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“在相同条件下，将物料破碎成与原物料几何形状相似的成品时，所消耗的能量与物料的体积或重量成正比”[郎宝贤，郎世平[M].北京：
冶金工业出版社，2008P9]。
基尔皮切夫体积学说的物理基础是任何物料受到外力时，在其内部引起应力和产生应变，应力和应变随外力增加而增加，当应力达到强度极限后，物料被破碎。
应力与应变近似看作线性关系，经数学诱导可得粉碎功耗表达式[张代湘.关于粉碎理论的论述[J].西北轻工业学院学报，1983
（2）：
45-63]：
式中，σmax——物料强度极限，Pa；
V——物料体积，m3；
E——弹性模量，Pa。
1885年，F.Kick也提出了体积粉碎理论。
Kick基于“物料粉碎前后粒度的变化，并从一个颗粒每破碎一次粒度减小一半，每次的破碎功耗相等”这一假设，认为物体粉碎时所需的功耗与颗粒体积的变化成正比。
数学表达式为：
式中，E——粉碎功耗；
D1、D2——分别为粉碎前、后物料的平均粒径或代表性粒径；
S1、S2——分别为粉碎前、后物料的比表面积；
CK——常数。
1.2裂缝学说
裂缝学说，也称为“Bond学说”，是由F.C.Bond和王仁东于1952年提出的介于表面积学说和体积学说之间的一种粉碎功耗理论。
裂缝学说认为物体在外力作用下先产生变形，当物体内部的变形能积累到一定程度时，在某些薄弱点或面首先产生裂缝，这时变形能集中到裂缝附近，使裂缝扩大而形成破碎，输入功的有用部分转化为新生表面上的表面能，其他部分则成为热损失[周仕学，张明林.粉体工程导论[M].北京：
科学出版社，2010P85][贾如磊.常温下热塑性塑料的湍流超细粉碎机理研究[D].兰州：
兰州理工大学，2006]。
因此，粉碎所需的功应考虑变形能和表面能两项，粉碎所需的功应当与体积和表面积的乘积成正比，即与（VS）0.5成正比。
根据Bond所作的解释，粉碎物料消耗的能量与物料产生的裂缝长度成正比，而裂缝又与物料粒径的平方根成反比[郎宝贤，郎世平[M].北京：
冶金工业出版社，2008P9]裂缝学说表达式为：
CB——常数。
邦德功指数是评价物料被磨碎难易程度的一种指标[孙伟亮.水泥辊压机的能耗模型与状态分析[D].济南：
济南大学，2010][吴建明.Bond粉磨功指数研究与应用的进展[J].有色设备，2005（3）：
1-4]，它认为“磨碎过程中矿块所产生的新的裂缝的长度与输入的能量成比例”，即：
则，粉碎功指数为
式中，W——实测功耗，kW·
h/t；
Wi0——粉碎功指数，即物料对粉碎的阻力参数，kW·
η——电动机和传动系统效率；
P80—产品中80%通过的粒度，μm;
F80—给料中80%通过的粒度，μm；
A1-A8——修正系数，分别修正干式粉磨、开路球磨、磨机直径、过大给料粒度、球磨细度、棒磨粉碎比、球磨低粉碎比和棒磨回路等条件变化。
目前，Bond功指数已成为粉碎工程设计和应用中不可缺少的重要参数和指标。
1.3表面积学说
1867年，德国的P.R.Rittinger提出了表面积假说，是最早的、系统性的粉碎理论，也称为“Rittinger学说”。
Rittinger认为，物料粉碎时外力做的功用于产生新表面，即粉碎功耗与粉碎过程中物料新生成的表面积成正比[付敏.木质生物质粉碎及规模化制粉机械设计及理论研究[D].哈尔滨：
东北林业大学，2010][王习魁.高压微射流超细粉碎关键技术研究[D].无锡：
江南大学，2005]。
CR——常数。
