复数练习(含答案).doc

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复数基础练习题

一、选择题

1．下列命题中：

①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；

②若（z1－z2）2＋（z2－z3）2＝0，则z1＝z2＝z3；

③x＋yi＝2＋2i⇔x＝y＝2；

④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．

其中正确命题的个数是（　　）

A．0　　　 B．1C．2 D．3

2．在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限

3．a为正实数，i为虚数单位，z＝1－ai，若|z|＝2，则a＝（　　）

A．2 B.C. D．1

4．（2011年高考湖南卷改编）若∈R，i为虚数单位，且ai＋i2＝b＋i，则（　　）

A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1

5．复数z＝＋i2对应点在复平面（　　）

A．第一象限内 B．实轴上C．虚轴上 D．第四象限内

6．设a，b为实数，若复数1＋2i＝（a－b）＋（a＋b）i，则（　　）

A．a＝，b＝ B．a＝3，b＝1C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3

7．复数z＝＋i在复平面上对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限

8．已知关于x的方程x2＋（m＋2i）x＋2＋2i＝0（m∈R）有实根n，且z＝m＋ni，则复数z等于（　　）

A．3＋i B．3－IC．－3－i D．－3＋i

9．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于（　　）

A．－＋i B.－IC．－－i D.＋i

10．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝（　　）

A．0　　 B．2iC．6 D．6－2i

11．计算（－i＋3）－（－2＋5i）的结果为（　　）

A．5－6i B．3－5iC．－5＋6i D．－3＋5i

12．向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是（　　）

A．－10＋8i B．10－8iC．0 D．10＋8i

13．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限

14．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是（　　）

A. B.IC.＋i D.＋2i

15．设f（z）＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f（z1－z2）＝（　　）

A．1－3i B．11i－2C．i－2 D．5＋5i

16．复数z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为（　　）

A．5 B.C．6 D.

17．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为（　　）

A．0 B．1C. D.

18．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值为（　　）

A．2 B．3C．4 D．5

19．（2011年高考福建卷）i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则（　　）

A．i∈S　　 B．i2∈SC．i3∈S D.∈S

20．（2011年高考浙江卷）把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位．若z＝1＋i，则（1＋z）·＝（　　）

A．3－i B．3＋IC．1＋3i D．3

21．化简的结果是（　　）

A．2＋i B．－2＋IC．2－i D．－2－i

22．（2011年高考重庆卷）复数＝（　　）

A．－－i　　　 B．－＋IC.－i D.＋i

23．（2011年高考课标全国卷）复数的共轭复数是（　　）

A．－i B.iC．－i D．i

24．i是虚数单位，（）4等于（　　）

A．i B．－IC．1 D．－1

25．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝（　　）

A．4＋2i B．2＋IC．2＋2i D．3＋i

26．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于（　　）

A．i B．－iC．±1 D．±i

27．（2010年高考浙江卷）对任意复数z＝x＋yi（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（　　）

A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|

二、填空题

28．在复平面内表示复数z＝（m－3）＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．

29．复数z＝x＋1＋（y－2）i（x，y∈R），且|z|＝3，则点Z（x，y）的轨迹是________．

30．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－－i，z4＝－i，z1，z2，z3，z4在复平面内的对应点分别是A，B，C，D，则∠ABC＋∠ADC＝________.

31．复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________．

32．已知f（z＋i）＝3z－2i，则f（i）＝________.

33．已知复数z1＝（a2－2）＋（a－4）i，z2＝a－（a2－2）i（a∈R），且z1－z2为纯虚数，则a＝________.

34．（2010年高考上海卷）若复数z＝1－2i（i为虚数单位），则z·＋z＝________.

35．（2011年高考江苏卷）设复数z满足i（z＋1）＝－3＋2i（i为虚数单位），则z的实部是________．

36．已知复数z满足|z|＝5，且（3－4i）z是纯虚数，则＝________.

答案

一、选择题

1．解析：

选A.在①中没有注意到z＝a＋bi中未对a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如：

若z1＝1，z2＝i，则z＋z＝1－1＝0，从而由z＋z＝0⇒/z1＝z2＝0，故②错误；在③中若x，y∈R，可推出x＝y＝2，而此题未限制x，y∈R，故③不正确；④中忽视0·i＝0，故④也是错误的．故选A.

2．解析：

选D.∵<2<π，∴sin2>0，cos2<0.

故z＝sin2＋icos2对应的点在第四象限．故选D.

3．解析：

选B.|z|＝|1－ai|＝＝2，∴a＝±.

而a是正实数，∴a＝.

4．解析：

选D.ai＋i2＝－1＋ai＝b＋i，

故应有a＝1，b＝－1.

5．解析：

选B.∵z＝＋i2＝－1∈R，

∴z对应的点在实轴上，故选B.

6．解析：

选A.由1＋2i＝（a－b）＋（a＋b）i得，解得a＝，b＝.

