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②AB→－AC→＋BD→－CD→；

③OA→－OD→＋AD→；

④NQ→＋QP→＋MN→－MP→．结果为０的个数为　　　　　　　　　　　　　（　　　）

Ａ．１　　Ｂ．２　　Ｃ．３　　Ｄ．４

分析　题设条件中多处涉及首尾相接的两个向量求和以及同起点的两个向量相减，对此，我们可以运用向量加减的定义进行合并，当最终形式出现两相反向量之和或相等向量之差时，结果为０．

答　Ｄ．

点评本题巩固了向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识．求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律．注意：

AB→=－BA→，+CB→=AB→．

变题作图验证A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An→=A1An→（n≥2，n∈N）．

例2如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，CA→=3a，CB→=2b，求CD→，CE→．

分析本题中的已知向量都集中体现在三角形中．为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解．如已知CA→、CB→可求AB→，根据AD→、AE→、AB→均为共线向量，故又可求得AD→、DE→、．由CA→、AD→又可求CD→，由DE→、CD→又可求CE→．

解AB→=AC→+CB→=－3a+2b，

因D、E为AB→的两个三等分点，

故AD→=AB→=－a＋b=DE→，

CD→=CA→＋AD→=3a－a＋b=2a＋b，

CE→=CD→＋DE→=2a＋b－a＋b=a＋b．

点评三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞错．

当向量运算转化成基底向量的代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行．

例3已知A、B、C、P为平面内四点，求证：

A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使PC→=mPA→+nPB→，且m+n=1．

分析A、B、C三点共线的一个充要条件是存在实数λ，使得AC→=λAB→．很显然，题设条件中向量表达式并未涉及AC→、AB→，对此，我们不妨利用PC→=PA→＋AC→来转化，以便进一步分析求证．

证明充分性，由PC→=mPA→＋nPB→，m＋n=1，得

PA→＋AC→=mPA→＋n（PA→＋AB→）

=（m＋n）PA→＋nAB→=PA→＋nAB→，

∴AC→=nAB→．

∴A、B、C三点共线．

必要性:

由A、B、C三点共线知，存在常数λ，使得AC→=λAB→，

即AP→+PC→=λ（AP→+PB→）．

PC→=（λ－1）AP→＋λPB→=（1－λ）PA→＋λPB→，－λ，n=λ，m＋n=1，

PC→=mPA→＋nPB→．

点评逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识．

变题在ΔABC所在平面上有一点P，满足PA→＋PB→＋PC→=AB→，试确定点P的位置．

答：

P在AC边上，且P为AC的一个三等分点（距A点较近）

例4

（1）若点O是三角形ABC的重心，求证：

OA→＋OB→＋OC→=0；

（2）若O为正方形ABCD的中心，求证：

OA→＋OB→＋OC→＋OD→=0；

（3）若O为正五边形ABCDE的中心，求证：

OA→＋OB→＋OC→＋OD→＋OE→=0．

若O为正n边形A1A2A3…An的中心，OA1→＋OA2→＋OA3→＋…＋OAn→=0还成立吗？

说明理由．

分析本题四问构成一个题链，条件相似，结论相似，求证方法可望相似．

正三角形、正方形性质特殊，我们十分熟悉，求证方法多，不容易发现那一种方更有利于推广，我们选定正五边形来研究．

看着结论，联想一个相似的并且已经解决的问题，本课例1的变题A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An→+AnA1→=0，这里的向量首尾相接，我们能不能将OA→、OB→、OC→、OD→、OE→也转化成首尾相接的形式呢？