Rittinger学说只能应用于比较理想的情况，要求物料在破碎过程中没有变形，各向均匀，无节理和层次结构。
当破碎比相当大时（i>
10），这种假说的结果和实际情况较为接近。
物料粉碎新生表面积只占粉碎能耗的1%都不到，所以Rittinger的“表面积学说”并未反映粉碎时能量转换的真正物理过程。
而Kikc学说把物料视为性质均匀的弹性体，粉碎能耗只取决于粉碎比D2/D1，而与颗粒尺寸本身大小无关，实际上颗粒越小粉碎越困难，而且各种物料在一定条件下都存在粉碎下限，所以Kikc学说的解释也是片面的。
Bond的“裂缝学说”提出的裂缝长度的概念仅仅是人为的假定，并无确切的物理意义。
虽然都存在着一定的局限性，但是三大粉碎理论都存在着一定的适用条件，分别反映了粉碎过程的某一阶段的能耗规律，从而组成了整个粉碎过程，即弹性变形阶段（Kick学说）——裂纹产生及扩展阶段（Bond学说）——形成新表面（Rittinger学说），它们相互补充，互不矛盾[王介强，宋守志.关于料层粉碎的理论研究[J].中国矿业，1987，7（5）：
48-50]。
对于粗粒物料（大于10mm）的粉碎过程，Kikc学说比较接近实际；
对于细粒物料（10μm-lmm）的粉碎过程，Rittinger学说与实际过程较为吻合；
Bond学说适用于中等粒度物料（l-10mm）的粉碎过程。
但是，三大经典粉碎功耗理论并不是针对超细粉碎提出的，都不适用于产物粒度小于10μm的超细粉碎中的功耗计算。
因为在超细粉碎过程中，外加的机械能不仅用于颗粒粒度的减小或比表面积的增大，还有因为强烈的和长时间的机械力作用导致的颗粒机械化学变化以及机械传动、研磨介质之间的摩擦、振动等消耗。
1.4Lewis一般式[应德标，张育才，张云洪.超细粉体技术[M].北京：
由于粉碎是以减小粒径为目的，通常粉碎功耗就以粒径函数来表示。
1957年，R.L.Charles提出了一个基于粒度减小的粉碎功耗微分式：
x1、x2——分别为粉碎前、后物料的平均粒径或代表性粒径；
n——系数，由试验确定；
CL——Lewis系数。
实际上，随着粉碎过程的不断进行，物料的粒度不断减小，其宏观缺陷也减小，强度增大，减小同样的粒度所消耗的能量也要增加，因而粗粉碎和细粉碎阶段的比功耗是不同的。
显然用Lewis公式来表示整个粉碎过程的功耗是不确切的。
将Lewis公式中，若取n=2，积分得到Rittinger粉碎功耗公式；
若取n=1，积分得到Kick粉碎功耗公式；
若取n=l.5，积分得到Bond粉碎功耗公式[蔡光先.中药粉体工程学[M].北京：
人民卫生出版社，2008]。
因此，这三种学说可认为是对Lewis公式的具体修正，从不同角度解释了粉碎现象的某些方面。
一般地，对于n>
1，对Lewis公式积分，可得
令粉碎比
，上式可写成
m与物料性质、粉碎设备类型、给料粒度及产物粒度等有关，还与被粉碎物料的硬度有关。
1.5粉碎功耗新理论
（1）田中达夫粉碎定律[盖国胜，陶珍东，丁明.粉体工程[M].北京：
清华大学出版社，2009P77]
由于颗粒形状、表面粗糙度等因素的影响，上述各式中的平均粒径或代表性粒径很难精确测定。
而随着比表面积测定技术的发展，采用比表面积比采用平均粒径更加精确，目前已得到广泛应用。
在粉碎理论的研究中，粉碎产物的粒度大小是人们关心的问题。
粉碎是否有极限，若有，极限是多少。
随着技术的发展，研究人员发现:
当粉碎颗粒达到一定细度时，颗粒会出现微塑性变形。
由于微塑性变形的影响，颗粒会发生锻焊或焊合作用而相互聚合长大，使颗粒变粗，因此把该细度范围称作粉碎极限，于是出现了“极限表面理论”。