7．解析：

选A.∵复数z在复平面上对应的点为，该点位于第一象限，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．

8．解析：

选B.由题意知n2＋（m＋2i）n＋2＋2i＝0，

即n2＋mn＋2＋（2n＋2）i＝0.

∴，解得，∴z＝3－i.

9．解析：

选D.设z＝x＋yi（x、y∈R），

则x＋yi＋＝2＋i，

∴解得

∴z＝＋i.

10．解析：

选D.由z＋i－3＝3－i，知z＝（3－i）＋（3－i）＝6－2i.

11．解析：

选A.（－i＋3）－（－2＋5i）＝（3＋2）－（5＋1）i＝5－6i.

12．解析：

选C.＋对应的复数是5－4i＋（－5＋4i）＝（5－5）＋（－4＋4）i＝0.

13．解析：

选D.∵z1＋z2＝（3－4i）＋（－2＋3i）

＝（3－2）＋（－4＋3）i＝1－i，

∴z1＋z2对应的点为（1，－1），在第四象限．

14．解析：

选C.设这个复数为z＝a＋bi（a，b∈R），

则z＋|z|＝5＋i，即a＋＋bi＝5＋i，

∴，解得.

∴z＝＋i.

15．解析：

选D.先找出z1－z2，再根据求函数值的方法求解．

∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，

∴z1－z2＝（3＋2）＋（4＋1）i＝5＋5i.

∵f（z）＝z，

∴f（z1－z2）＝z1－z2＝5＋5i.故选D.

16．解析：

选D.|z1－z2|＝|（cosθ－sinθ）＋2i|

＝

＝

＝≤.

17．解析：

选C.|z＋1|＝|z－i|表示以（－1,0）、（0,1）为端点的线段的垂直平分线，而|z＋i|＝|z－（－i）|表示直线上的点到（0，－1）的距离，数形结合知其最小值为.

18解析：

选B.法一：

设z＝x＋yi（x，y∈R），则有|x＋yi＋2－2i|＝1，即|（x＋2）＋（y－2）i|＝1，所以根据复数模的计算公式，得（x＋2）2＋（y－2）2＝1，又|z－2－2i|＝|（x－2）＋（y－2）i|＝＝＝.

而|x＋2|≤1，即－3≤x≤－1，∴当x＝－1时，|z－2－2i|min＝3.

法二：

利用数形结合法．

|z＋2－2i|＝1表示圆心为（－2,2），半径为1的圆，而|z－2－2i|＝|z－（2＋2i）|表示圆上的点与点（2,2）的距离，由数形结合知，其最小值为3，故选B.

19．解析：

选B.因为i2＝－1∈S，i3＝－i∈/S，＝－2i∈/S，故选B.

20．解析：

选A.（1＋z）·＝（2＋i）·（1－i）＝3－i.

21．解析：

选C.＝＝＝2－i.故选C.

22．解析：

选C.＝＝＝＝＝－i.

23．解析：

选C.法一：

∵＝＝＝i，∴的共轭复数为－i.

法二：

∵＝＝＝i，

∴的共轭复数为－i.

24．解析：

选C.（）4＝[（）2]2＝（）2＝1.故选C.

25．解析：

选A.∵z1＝1＋i，z2＝3－i，

∴z1·z2＝（1＋i）（3－i）＝3＋3i－i－i2＝3＋2i＋1＝4＋2i.故选A.

26．解析：

选D.法一：

设z＝x＋yi（x，y∈R），则＝x－yi，由z＋＝4，z·＝8得，

⇒⇒.

∴＝＝＝±i.

法二：

∵z＋＝4，

设z＝2＋bi（b∈R），

又z·＝|z|2＝8，∴4＋b2＝8，

∴b2＝4，∴b＝±2，

∴z＝2±2i，＝2∓2i，∴＝±i.

27．解析：

选D.∵＝x－yi（x，y∈R），|z－|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，∴A不正确；对于B，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；∵|z－|＝|2y|≥2x不一定成立，∴C不正确；对于D，|z|＝≤|x|＋|y|，故D正确．

二、填空题

28．解析：

复数z在复平面上对应的点为（m－3,2），

∴m－3＝2，即m－2－3＝0.

解得m＝9.

答案：

9

29．解析：

∵|z|＝3，∴＝3，即（x＋1）2＋（y－2）2＝32.故点Z（x，y）的轨迹是以O′（－1,2）为圆心，以3为半径的圆．

答案：

以（－1,2）为圆心，3为半径的圆

30．解析：

|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝，所以点A，B，C，D应在以原点为圆心，为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD对角互补，所以∠ABC＋∠ADC＝180°.

31．解析：

表示－对应的复数，由－2－5i－（4＋3i）＝－6－8i，知对应的复数是－6－8i.

答案：

－6－8i

32．解析：

设z＝a＋bi（a，b∈R），则

f[a＋（b＋1）i]＝3（a＋bi）－2