323 直线与平面的夹角.docx

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323直线与平面的夹角

3.2.3直线与平面的夹角

【本讲教育信息】

一.教学内容：

3.2.3直线与平面的夹角

3.2.4二面角及其度量

3.2.5距离

二.教学目的

1、理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性；会求直线与平面的夹角．

2、掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角；掌握求二面角大小的基本方法与步骤．

3、理解图形F1与图形F2的距离的概念；掌握点线距、线线距、线面距、面面距的概念，会解一些简单的与距离有关的问题．

三.教学重点、难点

重点：

（1）斜线与平面所成的角（或夹角）及其求法；

（2）二面角的概念，二面角的平面角的定义；

（3）点线距、线线距、线面距、面面距的概念；点到平面距离的求法．

难点：

（1）二面角大小的求法．

（2）斜线与平面所成的角的求解；公式的灵活运用．

四.知识分析

3.2.3直线与平面的夹角

1、提出问题：

（1）直线与平面的位置关系有哪些？

（l，或l//α，或l（l⊥α））

（2）当直线与平面斜交时，“倾斜程度”该如何衡量？

（此时，对线面角的提出有了强烈的要求）

（3）线面角的大小怎样度量？

方案：

转化为合适的线线角．

【探究】已知平面γ及它的一条斜线l，斜足为O，则过O在平面γ内的直线m与l所夹的角是否不变？

先观察：

肯定变化

再论证：

在l上取一点P，作PQ⊥γ于Q，过Q作QM⊥m于M，连接PM，易知PM⊥m．如图记l与m所成的角（即∠POM）为β，记l与它在平面γ上的射影OQ所成的角为θ，∠QOM＝α在OM上取单位向量，则

这说明，由于θ为定角，所以β随α而变化：

当α＝0°时，取得最大值，从而β取最小值θ；

当α＝90°时，取得最小值，从而β取最大值90°；

【结论】

斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．

2、定义：

斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）．

注：

（1）数学思想——转化：

线面角→面面角

（2）关键：

找射影

【练习】

（1）在棱长都为1的正三棱锥S－ABC中，侧棱SA与底面ABC所成的角是________．

（2）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

①BC1与平面AB1所成的角的大小是___________；

②BD1与平面AB1所成的角的大小是___________；

③CC1与平面BC1D所成的角的大小是___________；

④BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是___________；

⑤BD1与平面BC1D所成的角的大小是___________；

（3）已知空间内一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两夹角为60°，试求OA与平面BOC所成的角的大小．

3.2.4二面角及其度量

1、二面角的概念及记法

定义：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；叫做二面角．

说明：

对二面角概念的理解，可类比与平面几何中角的定义．射线——半平面，顶点——棱．

2、二面角的平面角

定义：

在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量．我们约定，二面角的范围[0°，180°]．

【探讨】尝试用向量求二面角的大小

如图所示，分别在二面角的面α、β内，并且沿α，β延伸的方向，作向量n1⊥l，n2⊥l，则我们可以用向量n1与n2的夹角来度量这个二面角．

如图，设m1⊥α，m2⊥β，则角<m1，m2>与该二面角相等或互补．

3、求二面角平面角的方法

（1）定义法

实例：

过空间一点O出发的三条射线OA、OB、OC，两两夹角60°，试求二面角B－OA－C的大小．

分析：

如图，在射线OA上取点P，使OP＝1，过P作PM⊥OA，交OB于M，作PN⊥OA，交OC于N，连接MN．则显然∠MPN为所求二面角的一个平面角．

利用已知条件可以迅速求出OM＝ON＝MN＝2，PM＝PN＝．利用余弦定理，就可以求出∠MPN的大小为．

（2）三垂线定理

实例：

如图，已知直角Rt△ABC，∠ACB＝90°，PB⊥平面ABC，试求二面角B－PA－C的大小．

分析：

由已知，得：

平面PAB⊥平面ABC，为了找此二面角的一个平面角，我们可先过C作CM⊥AB，这样CM⊥平面PAB，然后，过M作MN⊥PA于N，连接CN．根据三垂线定理，得：

CN⊥PA，于是∠MNC就是所求二面角的一个平面角．（想一想，还可以怎么做？

）

3.2.5距离

【求距离的注意事项】

（1）求空间各种距离时，要紧紧抓住线线、点面、线面、面面之间距离的转化，其中，最基本、最重要的是点面距．

（2）求距离和求角一样，都要按照一作二证三计算的步骤进行，不可忽视第二步的证明．

（3）求距离时，要注意四点：

①合理选点：

当线面平行时，选端点中点、交点．当用体积法求点面距时，选高线长容易确定的顶点．

②点点距离等于向量的模长，建立空间直角坐标系，探求向量坐标，继而求出模长、思路更加清晰，学生更易掌握．

③异面直线的距离注意考纲要求，不要扩张．

④注意立体几何与代数内容的结合点，如几何背景下的函数最值问题，几何问题代数化的向量方法等等．

【典型例题】

例1.正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图所示，E，F分别是棱AA1、AB的中点，求EF和平面ACC1A1所成角的大小．

