十年高考真题分类汇编 数学 专题02 常用逻辑用语Word下载.docx

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0时,a+b≥2

若a+b≤4,则2

≤a+b≤4,所以

ab≤4,充分性成立;

当a=1,b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=5>

4,必要性不成立.综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.

4.（2019•北京,文T6）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数）,则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（　　）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】当b=0时,f（x）=cosx+bsinx=cosx,f（x）为偶函数;

若f（x）为偶函数,则f（-x）=f（x）对任意的x恒成立,f（-x）=cos（-x）+bsin（-x）=cosx-bsinx,由cosx+bsinx=cosx-bsinx,得bsinx=0对任意的x恒成立,从而b=0.从而“b=0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件,故选C.

5.（2019•北京•理T7）设点A,B,C不共线,则“

的夹角为锐角”是“|

|>

|

|”的（　　）

A.充分而不必要条件

C.充分必要条件

【解析】∵A,B,C三点不共线,∴|

|⇔|

|2>

|2⇔

>

0⇔

的夹角为锐角.故“

|”的充分必要条件,故选C.

6.（2019•天津•理T3）设x∈R,则“x2-5x<

0”是“|x-1|<

【解析】由x2-5x<

0,得0<

5.由|x-1|<

1,得0<

2.故“x2-5x<

1”的必要不充分条件.

7.（2018•北京•文T4）设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（　　）

【解析】ad=bc

a,b,c,d成等比数列,例如1×

9=3×

3;

a,b,c,d成等比数列⇒

⇒ad=bc.故选B.

8.（2018•天津•理T4文T3）设x∈R,则“

”是“x3<

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】由

可得0<

1.由x3<

1,可得x<

1.

因为（0,1）⫋（-∞,1）,

所以“

1”的充分而不必要条件.故选A.

9.（2018•浙江•T6）已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

【解析】当m⊄α,n⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m∥n⇒m∥α;

但反过来不成立,m与n还可能异面.故选A.

10.（2017•全国1•理T3）设有下面四个命题

p1:

若复数z满足

∈R,则z∈R;

p2:

若复数z满足z2∈R,则z∈R;

p3:

若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=

;

p4:

若复数z∈R,则

∈R.

其中的真命题为（　　）

A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4

【解析】p1:

设z=a+bi（a,b∈R）,则

∈R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确;

因为i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2不正确;

若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;

实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.

11.（2017•山东•理T3）已知命题p:

∀x>

0,ln（x+1）>

0;

若a>

b,则a2>

b2,下列命题为真命题的是（　　）

A.p∧qB.p∧（￢q）

C.（￢p）∧qD.（￢p）∧（￢q）

【解析】对∀x>

0,都有x+1>

1,所以ln（x+1）>

0,故p为真命题.

又1>

-2,但12<

（-2）2,故q为假命题,所以￢q为真命题,故p∧（￢q）为真命题.故选B.

12.（2017•北京•理T6）设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m•n<

0”的（　　）

【解析】m,n为非零向量,若存在λ<

0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°

则m•n=|m||n|cos180°

=-|m||n|<

0.反过来,若m•n<

0,则两向量的夹角为（90°

180°

],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以是充分而不必要条件.故选A.

13.（2017•天津•理T4）设θ∈R,则“

”是“sinθ<

”的（　　）

C.充要条件

【解析】当

时,0<

θ<

∴0<

sinθ<

.

∴“

”的充分条件.

当θ=-

时,sinθ=-

但不满足

”不是“sinθ<

”的必要条件.

”的充分而不必要条件.

14.（2017•浙江•理T6）已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>

0”是“S4+S6>

2S5”的（　　）

【解析】因为Sn=na1+

d,

所以S4+S6>

2S5⇔10a1+21d>

10a1+20d⇔d>

0,

即“d>

2S5”的充分必要条件,选C.

15.（2016•浙江•理T4）命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是（　　）

A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<

x2

B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<

C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<

D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<

【答案】D

【解析】先改写量词,再由n≥x2的否定为n<

x2,知选D.

16.（2016•北京•理4）设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（　　）

【解析】由|a|=|b|无法得到|a+b|=|a-b|,充分性不成立;

由|a+b|=|a-b|,得a•b=0,也无法得到|a|=|b|,必要性不成立.故选D.