1954年，田中达夫提出了带有结论性质的用比表面积表示的粉碎功耗定律：
比表面积增加量对功耗增加量的比值与极限比表面积和瞬时比表面积的差值成正比，即为有界粉碎能耗关系式
式中，S∞——极限比表面积，与粉碎设备、粉碎工艺及物料性质有关，m2；
S——瞬时比表面积，m2；
K——常数，由试验确定。
此式表明，物料越细时，单位能耗所产生的新表面积越小，即越难粉碎。
将上式积分，当S<
<
S∞时，可得
此式相当于Lewis公式中n>
2的情形，适用于微细粉碎。
（2）Hiorns公式[盖国胜，陶珍东，丁明.粉体工程[M].北京：
英国的Hiorns假设粉碎过程符合Rittinger粉碎学说，粉碎产品的粒度符合Rosin-Rammler分布，设固体颗粒间的摩擦力为kr，推推导出如下公式：
可见，kr越大，粉碎能耗越大。
由于粉碎的结果是增加固体的比表面积，则将固体比表面能γ与新生表面积相乘可得粉碎功耗计算公式，
（3）Rebinder公式[陶珍东，郑少华.粉体工程与设备（2版）[M].北京：
化学工业出版社，2010]
前苏联的Rebinder和Chodakow提出：
在粉碎过程中，固体粒度变化的同时还伴随着其晶体结构及表面物理化学性质等的变化。
他们在将Kick学说和田中达夫粉碎定律结合的基础上，考虑增加表面能σ、转化为热能的弹性能的储存及固体表面某些机械化学性质的变化，提出了如下功耗公式：
式中，ηm——粉碎机械效率；
α——与弹性有关的系数；
β——与固体表面物理化学性质有关的常数；
S0——粉碎前的初始比表面积。
（4）Hukki公式
[王介强，宋守志.关于料层粉碎的理论研究[J].中国矿业，1987，7（5）：
48-50]
1961年，R.T.Hukki做了更为广泛和精致的验证，研究了输入能量与产物粒度的关系，认为能耗规律是随产物粒度变细由Kick学说向Bond学说再向Rittinger学说连续地过渡的，传统的三大能耗学说不过是具有代表意义的三个特殊情况，大量的破碎现象是处于它们之间的，但对于10μm以下超细粉碎的能耗规律，Hukki并未作讨论。
其方程为：
式中，f（x）——随粒度x而变化的函数。
如图所示的lgE-lgx曲线中，曲线斜率为0、0．5和1的三个特殊点分别代表Kick、Bond和Rittinger的三个学说。
（4）列宾杰尔功耗公式
[母福生.破碎理论的研究现状及发展要求[J].硫磷设计与粉体工程，2006（4）：
20-24]
列宾杰尔通过研究，发现石英粉碎后不仅存在极限比表面积，也存在塑性变形，还因机械的活化作用使石英无定形化。
1962年，列宾杰尔提出了粉碎石英所需能量的关系式：
式中，η———粉碎机械效率，1；
Δε———输入粉碎机的比有用能量，J/cm3；
e———比弹性变形能，J/cm3；
c———比例系数，1；
aF———粉体形状系数，1；
β———比塑性变形能，J/cm3；
l———无定形层的厚度，cm；
σ———比表面自由能，J/cm2。
（5）K.Tkavova公式
1979年，K.Tkavova首次从热力学的角度研究粉碎系统的内能、熵、自由焓等参数的变化规律及与粉碎能耗之间的关系。
认为粉碎是一个不可逆的热力学过程，并把该过程作为一个物理化学过程来研究，以此为基础建立了热力学能量平衡方程式。
式中，ΔUm———被粉碎物料内能的增加量，J；
ΔUi———粉碎介质内能的增加量，J；
Q———总的热损失，J。
（6）神保元二粉碎功耗公式
神保元二在英国Horins研究的基础上，提出粉碎农业物料所消耗的功除了用于生成新的物料表面积和变形所耗之功外，必然还有其他能量消耗。