运用向量相等的定义试试看．

解证（3）以A为起点作AB′→=OB→，以B′为起点作B′C′→=OC→，以C′为起点作C′D′→=OD→，以D′为起点作D′E′→=OE→．

∵∠AOB=72&

，

∴∠OAB′=108&

．

同理∠AB′C′=∠B′C′D′=∠C′D′E′=108&

，故∠D′E′A=108&

|OA→|=|AB′→|=∣B′C′→|=|C′D′→|=|D′E′→|，

故E′与O重合，OAB′C′D′为正五边形．

OA→＋OB→＋OC→＋OD→＋OE→=OA→＋AB′→＋B′C′→＋C′D′→＋D′E′→=0．

正三角形，正方形、正n边形可类似获证．

点评本题不仅揭示了正多边形的一类共同性质，而且巩固了“以退为进”的数学思想．面对一般的问题，我们经常先考虑其特殊的情况；

面对陌生的问题，经常去联想熟悉的模型．注意退是为了进，退到特殊简单情形后，要在求解中悟出一般的规律．如退到正方形情况，发现OA→＋OB→与OC→＋OD→正好互为相反向量，结论成立．这一方法却不具一般性．

【知能集成】

1．基础知识：

向量加减的代数形式运算与几何形式运算．

2．基本技能：

向量运算中的合二为一与拆一为二．

3．基本思想：

向量表达式运算与几何式运算的相互结合思想，联想熟悉的类似的模型，化归转化思想．

【训练反馈】

1．下列各式正确的是：

（）

A．∣a－b∣≤∣a∣+∣b∣B．a+b∣∣a∣+∣b∣

C．∣a+b∣∣a－b∣D．∣a－b∣=∣a∣－∣b∣

2．下面式子中不能化简成AD→的是（）

A．OC→－OA→＋CD→B．PB→－DA→－BP→

C．AB→－DC→＋BC→D．（AD→－BM→）＋（BC→－MC→）

3．正方形ABCD的边长为1，AB→=a，BC→=b，AC→=c，则a＋b＋c、a－b＋c、－a－b＋c的摸分别等于．

4．设a、b为已知向量，若3x＋4y=a，2x－3y=b，则x=．．

5．已知e1、e2不共线，AB→=2e1＋ke2，CB→=e1＋3e2，CD→=2e1－e2，且A、B、D三点在同一条直线上，求实数k．

6．在正六边形ABCDEF中，O为中心，若OA→=a，OE→=b，用a、b表示向量OB→，OC→，OD→，结果分别为（）

A．－b，－b－a，－aB．b，－a，b－a

C．－b，a，a－bD．－b，－a，a＋b

7．试用向量方法证明：

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

8．已知P为△ABO所在平面内的一点，满足OP→=，则P在（）

A．∠AOB的平分线所在直线上B．线段AB的中垂线上

C．AB边所在的直线上D．AB边的中线上．

9．设O是平面正多边形A1A2A3…An的中心，P

为任意点，求证：

PA1→＋PA2→＋PA3→＋…＋PAn→=nPO→．

10．如图设O为△ABC内一点，PQ∥BC，且PQ→∶

BC→=2∶3，OA→=a，OB→=b，OC→=c，

则OP→，OQ→．

11．P为△ABC所在平面内一点，PA→＋PB→＋PC→=0，则P为△ABC的（）

A．重心B．垂心C．内心D．外心

12．在四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点．求证：

EF→=（AB→

＋DC→）．

第30课向量的坐标运算

1．理解平面向量的坐标表示法，知道平面向量和一对有序实数一一对应．

2．掌握平面向量的和、差、实数与向量积的坐标运算，能利用向量的坐标运算解题．

3．掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示，并利用它解决向量平行（共线）的有关问题，弄清向量平行和直线平行的区别．

