《创新设计》 届二轮专题复习 全国版 数学理科 WORD版材料 专题五 解析几何Word下载.docx

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答案　B

4.（2016·

山东卷）已知双曲线E：

－＝1（a>

0，b>

0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.

解析　由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×

＝3×

2c，又∵b2＝c2－a2，整理得：

2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得2－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1（舍去）.

答案　2

考点整合

1.圆的方程

（1）圆的标准方程：

（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），圆心为（a，b），半径为r.

（2）圆的一般方程：

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），圆心为，半径为r＝.

2.直线与圆相关问题的两个关键点

（1）三个定理：

切线的性质定理，切线长定理，垂径定理.

（2）两个公式：

点到直线的距离公式d＝，弦长公式|AB|＝2（弦心距d）.

3.圆锥曲线的定义

（1）椭圆：

|MF1|＋|MF2|＝2a（2a＞|F1F2|）；

（2）双曲线：

||MF1|－|MF2||＝2a（2a＜|F1F2|）；

（3）抛物线：

|MF|＝d（d为M点到准线的距离）.

4.圆锥曲线的标准方程

＋＝1（a＞b＞0）（焦点在x轴上）或＋＝1（a＞b＞0）（焦点在y轴上）；

－＝1（a＞0，b＞0）（焦点在x轴上）或－＝1（a＞0，b＞0）（焦点在y轴上）；

y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py（p＞0）.

5.圆锥曲线的几何性质

e＝＝；

①e＝＝；

②渐近线方程：

y＝±

x或y＝±

x；

设y2＝2px（p＞0），C（x1，y1），D（x2，y2）为抛物线上的点，F为其焦点.

①焦半径|CF|＝x1＋；

②过焦点的弦长|CD|＝x1＋x2＋p；

③x1x2＝，y1y2＝－p2.

热点一　直线与圆有关问题

[微题型1]　求圆的方程

【例1－1】

（1）（2015·

全国Ⅱ卷）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，－7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|＝（　　）

A.2B.8

C.4D.10

（2）已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：

x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：

2x－y－4＝0相切，则圆M的方程为（　　）

A.（x－1）2＋y2＝4B.（x＋1）2＋y2＝4

C.x2＋（y－1）2＝4D.x2＋（y＋1）2＝4

解析　

（1）由已知，得＝（3，－1），＝（－3，－9），则·

（－3）＋

（－1）×

（－9）＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故过三点A、B、C的圆以AC为直径，得其方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝25，令x＝0得（y＋2）2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，选C.

（2）由已知，可设圆M的圆心坐标为（a，0），a＞－2，半径为r，得

解得满足条件的一组解为

所以圆M的方程为（x＋1）2＋y2＝4.故选B.

答案　

（1）C　

（2）B

探究提高　求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法，在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用.

[微题型2]　圆的切线问题

【例1－2】

（1）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为（　　）

A.πB.π

C.（6－2）πD.π

（2）若⊙O：

x2＋y2＝5与⊙O1：

（x－m）2＋y2＝20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________.

解析　

（1）由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小（D为切点），只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，当OC所在直线与l垂直时，|OD|最小（D为切点），即圆C的直径最小，则|OD|＝＝，所以圆的半径为，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝π.

（2）依题意得△OO1A是直角三角形，∴|OO1|＝＝5，

S△OO1A＝·

·

|OO1|＝·

|OA|·

|AO1|，

因此|AB|＝＝＝4.

答案　

（1）A　

（2）4

探究提高　

（1）直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.

（2）过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理.

[微题型3]　直线与圆的位置关系

【例1－3】已知过原点的动直线l与圆C1：

x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.

（1）求圆C1的圆心坐标；

（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

（3）是否存在实数k，使得直线L：

y＝k（x－4）与曲线C只有一个交点？

若存在，求出k的取值范围；

若不存在，说明理由.

解　

（1）由x2＋y2－6x＋5＝0，得（x－3）2＋y2＝4，

所以圆C1的圆心坐标为（3，0）.

（2）设线段AB的中点M的坐标点（x，y），

①当线段AB不在x轴上时，有C1M⊥AB，

则kC1M·

kAB＝－1，即·

＝－1，

整理得＋y2＝，

又当直线l与圆C1相切时，易求得切点的横坐标为.

所以此时M的轨迹C的方程为＋y2＝.

