左垂右等模型八上Word下载.docx

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方法二：

过B作BC的垂线，交CE的延长线于点H

（1）△CBH≌△ACD（知CE⊥AD可证或由

（2）中全等得BH=BD可证）

（2）△BDE≌△BHE（知AD是BC边上的中线，∠CDA=∠EDB可证或由

（1）中全等CD=BH或∠ADC=∠CHB可证）

变式1：

已知△ABC是等腰直角三角形

1AG⊥BD

2AD=CE

3∠BAD=∠GEC

（或DF=EF或∠FDE=∠FED）

4BF=AG+FG

过A作BC垂线交BD于点M（如图1）

过C作AC垂线交AG延长线于点M（如图2）

【练习1】

如图，在等腰Rt△ABC中，AD=AE,AF⊥BE交BC于F，FG⊥CD交AC于H，交BE的延长线于G

（1）求证：

GE=GH

（2）问BG,AF,FG有何数量关系？

证明你的结论.

（1）证△BAE≌△CAD（SAS）得∠ADC=∠AEB，利用互余证∠ADC=∠CHF，利用对顶角相等证∠GEH=∠GHE，即得证.

（2）方法一：

过A作BC垂线交BC于点M

过C作AC垂线交AF延长线于点M

方法三：

过B作BM∥AC交GF的延长线于点M，

由平行导角证△BGM为等腰三角形，即证FM=AF.

由平行可得∠M=∠GHE=∠CHF（对顶角）=∠ADC（互余）=∠BAF（互余），

证△BAF≌△BMF，即可.

【变式2】

1AF⊥CD

2DB=AE

3∠D=∠E（或GD=GE）

4DC=EH+AH

过A作BC的垂线，交BC于点N,CD于点M

（1）△CMN≌△AHN（知CE⊥AD可证或由

（2）中全等得MN=HN,GM=GH可证）

（2）△AMD≌△BHE（知BD=AE，∠D=∠E可证或由

（1）中全等MN=HN可证）

进而得证

过B作AB的垂线，交CD于点N,交AF的延长线于点M

（1）△ACD≌△BAM（知AE⊥CD可证或由

（2）中全等得∠M=∠E,MB=DA可证）

（2）△BHM≌△BHE（知AE⊥CD，∠D=∠E可证或由

（1）中全等MB=DA可证）

【变式3】

①AF⊥BE

②AD=EC

③∠ADF=∠BEC（或∠GDE=∠GED或DG=EG）

④BE=AF+DF

方法一:

（如图1）

过A作BC的垂线交DF的延长线于点H

图中蕴含有三组全等：

（1）△ANE≌△CFD,△BEC≌△HAD（由AD=EC，∠ADF=∠BEC可证或由

（2）中全等MN=MF得AN=FC）

（2）△AMF≌△BMN（由AF⊥BE可证或由

（1）中全等证△BMN≌△HMF，证M是AH中点，利用垂直平分线的性质可证）

（如图2）

过C作AC垂线交AF的延长线于点H

图中蕴含有2组全等：

（1）△BAE≌△ACH（由AF⊥BE可证）

（2）△CDF≌△CHF

【变式4】

①AG⊥BE

②AE=FC

③∠DEF=∠DFE（或DE=DF）

④DG=AG+BD

过A作BC的垂线，交DG于点M

图中蕴含两组全等：

过C作AC的垂线，交AG,DG于点M，N

图中蕴含两个全等：

（1）△EBC≌△FMA

（1）△BAE≌△NCF≌△ACM

（2）△AGN≌△MGN

（2）△GMC≌△GFC

（3）△KAB≌△GCA（AG⊥BE）

【变式5】

④AH=HD+BD

过A作BC的垂线

△EBC≌△FNA，△ABH≌△NBH

与平面直角坐标系综合：

（1）求b的值

（2）连BC交x轴于点H，如图1，求点H的坐标

（3）AB交y轴于点D，E为OB中点，若∠DEB=∠AEO，求证AE∥OM

思路点拨：

（1）非负性

（2）过B作x轴垂线交x轴于点G，先证三吹，得MO=OC=BG，再证H为中点（八字全等）

（3）要证AE∥OM，即证AE⊥OD转化为左垂右等的基本图形.

