第六章数列.docx

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第六章数列

专题六数列

考点1数列的概念及简单表示法

1.（2016·浙江，13）设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.

1.1，121由于解得a1＝1，a2＝3，

当n≥2时，由已知可得：

an＋1＝2Sn＋1，①

an＝2Sn－1＋1，②

①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1，

∴{an}是以a1＝1为首项，公比q＝3的等比数列.

∴S5＝＝121.

2.（2015·江苏，11）设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1（n∈N*），则数列前10项的和为________.

2.　[∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝，即an＝，令bn＝，故bn＝＝2，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝2＝.]

3.（2015·安徽，18）设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点（1,2）处的切线与x轴交点的横坐标.

（1）求数列{xn}的通项公式；

（2）记Tn＝xx…x，证明Tn≥.

3.

（1）解　y′＝（x2n＋2＋1）′＝（2n＋2）x2n＋1,曲线y＝x2n＋2＋1在点（1，2）处的切线斜率为2n＋2，

从而切线方程为y－2＝（2n＋2）（x－1）.

令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝.

（2）证明　由题设和

（1）中的计算结果知Tn＝xx…x＝….

当n＝1时，T1＝.

当n≥2时，因为x＝＝>＝＝.

所以Tn>×××…×＝.

综上可得对任意的n∈N*，均有Tn≥.

4.（2017·广东，19）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.

（1）求a1，a2，a3的值；

（2）求数列{an}的通项公式.

4.

（1）依题有解得a1＝3，a2＝5，a3＝7.

（2）∵Sn＝2nan＋1－3n2－4n，①

∴当n≥2时，Sn－1＝2（n－1）an－3（n－1）2－4（n－1）.②

①－②并整理得an＋1＝.

由

（1）猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明.

当n＝1时，a1＝2＋1＝3，命题成立；

假设当n＝k时，ak＝2k＋1命题成立.

则当n＝k＋1时，

ak＋1＝＝＝2k＋3＝2（k＋1）＋1，

即当n＝k＋1时，结论成立.

综上，∀n∈N*，an＝2n＋1.

考点2等差数列及其前n项和

1.（2016·浙江,6）如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|,An≠An＋2,n∈N*,|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|,Bn≠Bn＋2,n∈N*（P≠Q表示点P与Q不重合）.若dn＝|AnBn|,Sn为

△AnBnBn＋1的面积，则（　　）

A.{Sn}是等差数列B.{S}是等差数列

B.C.{dn}是等差数列D.{d}是等差数列

1.A[Sn表示点An到对面直线的距离（设为hn）乘以|BnBn－1|长度一半,即Sn＝

hn|BnBn－1|，由题目中条件可知|BnBn－1|的长度为定值，过A1作垂直得到初始距离h1，那么A1，An和两个垂足构成等腰梯形，则hn＝h1＋|A1An|tanθ（其中θ为两条线所成的锐角，为定值），

从而Sn＝（h1＋|A1An|tanθ）|BnBn＋1|，Sn＋1＝（h1＋|A1An＋1|）|BnBn＋1|，

则Sn＋1－Sn＝|AnAn＋1||BnBn＋1|tanθ，都为定值，所以Sn＋1－Sn为定值，故选A.]

2.（2016·全国Ⅰ，3）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（　　）

A.100B.99C.98D.97

2.C[由等差数列性质,知S9＝＝＝9a5＝27,得a5＝3,而a10＝8,因此公差d＝＝1,∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.]

3.（2015·重庆，2）在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝（　　）

A.－1B.0C.1D.6

3.B　[由等差数列的性质,得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0,选B.]

4.（2015·北京，6）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）

A.若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B.若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0

C.若0＜a1＜a2，则a2＞D.若a1＜0，则（a2－a1）（a2－a3）＞0

4.C　[A,B选项易举反例，C中若0＜a1＜a2，∴a3＞a2＞a1＞0，∵a1＋a3>2，又2a2＝a1＋a3，∴2a2>2，即a2>成立.]

5.（2017·福建，3）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于（　　）

A.8B.10C.12D.14

5.C　[设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋3d，所以12＝3×2＋3d，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.]

6.（2017·辽宁，8）设等差数列{an}的公差为d.若数列{}为递减数列，则（　　）

A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>0

6.C　[{2a1an}为递减数列，可知{a1an}也为递减数列，又a1an＝a＋a1（n－1）d＝a1dn＋a－a1d，故a1d<0，故选C.]

7.（2016·北京，12）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.

7.6[∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.

∴S6＝6×6＋×（－2）＝6.]

8.（2016·江苏，8）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________.

8.20[设等差数列{an}公差为d，由题意可得：

解得

则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.]

9.（2016·全国Ⅱ，17）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.

（1）求b1，b11，b101；

（2）求数列{bn}的前1000项和.

9.

（1）设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.

b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2.

（2）因为bn＝

所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.

10.（2015·广东，10）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.

10.10[因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.]

11.（2015·陕西，13）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________.

11.5[由题意设首项为a1，则a1＋2015＝2×1010＝2020，∴a1＝5.]

12.（2015·新课标全国Ⅰ，17）Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和.

12.解

（1）由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.

可得a－a＋2（an＋1－an）＝4an＋1，即2（an＋1＋an）＝a－a＝（an＋1＋an）（an＋1－an）.

由于an>0，可得an＋1－an＝2.又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1（舍去），a1＝3.

所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.

（2）由an＝2n＋1可知bn＝＝＝.

设数列{bn}的前n项和为Tn，则

Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝

13.（2017·北京，12）若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.

13.8　[∵数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0.∴当n＝8时，其前n项和最大.]

14.（2015·四川，16）设数列{an}（n＝1,2,3，…）的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|＜成立的n的最小值.

14.解　

（1）由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1（n≥2），即an＝2an－1（n≥2），

从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2（a2＋1），

所以a1＋4a1＝2（2a1＋1），解得a1＝2，

所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.

（2）由

（1）得＝，所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.

由|Tn－1|＜，得＜，即2n＞1000，

因为29＝512＜1000＜1024＝210，所以n≥10，

于是，使|Tn－1|＜成立的n的最小值为10.

15.（2017·大纲全国，18）等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

15.解　

（1）由a1＝10，a2为整数知：

等差数列{an}的公差d为整数.

又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0.

解得－≤d≤－.因此d＝－3.

数列{an}的通项公式为an＝13－3n.

（2）bn＝＝.

于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝

＝＝

16.（2017·江苏，20）设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”.

（1）若数列{an}的前n项和Sn＝2n（n∈N*），证明{an}是“H数列”；

（2）设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d<0.若{an}是“H数列”，求d的值；

（3）证明：

对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn（n∈N*）成立.

16.

（1）证明　由已知，当n≥1时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am.所以{an}是“H数列”.

（2）解　由已知，得S2＝2a1＋d＝2＋d.因为{an}是“H数列”，所以存在正整数m，使得S2＝am，即2＋d＝1＋（m－1）d，于是（m－2）d＝1.

因为d<0，所以m－2<0，故m＝1.从而d＝－1.

当d＝－1时，an＝2－n，Sn＝是小于2的整数，n∈N*.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝2－Sn＝2－，使得Sn＝2－m＝am，所以{an}是“H数列”.因此d的值为－1.

（3）证明　设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－1）d＝na1＋（n－1）（d－a1）（n∈N*）.

令bn＝na1，cn＝（n－1）（d－a1），则an＝bn＋cn（n∈N*）.

下证{bn}是“H数列”.

设{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝a1（n∈N*）.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝，使得Tn＝bm，所以{bn}是“H数列”.

同理可