打印的同学,要求手动从屏幕上抄写和绘制。
3.简要写出实验心得和问题或建议。
sgma=0.25;
i=0;
forwn=10:
20:
50;
num=wn^2;
den=[1,2*sgma*wn,wn^2];
sys=tf(num,den);
i=i+1;
step(sys,2);
holdon,grid;
end
holdoff
title('
wn±
ä
»
¯
Ê
±
Ï
µ
Í
³
Ä
½
×
Ô
¾
ì
Ó
¦
Ç
ú
ß
'
)
lab1='
wn=10'
text(0.35,1.4,lab1),
lab2='
wn=30'
text(0.12,1.3,lab2),
lab3='
wn=50'
text(0.05,1.2,lab3),
实验二典型环节的模拟方法及动态特性
一、实验目的
通过MATLAB控制系统工具箱和SIMULINK仿真工具箱研究典型环节的数学模型的搭建方法和其动态特性.
1.典型环节:
如比例,积分,微分,惯性,振荡环节,不稳定环节的传递函数.(补充:
单纯的微分环节是不存在的,一般是微分加惯性环节.)
2.单位阶跃响应:
step(num,den).
3.利用SIMULINK仿真工具搭建系统数学模型,观察响应曲线,结果输出到MATLAB状态空间。
1.分别构造上述6种典型环节的传递函数,求其单位阶跃响应,对比有何不同。
2.利用SIMULINK搭建如下系统的数学模型,观察其单位阶跃响
应。
电路图如下,R=1.4欧,L=2亨,C=0.32法,t=0时刻接入1V
的电压,求vo(t)的值与t的关系曲线。
1.针对内容一记录单位阶跃响应并加以分析对比各环节的特性,要求各幅图都要画在同一界面内,便于比较。
2.针对内容二记录所搭建的SIMULINK仿真模型及响应曲线,说明其所代表的系统类型的阶跃响应特性。
.
实验三控制系统的时域分析
学习利用MATLAB进行控制系统时域分析,包括典型响应、判断系统稳定性和分析系统的动态特性
1.线性系统稳定性分析
线性系统稳定的充要条件是系统的特征根均位于S平面的左半部分。
系统的零极点模型可以直接被用来判断系统的稳定性。
另外,MATLAB语言中提供了有关多项式的操作函数,也可以用于系统的分析和计算。
(1)直接求特征多项式的根
设p为特征多项式的系数向量,则MATLAB函数roots()可以直接求出方程p=0在复数范围内的解v,该函数的调用格式为:
v=roots(p)(13)
例3-1已知系统的特征多项式为:
特征方程的解可由下面的MATLAB命令得出。
p=[1,0,3,2,1,1];
v=roots(p)
v=
0.3202+1.7042i
0.3202-1.7042i
-0.7209
0.0402+0.6780i
0.0402-0.6780i
利用多项式求根函数roots(),可以很方便的求出系统的零点和极点,然后根据零极点分析系统稳定性和其它性能。
(2)由根创建多项式
如果已知多项式的因式分解式或特征根,可由MATLAB函数poly()直接得出特征多项式系数向量,其调用格式为:
p=poly(v)(14)
如上例中:
v=[0.3202+1.7042i;
0.3202-1.7042i;
-0.7209;
0.0402+0.6780i;
0.0402-0.6780i];
>
p=poly(v)
结果显示
p=
1.0000-0.00003.00002.00001.00001.0000
由此可见,函数roots()与函数poly()是互为逆运算的。
(3)多项式求值
在MATLAB中通过函数polyval()可以求得多项式在给定点的值,该函数的调用格式为:
polyval(p,v)(15)
对于上例中的p值,求取多项式在x点的值,可输入如下命令:
x=1
polyval(p,x)
ans=
8
(4)部分分式展开
考虑下列传递函数:
式中
,但是
中某些量可能为零。
MATLAB函数可将
展开成部分分式,直接求出展开式中的留数、极点和余项。
(16)
则
的部分分式展开由下式给出:
…,
为极点,
为各极点的留数,
为余项。
例3-2设传递函数为:
该传递函数的部分分式展开由以下命令获得:
num=[2,5,3,6];
den=[1,6,11,6];
[r,p,k]=residue(num,den)
命令窗口中显示如下结果
r=p=k=
-6.0000-3.00002
-4.0000-2.0000
3.0000-1.0000
中留数为列向量r,极点为列向量p,余项为行向量k。
由此可得出部分分式展开式:
该函数也可以逆向调用,把部分分式展开转变回多项式
之比的形式,命令格式为:
[num,den]=residue(r,p,k)(17)
对上例有:
[num,den]=residue(r,p,k)
num=
2.00005.00003.00006.0000
den=
1.00006.000011.00006.0000
应当指出,如果p(j)=p(j+1)=…=p(j+m-1),则极点p(j)是一个m重极点。
在这种情况下,部分分式展开式将包括下列诸项:
例3-3设传递函数为:
则部分分式展开由以下命令获得:
v=[-1,-1,-1]
num=[0,1,2,3];
den=poly(v);
[r,p,k]=residue(num,den)
r=
1.0000
0.0000
2.0000
p=
-1.0000
k=
[]
其中由poly()命令将分母化为标准降幂排列多项式系数向量den,k=[]为空矩阵。
由上可得展开式为:
(5)由传递函数求零点和极点
在MATLAB控制系统工具箱中,给出了由传递函数对象G求出系统零点和极点的函数,其调用格式分别为:
Z=tzero(G)(18)
P=G.P{1}(19)
式19中要求的G必须是零极点模型对象,且出现了矩阵的点运算“.”和大括号{}表示的矩阵元素。
例3-4已知传递函数为:
输入如下命令:
num=[6.8,61.2,95.2];
den=[1,7.5,22,19.5,0];
G=tf(num,den);
G1=zpk(G);
Z=tzero(G)
P=G1.P{1}
Z=
-7
-2
P=
0
-3.0000+2.0000i
-3.0000-2.0000i
-1.5000
其结果与例8完全一致。
(6)零极点分布图
在MATLAB中,可利用pzmap()函数绘制连续系统的零、极点图,从而分析系统的稳定性,该函数调用格式为:
pzmap(num,den)(20)
例3-5给定传递函数:
利用下列命令可自动打开一个图形窗口,显示该系统的零、极点分布图,如图3-1所示。
num=[3,2,5,4,6];
den=[1,3,4,2,7,2];
pzmap(num,den)
title(¹
Pole-ZeroMap¹
) %图形标题。
图3-1MATLAB函数零、极点分布图
2.系统动态特性分析
(1)时域响应解析算法――部分分式展开法
用拉氏变换法求系统的单位阶跃响应,可直接得出输出c(t)随时间t变化的规律,对于高阶系统,输出的拉氏变换象函数为:
(21)
对函数c(s)进行部分分式展开,我们可以用num,[den,0]来表示c(s)的分子和分母。
例3-6给定系统的传递函数:
用