②当线段AB在x轴上时，点M的坐标为（3，0），也满足式子＋y2＝.

综上，线段AB的中点M的轨迹C的方程为＋y2＝.

（3）由

（2）知点M的轨迹是以C为圆心，r＝为半径的部分圆弧EF（如图所示，不包括两端点），

且E，F.

又直线L：

y＝k（x－4）过定点D（4，0），当直线L与圆C相切时，由＝，得k＝±

，

又kDE＝－kDF＝－＝－，

结合如图可知当k∈∪时，直线L：

y＝k（x－4）与曲线C只有一个交点.

探究提高　此类题易失分点有两处：

一是不会适时分类讨论，遇到直线问题，想用其斜率，定要注意斜率是否存在；

二是数形结合求参数的取值范围时，定要注意“草图不草”，如本题，画成轨迹C时，若把端点E，F画出实心点，借形解题时求出的斜率就会出错.

【训练1】（2016·

江苏卷）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：

x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A（2，4）.

（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；

（3）设点T（t，0）满足：

存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围.

解　

（1）圆M的方程化为标准形式为（x－6）2＋（y－7）2＝25，圆心M（6，7），半径r＝5，

由题意，设圆N的方程为（x－6）2＋（y－b）2＝b2（b＞0）.

且＝b＋5.

解得b＝1，∴圆N的标准方程为（x－6）2＋（y－1）2＝1.

（2）∵kOA＝2，∴可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.

又BC＝OA＝＝2.

由题意，圆M的圆心M（6，7）到直线l的距离为d＝＝＝2.

即＝2，解得m＝5或m＝－15.

∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.

（3）由＋＝，则四边形AQPT为平行四边形，

又∵P、Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10.

∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10，

解得2－2≤t≤2＋2.

故所求t的范围为[2－2，2＋2].

热点二　圆锥曲线的定义、方程、性质的应用

[微题型1]　定义与标准方程的应用

【例2－1】

（1）（2015·

浙江卷）如图，

设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（　　）

A.　　　B.

C.　　　D.

（2）已知双曲线C1：

－＝1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，若抛物线C2：

x2＝2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（　　）

A.x2＝yB.x2＝y

C.x2＝8yD.x2＝16y

解析　

（1）由图形知＝＝，由抛物线的性质知|BF|＝xB＋1，|AF|＝xA＋1，∴xB＝|BF|－1，xA＝|AF|－1，∴＝.故选A.

（2）∵2c＝4a，∴c＝2a，又a2＋b2＝c2，∴b＝a，∴渐近线y＝±

x，抛物线焦点，d＝＝2，∴p＝8，∴抛物线方程为x2＝16y.

答案　

（1）A　

（2）D

探究提高　

（1）准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式.

（2）求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定.

[微题型2]　几何性质与标准方程的应用

【例2－2】

（1）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）短轴的两个端点为A，B，点C为椭圆上异于A，B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为－，则椭圆的离心率为（　　）

A.B.

（2）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：

0）的渐近线与抛物线C2：

x2＝2py（p＞0）交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________.

解析　

（1）设C（x0，y0），则＋＝1，

故x＝a2＝，

所以kAC·

kBC＝·

＝＝－＝－.

故a2＝4b2，所以e＝＝＝.（也可使用特殊点法）

（2）由题意，不妨设直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x.

由得x2＝2p·

x，

∴x＝，y＝，

∴A.

设抛物线C2的焦点为F，则F，

∴kAF＝.

∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，

∴kAF·

kOB＝－1，

∴·

＝－1，∴＝.

设C1的离心率为e，

则e2＝＝＝1＋＝.

∴e＝.

答案　

（1）A　

（2）

探究提高　解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等.

【训练2】

（1）（2016·

全国Ⅲ卷）已知O为坐标原点，F是椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）

（2）（2016·

北京卷）双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.

解析　

（1）设M（－c，m），则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.

（2）

取B为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝2，

又∠AOB＝，

∴＝tan＝1，即a＝b.

又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.

答案　

（1）A　

（2）2

1.确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：

（1）直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形（半弦长，弦心距，圆半径）；

（2）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

（3）圆心在任一弦的中垂线上；

（4）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；

（5）圆的对称性：

圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称.

2.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A，B是不等的常数，A＞B＞0时，表示焦点在y轴上的椭圆；

B＞A＞0时，表示焦点在x轴上的椭圆；

AB＜0时表示双曲线.