2.如图1，在平面直角坐标系中，A点坐标为（6,0），B点坐标为（0,6）,P为线段AB上的一点

（1）如图1，若S△AOP=12，求P的坐标

（2）如图2，若P为AB的中点，点M，N分别是OA,OB边上的动点，点M从顶点A，点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1m/s,则在M，N运动的过程中，线段PM，PN之间有何关系？

并证明.

（3）如图3，若P为线段AB上异于A，B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP,OA分别于F，D两点，E为OA上一点，且∠PEA=∠BDO，试判断OD与AE的数量关系，并说明理由.

（1）过P作x轴垂线交x轴于点H，利用面积可得P点纵坐标，由△PHA为等腰直角三角形可得P点横坐标.P（2,4）

（2）连接PO，证△BNP≌△OMP即可得PN垂直且等于PM

（3）左垂右等基本型

3.已知等腰Rt△ABC中，AC=BC，B（b,0）和C（-2,0），且b满足（b-2）2=0,AB与y轴相交于点E.

（1）如图1，求证：

点E是线段AB的中点

（2）点D位于x轴上一动点，作CN⊥AD交AD于N，交AB于M

①如图2，当点D移动到坐标原点O处时，连DM，求证：

AD=CM+DM

②如图3，当点D移动到点B的右方，AD与y轴交于点G，连接GM并延长交x轴于点F，求证：

CF=BD

（1）过A作y轴垂线

（2）①左垂右等的基本图形，连接CE或过B作CB垂线交CM的延长线于H

②连接CE并延长交AD于H，证△CEM≌△AHE，得ME=HE.再证△GME≌△GHE，得OG平分∠FGD，利用等腰三线合一得证

4.如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA=OB.点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC=OD，点D的坐标为（m,n），且满足

.

（1）求点D的坐标

（2）求∠AKO的度数

（3）如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP=OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M.判断ON,MN,BM的数量关系并证明.

（1）D点坐标（4,2）

（2）等腰直角三角形共直角顶点旋转，证△BOD≌AOC，利用八字型证∠AKB=∠AOB=90°

，过O分别作BO，AC垂线证OK平分∠BKC，即∠AKO=135°

（3）在BP上截取点H使BH=ON，证△BHO≌△ONA，得OH=AN，∠HOP=45°

，证∠NGA=∠HPO，进而证△ANG≌OHP，得NG=HP，因△GMP是等腰三角形，得BM=ON+MN

5、（2018江汉区期中28T）已知：

平面直角坐标系，点A（a,b）的坐标满足|a-b|+b2-8b+16=0

OA是第一象限的角平分线；

（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M，N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE于∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求2HK+EF的值.

（1）配方，非负性可得A（4,4）

（2）过A作x轴垂线交于点F，证△AFE≌△BFG，得EF=GF，进而证△AMG≌△ONE，得∠ONE=∠AGM，利用八字模型∠ONE+∠AGM=∠NEA+90°

，可得2∠ONE-∠NEA=90°

（3）点H是△OEF的内心，则有2HK+EF=OE+OF，利用三垂直可得OE+OF=（4+x）-（4-x）=8

6、（江岸期中）在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°

，A（0,a）,B（b,0）.

（1）如图1，若

，求△ABO的面积；

（2）如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD=CD，求证：

∠ADB=∠CDE；

（3）如图3，在

（1）的条件下，若以P（0,-6）为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：

AP∥BQ.

（1）略

（2）基本图形，作垂就好；

（3）如图

7、如图：

Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°

，D为BC边中点，CF⊥AD交AD于E，交AB于F，BE交AC于G，连DF，下列结论：

①AC＝AF，②CD＋DF＝AD，③∠ADC＝∠BDF，④CE＝BE，⑤∠BED＝45°

，其中正确的有（）

A．5个B．4个C．3个D．2个

【分析】D