1．若向量a的起点坐标为（－2，1），终点坐标为（2，－1），则向量a的坐标为

2．若O为坐标原点，向量a=（－3，4），则与a共线的单位向量为

3．已知a=（－1，2），b=（1，－2），则a＋b与a－b的坐标分别为（）

A．（0，0），（－2，4）B．（0，0），（2，－4）

C．（－2，4），（2，－4）D．（1，－1），（－3，3）

4．若向量a=（x－2，3），与向量b=（1，y＋2）相等，则（）

A.x=I，y=3，B．x=3，．x=1，y=－5D．x=5，y=－1

5．已知A（0，0），B（3，1），C（4，3），D（1，2），M、N分别为DC、AB的中点．

（1）求证四边形ABCD为平行四边形；

（2）试判断AM→、CN→是否共线？

为什么？

例1已知a=（1，2），b=（－3，2），当k为何值时，ka+b与a－3b平行？

分析已知a、b的坐标，可求a－3b的坐标，ka＋b的坐标也可用含k的表达式表示．运用两向量平行的充要条件x1y2－x2y1=0可求k值．

解由已知a=（1，2），b=（－3，2），得

a－3b=（10，－4），ka＋b=（k－3，2k＋2）．

因（ka＋b）∥（a－3b），

故10（2k＋2）＋4（k－3）=0．

得k=－．

点评坐标形式给出的两个向量，其横坐标之和即为和向量的横坐标；

其纵坐标之和即为和向量的纵坐标．实数与向量的积其横、纵坐标分别等于实数与该向量的横、纵坐标的积．

向量的平行用坐标形式表达即为一个方程．

例2已知向量a=（，），b=（－1，2），c=（2，－4）．求向量d，使2a，－b＋c及4（c－a）与d四个向量适当平移后，能形成一个顺次首尾相接的封闭向量链．

分析四个向量适当平移后，形成一个顺次首尾相接的封闭向量链，说明这四个向量之和为0．即四个向量的纵横坐标之和均为0．据此列出关于向量d（x，y）的方程组，不难求得x、y．

简解设向量d的坐标为（x，y），由2a＋（－b＋c）＋4（c－a）＋d=0，

可解得d=（－9，23）．

点评数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键．本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到．

例3已知平面上三点P（2，1），Q（3，－1），R（－1，3）．若点S与这三点可以为一个平行四边形的四个顶点，求S的坐标．

分析平行四边形对边对应向量相等或相反，由此可求得S点的坐标．但由于题设四点构成四边形的四个顶点，那一组边是对边不明显，需要分类讨论．

简解设S的坐标为（x，y）．

（1）当PQ→与RS→是一组对边时，

若PQ→=RS→，则（3，－1）－（2，1）=（x＋1，y－3），

即（1，－2）=（x＋1，y－3），得S点坐标为（0，1）．

若PQ→=SR→，则S点坐标为（－2，5）．

（2）当PR→与SQ→是一组对边时，

若PR→=SQ→，则S点的坐标为（6，－3）．

若PR→=QS→，则S点的坐标为（0，1）．

（3）当PS→与RQ→是一组对边时，

若PS→=RQ→，则S点的坐标为（6，－3）．

若PS→=QR→，则S点的坐标为（－2，5）．

综上所述，S点坐标可以为（0，1），（6，－3），（－2，5）．

点评本题求解需运用分类讨论思想．上述解法思路自然、条理清晰，但很显然不是最简方案，如何数形结合，避免重复劳动，读者不妨思考．

例4向量PA→=（k，12），PB→=（4，5），PC→=（10，k），当k为何值时，A、B、C三点共线．

分析三点共线问题前一课已涉及，A、B、C三点共线的充要条件是AB→=λBC→，本题所不同的是向量用坐标形式给出，对此，我们可以将坐标代入运算．

解AB→=PB→－PA→=（4－k，－7），BC→=PC→－PB→=（6，k－5）．

当A、B、C三点共线时，存在实数λ，使得AB→=λBC→，将坐标代入，得

4－k=6λ，且－7=λ（k－5），

故（4－k）（k－5）=－42．

解得k=11，或k=－2．

点评向量的几何运算与向量的坐标运算，可以从不同角度去求解（证）同一个问题．只不过两套工具各有适用范围，即便两套工具都适用，也可能繁简不一，应用时要注意前瞻性选择．