解析：

解法1：

过F作FG⊥AC于点G，连结EG，

∵平面⊥平面ABCD且交线为AC

∴FG⊥平面，

EG为EF在平面内的射影，

∴∠GEF即为EF与平面所成的角

设正方体棱长为1，则

又RtΔAGF中，∠GAF＝

∴

∴RtΔEGF中，

∴∠GEF＝

解法2：

∵E、F分别是、AB的中点

∴

∴所求即为与平面所成角

设AC和中点为，则

由平面平面ABCD得

∴∠即为所求．

设正方体棱长为1，

RtΔ中，

∴

解法3：

建立如图所示的直角坐标系，

设正方体棱长为2，则E（2，0，1），F（2，1，0）

作FG⊥AC于G，由解法1知，∠GEF即为所求．

∵RtΔAGF中，∠GAF

∴

∴G（，，0），（，，－1），（0，1，－1）

∴

∴

∴EF与平面所成角为．

点评：

此题考查直线和平面所成角，其中，利用定义找射影是基本方法，确定斜线在平面内射影的一般步骤：

先找直线上不同斜足的一点（通常是已知的相关点）在平面内的射影，再将其与斜足连结，即得．

例2.（2004，江苏卷）在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP．

（1）求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：

D1H⊥AP；

（3）求点P到平面ABD1的距离．

解析：

（1）∵AB⊥平面，

∴AP与平面所成的角就是∠APB．

如图建立空间直角坐标系，坐标原点为D．

∵

．

．

∵，

．

∴直线AP与平面所成的角为．

（2）连结，由

（1）（0，0，4），O（2，2，4）．

∴（2，2，0），．

∴．

∵平面的斜线在这个平面内的射影是，

∴．

（3）连结，在平面中，过点P作PQ⊥BC1于点Q．

∵AB⊥平面，．

∴PQ⊥AB

∴PQ⊥平面．

∴PQ就是点P到平面的距离．

在RtΔ中，∠C1QP＝90°，

∠PC1Q＝45°，PC1＝3，∴，

即点P到平面ABD1的距离为．

例3.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，．求面SCD与面SAB所成角的二面角θ的正切值．

解析：

以A为原点，AD，AB，AS分别为x，y，z轴建立直角坐标系，依题意有

S（0，0，1），C（1，1，0），D（，0，0），

设（x，y，z）是面SCD的一法向量，

则

．

解得n＝（2，－1，1），

因为＝（，0，0）是面SAB的一法向量，

所以，．

例4.如图，底面等腰直角三角形的直三棱柱，∠C＝，，D为上的点，且，求二面角的大小．

解析：

因为∠C＝，所以AC⊥BC，又直三棱柱，于是以C为原点，建立如图的空间直角坐标系，设，则A（0，3，0），B1（3，0，3），D（0，0，2），

所以（0，－3，2），＝（3，－3，3）

设平面的法向量为（1，λ，μ），

则即

所以所以＝（1，－2，－3）．

而平面的法向量即为＝（0，3，0），

所以

∴所求二面角大小为

【模拟试题】

1.正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（）

A.B.C.D.

2.正四面体ABCD，E、F分别为AC、AD中点，则ΔBEF在面ADC上的射影是（）

3.平行六面体中，六个面都是菱形，则在平面上的射影是Δ的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

4.一直线与两个互相垂直的平面所成的角分别为α、β，则（）

A.B.

C.D.

5.一直线l，与平面α斜交成θ角，那么直线l与平面α内所有直线所成的角中，最小角和最大角分别是（）

A.0，B.θ，C.不能确定D.以上都不对

6.已知在ΔABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC，平面ABC外一点P到三个顶点的距离都是14，那么点P到面ABC的距离为（）

A.49B.C.D.7

7.线段AB夹在直二面角内，，，AB与α、β所成的角分别为θ、，那么为（）

A.B.C.D.

8.平面α内的∠MON＝60°，PO是平面α的斜线段，PO＝3，且PO与∠MON的两边都成45°的角，则点P到α的距离为（）

A.B.C.D.

9.E是正方形ABCD的边AB的中点，将ΔADE和ΔBCE沿DE、CE向上折起，使A、B重合于点P，则二面角D—PE—C的大小为（）

A.45°B.60°C.90°D.大于90°

10.在棱长为1的正方形中，平面与平面的距离为（）

A.B.C.D.

11.在三棱锥P—ABC中，若PA＝PB＝PC，则点P在面ABC内的射影是ΔABC的__________．

12.长方体中，，AB＝2a，则对角线与平面ABCD所成角的余弦值为__________．

13.ΔABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2cm，3cm，4cm，且它们在α的同侧，则ΔABC的重心到平面α的距离为__________．

14.已知RtΔABC的直角顶点C在平面α内，斜边AB//α，AB，AC、BC分别和平面α成45°和30°角，则AB到平面α的距离为__________．

15.在正四边体A—BCD中，E、F分别为AD、BC中点．

（1）求AF与CE所成角的余弦值．

（2）求CE与面BCD所成的角．

16.在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，求直线与侧面所成的角．

17.已知正方体的棱长为a，M为中点，O为的中点．

（1）求证：

MO为与的公垂线段，并求OM长；

（2）求证：

与面所成的角．

（3）求证：

；

（4）求证：

平面//平面，并求这两个平面的距离．

18.如图：

多面体由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4，建立如图坐标系．

（1）求与点G的坐标；

（2）求异面