初三数学复习导学案二次函数Word文件下载.docx
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交点在y轴正半轴上，则c0；
在负半轴上则c0，当c=0时，抛物点过点
在抛物线y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=当x=-1时y=,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】
【重点考点例析】
考点一：
二次函数图象上点的坐标特点
例1已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取
、3、0时，对应的函数值分别：
y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
1．已知二次函数y=
x2-7x+
，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1
考点二：
二次函数的图象和性质
例2对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．
其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）
对应训练
2．如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=
（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a=1；
③当x=0时，y2-y1=4；
④2AB=3AC；
其中正确结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
考点三：
抛物线的特征与a、b、c的关系
例3二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：
①c＜1；
②2a+b=0；
③b2＜4ac；
④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，
则正确的结论是（ ）A．①②B．①③C．②④D．③④
3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=
．下列结论中，正确的是（ ）A．abc＞0B．a+b=0C．2b+c＞0D．4a+c＜2b
考点四：
抛物线的平移
例4如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移
个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x+1）2-1B．y=（x+1）2+1C．y=（x-1）2+1D．y=（x-1）2-1
4．已知下列函数①y=x2；
②y=-x2；
③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有（填写所有正确选项的序号）．
1．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（ ）
A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第二、三、四象限D第一、三、四象限
2．如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（ ）
A．y的最大值小于0B．当x=0时，y的值大于1
C．当x=-1时，y的值大于1D．当x=-3时，y的值小于0
3．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数
在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
5．已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法：
①其图象的开口向下；
②其图象的对称轴为直线x=-3；
③其图象顶点坐标为（3，-1）；
④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列
结论：
①b2-4ac＞0；
②2a+b＜0；
③4a-2b+c=0；
④a：
b：
c=-1：
2：
3．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
7．将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=3（x+2）2+3By=3（x-2）2+3Cy=3（x+2）2-3Dy=3（x-2）2-3
8．许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表：
旋钮角度（度）
20
50
70
80
90
所用燃气量（升）
73
67
83
97
115
（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律？
说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？
最少是多少？
（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．
一、选择题
1．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（ ）
A．x＜-1B．x＞3C．-1＜x＜3D．x＜-1或x＞3
2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜-3B．k＞-3C．k＜3D．k＞3
3．设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（ ）A．c=3B．c≥3C．1≤c≤3D．c≤3
4．已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为（ ）
A．（-2，-1）B．（2，1）C．（2，-1）D．（-2，1）
5．若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a、b为常数）的图象如图，则a的值为（ ）
A．1B．
C．-
D．-2
1．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（ ）
当x=0时，y的值大于1
B．
当x=3时，y的值小于0
C．
当x=1时，y的值大于1
D．
y的最大值小于0
2．对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x=-1
7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：
①b-2a=0；
②abc＜0；
③a-2b+4c＜0；
④8a+c＞0．其中正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
8．二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（ ）A．0＜t＜1B．0＜t＜2C．1＜t＜2D．-1＜t＜1
9．将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ）
A．y=（x+2）2+2B．y=（x+2）2-2C．y=（x-2）2+2D．y=（x-2）2-2
10．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（-2，3）B．（-1，4）C．（1，4）D．（4，3）
11．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．6
12．二次函数y=-（x-2）2+
的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有个（提示：
必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．
13．在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．
14．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：
①abc＜0；
②a-b+c＜0；
③3a+c＜0；
④当-1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是（把正确的序号都填上）．
15．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则（填“＞”、“＜”或“=”）．
16．有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a（a-3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2-（a2+1）x-a+2的图象不经过点（1，0）的概率是．
17．将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是．
18．把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°
后得到的图象的解析式为
2．若直线y=m（m为常数）与函数y=
的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是 ．
19．如图，把抛物线y=
x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=
x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为
20．已知：
抛物线y=
（x-1）2-3．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；
（2）函数y有最大值还是最小值？
并求出这个最大（小）值；
（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．
3．规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．
请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：
（1）写出奇数a用整数n表示的式子；
（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；
（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．
下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：
xi
1
2
3
4
5
…
yi
9
16
25
yi+1﹣yi
7
11
由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5…
请回答：
①当x的取值从0开始每增加
个单位时，y的值变化规律是什么？
②当x的取值从0开始每增加
4．某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：
y1=
，若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为y2=
（1）用x的代数式表示t为：
t=6-x
；
当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为：
y2=5x+80
当6
时，y2=100；
（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？
最大值为多少？
11.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，-5）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？
若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
2015年初三数学复习导学案：
二次函数的综合题及应用
确定二次函数关系式
例1如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．
对应训练：
1．已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
二次函数与x轴的交点问题
例2已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（ ）
A．x1=1，x2=-1B．x1=1，x2=2C．x1=1，x2=0D．x1=1，x2=3
2．二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（ ）
A．-8B．8C．±
8D．6
考点三：
二次函数的实际应用
例3为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：
y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？
最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
3．科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：
科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：
温度x/℃
-4
-2
4.5
植物每天高度增长量y/mm
41
49
19.75
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．
（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；
（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？
（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？
请直接写出结果．
二次函数综合性题目
例4如图，已知抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；
（3）在
（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？
若存在，求出圆心Q的坐标；
4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°
所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：
△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：
在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？
若存在，求出这个最小值；
1．如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°
，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．（
，
）B．（2，2）C．（
，2）D．（2，
）
2．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？
最大为多少？
（材质及其厚度等暂忽略不计）．
3．一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：
x
3O00
3200
3500
4000
y
100
96
（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式．
（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表：
租出的车辆数
未租出的车辆数
租出每辆车的月收益
所有未租出的车辆每月的维护费
（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？
请求出公司的最大月收益是多少元．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？
若存在，请求出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？
求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
5．为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使定点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边
BC，AC上；
又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；
其余空地铺设瓷砖，其中AB=24
米，∠BAC=60°
，设EF=x米，DE=y米．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？
最大面积是多少？
（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的
？
6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（-
，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：
直线BE是⊙D的切线；
（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？
若存在，求出最大值；
7．如图，抛物线y=
x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线y=
x+
与直线y=x交于点A，点B在直线y=
上，∠BOA=90°
．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；
（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．
9．如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，
）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？
若存在，求出P点坐标；
【备考真题过关】
1．已知函数y=x2+2x-3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是（ ）
A．-4B．0C．2D．3
2．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（ ）
A．a＞0B．b2-4ac≥0
C．x1＜x0＜x2D．a（x0-x1）（x0-x2
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