如物料在粉碎过程中所发生的化学变化和物理变化以及物料表面结晶构造变化等消耗的能量。
对此，他只给出定性的结论，并未给出定量分析[王春光.农业物料粉碎理论发展现状[J].农牧与食品机械，1991
（1）：
6-9]。
式中，δ——物料表面变化所需功耗
2现代粉碎理论
2.1料层粉碎理论
[张世礼.振动粉碎理论及设备[M].北京：
冶金工业出版社，2005P2]
[王晓峰.超微粉碎过程粉碎腔流场的研究[D].无锡：
江南大学，2008]
2.1.1料层粉碎理论的形成
早期的粉碎理论研究，大多是揭示粉碎机械能量消耗与被碎物料粒度减少量之间的关系。
19世纪后期，才出现了一些有价值的能耗理论，如Rittinger表面积假说、Kick体积假说、Bond裂缝假说以及Lewis统一能量方程式。
但是，用粉碎能耗来研究粉碎过程或固体破碎程度的方法是不完善的。
因为粉碎机械本身的一些能量损失无法估算，如颗粒受到摩擦而不碎裂造成的能量损失、动能和势能的损失、颗粒弹性和塑性变形造成的能量损失、粉碎过程中的机械化学行为造成的能量损失等。
由此，国内外学者开始在物料粉碎机理、能量平衡及粉碎过程定量描述等方面进行了广泛的试验研究，在现代断裂力学和实验技术的基础上，提出了高压料层挤压粉碎理论[张起民，张显铎.料层挤压粉碎技术及装备的发展[J].中国水泥，2003（3）:
49-52]。
早在1962年，美国的Bergstrom等人便提出了采用层压粉碎以提高能量利用率的观点。
随后的十多年里，Rumpf、K.Klotz、Schmitt等也对单颗粒粉碎和料层粉碎进了理论探索和实验分析，得到了一些有价值的成果[孟宪红，宋守志，徐小荷.关于粉碎、超细粉碎理论的实验研究新进展[J].中国矿业，1996，5
（1）：
51-56]。
而德国的K.Schonert在众多学者的研究基础上，进行了一系列层压粉碎实验，指出:
“物料不是在破碎机工作面上或其他粉磨介质间作单颗粒粉碎（破碎或粉磨），而是作为一层（或一个料层）得到粉碎。
该料层在高压下形成，压力导致颗粒挤压其它临近颗粒，直到其主要部分破碎、断裂，产生裂缝或劈碎”[徐友军.筒辊磨粉磨机理与粉磨效果研究[D].武汉：
武汉理工大学，2002]。
1979年和1984年，他发表文章从粉碎物料的能量观点出发，对传统的粉磨方式进行了系统的实验研究和理论探讨，首次提出了高压作用下的“料床粉碎”（PressureComminutionintheMaterialBed）概念，标志着料层粉碎理论的形成[张起民.反求工程在料层挤压粉碎技术及装备研究中的应用[J].国外建材科技，2002，23
（2）：
42-45]。
2.1.2料层粉碎理论
料层粉碎理论可概括为：
固体物料受外部压力作用时会产生压缩变形，造成内部应力集中，当应力达到颗粒在某一最弱轴向上的破坏应力时，该颗粒就会在该轴向上发生碎裂和粉碎行为。
料层粉碎理论的基本观点是物料在每个移动循环中相邻颗粒改变其相对方位，相互作用力矢量也不断改变，由此达到被粉碎物料的负载改变方向的目的。
同时，造成强制性自磨的条件，使结构缺陷少的、最坚硬的颗粒可破碎相邻粒子间键力弱的颗粒。
而在等硬度颗粒中，剪切力与位错滑动力相重合处的颗粒被破碎[杨啟梁，刘旺，汪建春.料层粉碎理论在新型行星辊磨机上的应用[J].机械设计与制造，2009（7）：
85-86]
。
2.1.3料层粉碎过程
层压粉碎大致可以分为三个阶段：
（1）满料密实阶段