变题求证：

互不重合的三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）共线的充要条件是（x2－x1）（y3－y1）=（x3－x1）（y2－y1）．

证明必要性（略）．

充分性若（x2－x1）（y3－y1）=（x3－x1）（y2－y1），由A、B、C互不重合，得（x2－x1）、（y3－y1）、（x3－x1）、（y2－y1）中至少有一个不为零，不妨设x3－x1≠0．令x2－x1=λ（x3－x1），若λ=0，则x2－x1=0，此时y2≠y1（否则A、B重合）．而已知等式不成立，故λ≠0．于是（x3－x1）（y2－y1）=λ（x3－x1）（y3－y1）．

因x3－x1≠0，故（y2－y1）=λ（y3－y1）．

于是（x2－x1，y2－y1）=λ（x3－x1，y3－y1），即AB→=λAC→，且AC→≠0．

又因AB→与AC→有相同起点，所以A、B、C三点共线．

基础知识：

坐标形式的向量的加减运算，实数与向量坐标的积．

基本技能：

向量平行的充要条件及向量相等的充要条件用坐标形式描述和应用．

基本思想：

将向量等式转化成方程的思想；

对几何图形的分类讨论思想．

1．若a=（2，3），b=（4，y－1），且a∥b，则y=（）

A．6B．5C．7D．2．已知点B的坐标为（m，n），AB→的坐标为（i，j），则点A的坐标为（）

A．（m－i，n－j）B．（i－m，j－n）．（m＋i，n＋j）D．（m＋n，i＋j）

3．若A（－1，－1），B（1，3），C（x，5）三点共线，则x=．

4．已知a=（5，4），b=（3，2），则与2a－3b平行的单位向量为

5．有下列说法

①已知向量PA→=（x，y），则A点坐标为（x，y）；

②位置不同的向量，其坐标有可能相同；

③已知i=（1，0），j=（0，1），a=（3，4），a=3i－4j；

④设a=（m，n），b=（p，q），则a=b的充要条件为m=p，且n=q．

其中正确的说法是（）

A．①③B．①④C．②③D．②④

6．下列各向量组中，不能作为表示平面内所有向量的基底的一组是（）

A．a=（－1，2），b=（0，5）B．a=（1，2），b=（2，1）

C．a=（2，－1）b=（3，4）D．a=（－2，1），b=（4，－2）

7．设a=（－1，2），b=（－1，1），c=（3，－2），用a、b作基底，可将向量c表示为c=pa＋qb，则（）

A．p=4，q=1B．p=1，q=－4C．p=0，q=4D．p=1，q．设i=（1，0），j=（0，1），在平行四边形ABCD中，AC→=4i＋2j，BD→=2i＋6j，则AB→的坐标为．