17.（2016•天津•理5）设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<

0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

【解析】由题意,得a2n-1+a2n<

0⇔a1（q2n-2+q2n-1）<

0⇔q2（n-1）•（q+1）<

0⇔q∈（-∞,-1）,因此,q<

0是对任意的正整数n,a2n-1+a2n<

0的必要不充分条件.故选C.

18.（2016•山东•理T6）已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）

A.充分不必要条件

【解析】若直线a与直线b相交,则α,β一定相交,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能平行或异面,故选A.

19.（2016•四川•理T7）设p:

实数x,y满足（x-1）2+（y-1）2≤2,q:

实数x,y满足

则p是q的（　　）

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

【解析】画出可行域（如图所示）,可知命题q中不等式组表示的平面区域△ABC在命题p中不等式表示的圆盘内,即p

q,q⇒p,所以p是q的必要不充分条件.故选A.

20.（2015•山东•文T5）设m∈R,命题“若m>

0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是（　　）

A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>

B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0

C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>

D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0

【解析】原命题的逆否命题是将条件和结论分别否定,作为新命题的结论和条件.

21.（2015•全国1•理T3）设命题p:

∃n∈N,n2>

2n,则￢p为（　　）

A.∀n∈N,n2>

2nB.∃n∈N,n2≤2n

C.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n

【解析】∵p:

2n,∴￢p:

∀n∈N,n2≤2n.故选C.

22.（2015•浙江•理T4）命题“∀n∈N*,f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）

A.∀n∈N*,f（n）∉N*且f（n）>

n

B.∀n∈N*,f（n）∉N*或f（n）>

C.∃n0∈N*,f（n0）∉N*且f（n0）>

n0

D.∃n0∈N*,f（n0）∉N*或f（n0）>

【解析】“p且q”的否定是“￢p或￢q”.

23.（2015•山东•理T12）若“∀x∈

tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为　　. 

【答案】1

【解析】由题意知m≥（tanx）max.∵x∈

∴tanx∈[0,1],∴m≥1.故m的最小值为1.

24.（2015•重庆•理T4）“x>

1”是“lo

（x+2）<

【解析】由lo

0可得x+2>

1,即x>

-1,而{x|x>

1}⫋{x|x>

-1},所以“x>

0”的充分不必要条件.

25.（2015•天津•理T4）设x∈R,则“|x-2|<

1”是“x2+x-2>

【解析】因为|x-2|<

1等价于1<

3,x2+x-2>

0等价于x<

-2或x>

1,且（1,3）是（-∞,-2）∪（1,+∞）的真子集,所以“|x-2|<

0”的充分而不必要条件.

26.（2015•湖南•理T2）设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的（　　）

【解析】若A∩B=A,则有A⊆B;

若A⊆B,则必有A∩B=A.所以“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.

27.（2015•陕西•理T6）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（　　）

【解析】由cos2α=0,得cos2α-sin2α=0,

即cosα=sinα或cosα=-sinα.

故“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.

28.（2014•陕西•理T8）原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是（　　）

A.真,假,真B.假,假,真

C.真,真,假D.假,假,假

【解析】易知原命题为真命题,所以逆否命题也为真,

设z1=3+4i,z2=4+3i,则有|z1|=|z2|,

但是z1与z2不是共轭复数,所以逆命题为假,同时否命题也为假.

29.（2014•湖南•理T5）已知命题p:

若x>

y,则-x<

-y;

y,则x2>

y2.在命题①p∧q;

②p∨q;

③p∧（￢q）;

④（￢p）∨q中,真命题是（　　）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【解析】由题易知命题p为真,命题q为假,则￢p为假,￢q为真.故p∧q为假,p∨q为真,p∧（￢q）为真,（￢p）∨q为假.故选C.

30.（2014•辽宁•理T5）设a,b,c是非零向量.已知命题p:

若a•b=0,b•c=0,则a•c=0;

若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题中真命题是（　　）

A.p∨qB.p∧q

C.（￢p）∧（￢q）D.p∨（￢q）

【解析】对命题p中的a与c可能为共线向量,故命题p为假命题.由a,b,c为非零向量,可知命题q为真命题.故p∨q为真命题.故选A.

31.（2014•重庆•文T6）已知命题

p:

对任意x∈R,总有|x|≥0;

q:

x=1是方程x+2=0的根.

则下列命题为真命题的是（　　）

A.p∧（￢q）B.（￢p）∧qC.（￢p）∧（￢q）D.p∧q

【解析】由题意知,命题p为真命题,命题q为假命题,所以￢p为假,￢q为真.所以p∧（￢q）为真,（￢p）∧q为假,（￢p）∧（￢q）为假,p∧q为假.故选A.