当物料在重力和拉入力（辊面摩擦力）共同作用下进入粉碎作业区后，即受到较小压力的作用，物料颗粒因此而互相靠紧、密实，故松散容积变化较大；
随着物料的推进，物料密实度逐渐增大。
由于两辊间隙越来越小，各颗粒之间已由点接触过渡到面接触，有些颗粒开始沿解理面破碎，但这种破碎与寻常破碎机基本相同。
这一阶段颗粒的密实度大约10%增大到45%。
（2）层压粉碎阶段
随着料层向两辊间隙最小处推进，物料便进一步密实为由颗粒群构成的料层，应力强度继续升高到物料的挤压强度极限由于密实度增高（例如密实度由45%增大到80%-85%），颗粒之间的间隙几乎趋向于零。
因此，在高应力作用下，密实状态的颗粒之间进行着应力传递，各颗粒之间出现强烈的作用和反作用（交互作用力）力，于是有众多的颗粒被粉碎或者产生许多微裂纹，此时压力或应力曲线表现为很陡的斜率。
鉴于物料的几何、物理性质的差异，颗粒层压粉碎行为一般在较大的应力范围内发生，曲线斜率也开始由陡变平缓。
（3）结团排料阶段
由于颗粒粉碎概率增高，已碎颗粒必然在高应力作用下重新排列各自的位置，料层松散容积亦不断变化，个别粗颗粒被众多细颗粒所包围，此时粒间应力传递相当分散。
由于各颗粒重新排列的密实料层已被挤到两辊间隙最小处，各颗粒间的间隙几乎趋向于零，其料层密实度更高，有时甚至高达85%，于是产生了排料结团现象，这就是所谓料饼料坯，此时层压力增大到极大值，料饼通过两辊最小间隙处，遂以连续料坯的形态排出粉碎腔[戴少生.层压粉碎机理和倒悬挂细碎颚式破碎机[J].四川水泥，1998（4）：
4-6][苏亚娟，崔亚伟，张先锋.粉碎理论的探讨[J].武汉工业大学学报，1993，15（3）：
49-53][朱军.层压粉碎技术应用实践的探讨[J].湖北地矿，2004，，1
（1）：
49-52]
2.1.4料层粉碎特点
[包玮，马克，王志凌，等.料层粉碎的基本规律及在水泥粉磨工艺中应用的探讨[J].中国水泥，2010（7）：
61-65]
（1）选择性粉碎。
由于粉碎力在物料之间传递，强度较弱、颗粒较大的物料首先被粉碎，而颗粒较小、强度较大的物料最后被粉碎．甚至没被粉碎直接排除。
因此，相同物料、相同比表面积，颗粒分布宽的产品能耗更高。
若需粉碎颗粒分布宽的产品，可减小料层厚度，增加压力，以减小选择性粉碎的影响。
（2）由于选择性粉碎的影响，随着系统循环负荷的加大，其成品颗粒分布都朝着更加均齐的方向发展。
（3）物料的最大粒度和颗粒分布影响拉入角的大小，从而影响最大料层厚度。
2.1.4料层粉碎理论研究新进展
[甘建国.高压对辊粉碎的微分剪切理论及数学模型[J].机械工程学报，2008，44（3）：
241-248]
甘建国认为，层压粉碎理论研究中，“产生结团行为而生成料饼”的说法，没有很好的解释在高压对辊粉碎作用下粉状料饼的形成机理。
他提出了“高压对辊粉碎的微分剪切理论”，即当块状脆性材料被引进高压对辊后，在等速相向转动的两辊轮作用下，物料料层受到辊轮法向作用力而被逐步压缩，且物料料层在与辊轮径向方向平行的任一微分断面上，处处同时存在连续的剪切作用和切应力在辊轮法向压缩力和微分切应力的共同作用下，块状脆性材料通过高压对辊时，被剪切形成均匀细密的粉状料饼，打散后即成为粉末。
通过微分剪切理论，推导出物料受辊压时单个辊轮所消耗功率的数学模型为：
式中，f（θ0）——物料料层被辊轮拉入时的初始厚度；
E（θ0）——物料料层受压缩时的弹性模量；
G（θ0）——物料料层受到剪切时的切变模量；
b——辊轮宽度。
料层粉碎技术是当今世界粉碎工程领域中最新型实用的粉碎机械技术之一，更是对三大粉碎理论的综合继承和发展。