9．已知3sinβ=sin（2α＋β），α≠kπ＋，β≠kπ，k∈z，a=（2，tan（α+β）），b=（1，tanα），求证：

a∥b．

10．已知A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标（x，y）．

11．已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且OP→=OA→＋tAB→．

（1）当t变化时，点P是否在一条定直线上运动？

（2）当t取何值时，点P在y轴上？

（3）OABP能否成为平行四边形？

若能求出相应的t值；

若不能，请说明理由．

第31课平面向量的数量积

1．掌握平面向量的数量积及其几何意义．

2．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题．

3．掌握向量垂直的条件．

1．若∣a∣=4，∣b∣=3，ab=－6，则a与b的夹角等于（）

A．150&

B120&

C．60&

D．30&

2．若a=（－2，1），b=（1，3），则2a2－ab=（）

A，15B．11．C．9D．．已知向量i=（1，0），j=（0，1），则与向量2i＋j垂直的一个向量为（）

A．2i－jB．i－2jC．i＋jD．i－j

4．已知a=（1，2），b=（1，1），c=b－ka，且c⊥a，则C点坐标为

5．已知∣a∣=3，∣b∣=4，且a与b夹角为60&

，∣ka－2b∣=13，求k的值

例1

（1）在直角三角形ABC中，∠C=90&

，AB=5，AC=4，求AB→BC→

（2）若a=（3，－4），b=（2，1），试求（a－2b）（2a＋3b）

分析

（1）中两向量AB→、BC→的模及夹角容易求得，故可用公式

ab=|a||b|cosθ求解．

（2）中向量a、b坐标已知，可求a2、b2、ab，也可求a－2b与2a＋3b的坐标，进而用（x1，y1）（x2，y2）=x1x2＋y1y2求解．

解

（1）在△ABC中，∠C=90&

，AB=5，AC=4，故BC=3，且cos∠ABC=，AB→与BC→的夹角θ=π－∠ABC，

∴AB→BC→=－∣AB→∣∣BC→∣cos∠ABC=－5×

3×

=－9．

（2）解法一a－2b=（3，－4）－2（2，1）=（－1，－6），

2a－3b=2（3，－4）＋3（2，1）=（12，－5），

（a－2b）（2a＋3b）=（－1）×

12＋（－6）×

（－5）=18．

解法二（a－2b）（2a＋3b）=2a2－ab－6b2

=2[32＋（－4）2]－[3×

2＋（－4）×

1]－6（22＋12）=18．

点评向量的数量积有两种计算方法，一是依据模与夹角来计算，二是依据坐标来计算．具体应用时可根据已知条件的特征来选择．

值得注意的是，向量的夹角与向量的方向相关，

（1）中∠ABC并非AB→与BC→的夹角．

从第

（2）问的解法二可以看到，向量数量积的运算律，类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算．如：

a（b＋c）=ab＋bc，而（ab）c≠a（bc）．

例2．已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足OA2+BC2=OB2+CA2，试用向量方法证明AB⊥OC．

分析要证AB→⊥OC→，即证AB→OC→=0，题设中不涉及AB→，我们用AB→=AO→+OB→代换，于是只需证AO→OC→=BO→OC→．至此，我们可以尝试将已知等式转化成只含有OA→、OB→、OC→的形式．

证明由已知得OA→2+BC→2=OB→2+CA→2，即OA→2+（BO→+OC→）2=OB→2+（CO→+OA→）2，整理得AO→OC→=BO→OC→，即OC→（BO→+OA→）=0，

故OC→AB→=0．所以AB→⊥OC→．

点评用向量方法证明垂直问题，通常转化为证两个向量的数量积为0．本题已知式与求证式中向量的表达形式不统一，针对差异进行有目标的化归，是求解的关键所在．

例3．设OA→=a=（＋1，－1），OB→=b=（，3），试求∠AOB及ΔAOB的面积．

分析已知a、b可以求|a|、|b|及ab，进而求得∠AOB（即a与b的夹角），在求到三角形的两边及夹角后，可用公式：

S=∣a∣∣b∣sinθ求面积．

解设∠AOB=θ，ΔAOB的面积为S，由已知得：

∣OA→∣=∣a∣==2，∣OB→∣=∣b∣=2，

∴cosθ===．∴θ=．

又S=∣a∣∣b∣sinθ=2=2，

即∠AOB=，ΔAOB的面积为2．

点评向量的数量积公式ab=∣a∣∣b∣cosθ不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角．要注意该公式与三角形的面积公式的区别．此外，本题的解题方法可适用于更一般的情况（见变题）．

变题设ΔABC的面积为S，AB→=a，AC→=b，求证例4．已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角．

分析要求夹角θ，必需求出cosθ；

求cosθ需求出ab与∣a∣∣b∣的比值（不一定要求出∣a∣、∣b∣的具体值）．由已知的两个向量的垂直关系，可以得到∣a∣∣b∣与ab的关系．

解∵（a+3b）⊥（7a-5b），（a-4b）⊥（7a-2b），