32.（2014•湖北•文T3）命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是（　　）

A.∀x∉R,x2≠xB.∀x∈R,x2=x

C.∃x∉R,x2≠xD.∃x∈R,x2=x

【解析】全称命题“∀x∈M,p（x）”的否定为特称命题“∃x∈M,￢p（x）”,故选D.

33.（2014•全国2•文T3）函数f（x）在x=x0处导数存在.若p:

f'

（x0）=0;

x=x0是f（x）的极值点,则（　　）

A.p是q的充分必要条件

B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件

C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件

D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件

【解析】由题意知q⇒p,则p是q的必要条件;

而p

q,如f（x）=x3在x=0处f'

（0）=0,而x=0不是极值点,故选C.

34.（2014•安徽•理T2）“x<

0”是“ln（x+1）<

【解析】由ln（x+1）<

0得-1<

0,故选B.

35.（2014•浙江•理T2）已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（　　）

【解析】当a=b=1时,（a+bi）2=（1+i）2=2i,反之,（a+bi）2=a2-b2+2abi=2i,则a2-b2=0,2ab=2,解得a=1,b=1或a=-1,b=-1.故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件,应选A.

36.（2014•北京•理T5）设{an}是公比为q的等比数列,则“q>

1”是“{an}为递增数列”的（　　）

【解析】等比数列{an}为递增数列的充要条件为

故“q>

1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.

37.（2013•天津•理T4）已知下列三个命题:

①若一个球的半径缩小到原来的

则其体积缩小到原来的

②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;

③直线x+y+1=0与圆x2+y2=

相切.

其中真命题的序号是（　　）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

【解析】设球半径为R,缩小后半径为r,则r=

R,而V=

πR3,V'

=

πr3=

πR3,所以该球体积缩小到原来的

故①为真命题;

取两组数据1,3,5和3,3,3,它们的平均数相同,但标准差不同,故②为假命题;

圆x2+y2=

的圆心到直线x+y+1=0的距离d=

等于圆的半径,所以直线与圆相切,故③为真命题.故选C.

38.（2013•陕西•文T6）设z是复数,则下列命题中的假命题是（　　）

A.若z2≥0,则z是实数B.若z2<

0,则z是虚数

C.若z是虚数,则z2≥0D.若z是纯虚数,则z2<

【解析】由复数的基本知识可知:

z2能与0比较大小且z2≥0,则z为实数,所以A正确;

同理,z2<

0,则z是纯虚数,所以B正确;

反过来,z是纯虚数,z2<

0,D正确;

对于选项C,不妨取z=1+i,则z2=2i不能与0比较大小.

39.（2013•全国,文T5）已知命题p:

∀x∈R,2x<

3x;

.∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是（　　）

A.p∧qB.（￢p）∧qC.p∧（￢q）D.（￢p）∧（￢q）

【解析】由20=30知,p为假命题.令h（x）=x3-1+x2,∵h（0）=-1<

0,h

（1）=1>

0,∴x3-1+x2=0在（0,1）内有解.

∴∃x∈R,x3=1-x2,即命题q为真命题.由此可知只有（￢p）∧q为真命题.故选B.

40.（2010•全国•理T5）已知命题:

函数y=2x-2-x在R上为增函数,

函数y=2x+2-x在R上为减函数,

则在命题q1:

p1∨p2,q2:

p1∧p2,q3:

（￢p1）∨p2和q4:

p1∧（￢p2）中,真命题是（　　）

A.q1,q3B.q2,q3

C.q1,q4D.q2,q4

【解析】p1为真,p2为假,∴q1为真,q2为假,q3为假,q4为真.

41.（2013•重庆•理T2）命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为（　　）

A.对任意x∈R,都有x2<

B.不存在x∈R,使得x2<

C.存在x0∈R,使得

≥0

D.存在x0∈R,使得

<

【解析】全称命题的否定是一个特称命题（存在性命题）,故选D.

42.（2012•全国•理T3）下面是关于复数z=

的四个命题:

|z|=2;

z2=2i;

z的共轭复数为1+i;

z的虚部为-1.

A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4

【解析】z=-1-i,故|z|=

p1错误;

z2=（-1-i）2=2i,p2正确;

z的共轭复数为-1+i,p3错误;

p4正确.