尽管对于层压粉碎技术的粉碎机理和力学特性仍然还没有被完全揭示，但应用层压粉碎技术开发研制的各类粉碎机械，在粉碎工程的工业实际应用中都表现出明显的优越性[朱军.层压粉碎技术应用实践的探讨[J].湖北地矿，2004，18
（1）：
2.2分形理论及其在粉碎工程中的应用
2.2.1分形理论的发展
分形理论的雏形可以追溯到19世纪，如1872年，德国数学家K.Weierestrass构造了一条处处连续但处处不可微的Weierestrdss曲线；
1883年，集合论创始人德国数学家G.Cantor构造了有许多奇异性质的三分Cantor集；
1915年，波兰数学家W.Sierpinski在二维与三维空间中设计出了象地毯和海绵一样的Sierpinski三角形[甘龙.分形理论及其在图像边缘检测中的应用研究[J].合肥：
合肥工业大学，2003]；
1919年，Hausdorff和Besicovitch研究了几何学中的“病态”结构，将维数定义从整数维推广到分数维。
但由于历史原因，他们的工作却不能被当时的数学界所接受，因此，长期以来没有什么突破性进展。
直到1973年，美国数学家Mandelbrot首先提出“fractal（分形）”一词，并揭示了它与物理学的关系，分形理论最终得到科学界的公认。
“分形”来源于拉丁语“fractus”，其原义是“不规则的、分数的、支离破碎的”物体，是没有特征长度的图形、构造以及现象的总称，Mandelbrot是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规则的几何对象[邹明清.分形理论的若干应用[J].武汉：
华中科技大学，2007]。
1975年Mandelbrot在法国出版了《Lesobiectsfractals:
forme，basardetdimension》，1977年他在英国出版了《Fractal:
Form，ChanceandDimension》[李水根.分形[M].北京：
高等教育出版社，2004]，标志着分形理论的正式诞生。
1982年，他又出版了专著《TheFractalGeometryofNature》（《大自然的分形几何学》），至此分形理论初步形成。
1982年，Mandelbrot在最初的论述中，曾经定义“分形”为：
它是豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合，但是它把一些明显属于分形集（如Peano曲线）排除在外了。
1986年，Mandelbrot给出了更广泛、更通俗的定义：
“分形是局部和整体有某种方式相似的形”，它强调局部和整体之间的自相似性，但是相似性并不能包含分形的全部属性[孙霞，吴自勤，黄畇.分形原理及其应用[M].北京：
中国科学技术出版社，2003][于建梅.基于分形理论的图像压缩和边缘检测研究[D].哈尔滨：
哈尔滨工程大学，2008]。
之后，人们做了各种各样的努力企图给分形一个严格的数学定义，但是这些定义都很难适用于一般的情形。
K.Falconer认为，对“分形”的定义可以采用与生物中对“生命”定义的方法来处理，即对分形并不给其一个严格和明确的定义，而是列出其一系列的性质来加以区分。
1990年，英国数学家K.Falconer在其专著《FractalGeometry——MathematicalFoundationsandApplications》中，对“分形”作了如下描述[Kenn
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