3.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.

4.在椭圆焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝α，

则S△PF1F2＝c|y0|＝b2·

tan.

5.求双曲线、椭圆的离心率的方法：

方法一：

直接求出a，c，计算e＝；

方法二：

根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求.

6.通径：

过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为，过椭圆焦点的弦中通径最短；

抛物线通径长是2p，过抛物线焦点的弦中通径最短.椭圆上点到焦点的最长距离为a＋c，最短距离为a－c.

一、选择题

1.已知圆C1：

（x－2）2＋（y－3）2＝1，圆C2：

（x－3）2＋（y－4）2＝9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为（　　）

A.5－4B.5－4

C.5－3D.5－3

解析　由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1′（2，－3），则（|PC1|＋|PC2|）min＝|C1′C2|＝5.所以（|PM|＋|PN|）min＝5－4.

2.（2016·

浙江卷）已知椭圆C1：

＋y2＝1（m＞1）与双曲线C2：

－y2＝1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（　　）

A.m＞n且e1e2＞1B.m＞n且e1e2＜1

C.m＜n且e1e2＞1D.m＜n且e1e2＜1

解析　由题意可得：

m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，

又∵m＞0，n＞0，故m＞n.

又∵e·

e＝·

＝·

＝＝1＋＞1，∴e1·

e2＞1.

3.（2013·

全国Ⅰ卷）已知椭圆E：

＋＝1（a>

b>

0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为（1，－1），则E的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

解析　因为直线AB过点F（3，0）和点（1，－1），所以直线AB的方程为y＝（x－3），代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，选D.

答案　D

四川卷）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p>

0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（　　）

C.D.1

解析　如图，由题可知F，设P点坐标为，显然，当y0<

0时，kOM<

0；

y0>

0时，kOM>

0，要求kOM最大值，不妨设y0>

0.则＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝，kOM＝＝≤＝，当且仅当y＝2p2等号成立.故选C.

答案　C

5.（2015·

福建）已知椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：

3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）

解析　

左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.

∵|AF|＋|BF|＝4，

∴|AF|＋|AF0|＝4，

∴a＝2.

设M（0，b），则≥，∴1≤b＜2.

离心率e＝＝＝＝∈，故选A.

二、填空题

6.（2016·

全国Ⅲ卷）已知直线l：

mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝________.

解析　设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2，AB＝2，所以OM＝3，解得m＝－，由解得A（－3，），B（0，2），则AC的直线方程为y－＝－（x＋3），BD的直线方程为y－2＝－x，令y＝0，解得C（－2，0），D（2，0），所以|CD|＝4.

答案　4

7.（2016·

江西七校第二次联考）过双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，直线EF交双曲线右支于点P，若＝（＋），则双曲线的离心率是________.

解析　如图，∵＝（＋），∴E为FP的中点，

又O为FF′的中点，∴OE为△PFF′的中位线，

∴OE∥PF′，|OE|＝|PF′|，

∵OE＝a，∴|PF′|＝a，

∵PF切圆O于E，∴OE⊥PF，∴PF′⊥PF，

∵|FF′|＝2c，|PF|－|PF′|＝2a，

∴|PF|＝2a＋a＝3a，∴由勾股定理得a2＋9a2＝4c2，

∴10a2＝4c2，∴e＝＝.

答案　

8.（2016·

深圳第二次调研）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于________.

解析　由题意知直线AB的方程为y＝x－，

垂直线平分线方程为y＝－x＋2，

联立上面两直线方程得y＝1－，x＝1＋，

即AB的中点坐标为，

设A，B，则＝，

∴1－＝p，∴p＝.

三、解答题

9.（2015·

全国Ⅰ卷）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：

（x－2）2＋（y－3）2＝1交于M，N两点.

（1）求k的取值范围；

（2）若·

＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

解　

（1）由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，

因为l与C交于两点，所以<

1.

解得<

k<

所以k的取值范围为.

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）.

将y＝kx＋1代入方程（x－2）2＋（y－3）2＝1，整理得

（1＋k2）x2－4（1＋k）x＋7＝0.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

＝x1x2＋y1y2

＝（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1＝＋8.

由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.

故圆心C在l上，所以|MN|＝2.

10.（2014·

全国Ⅱ卷）设F1，F2分别是椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.

解　

（1）根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.

将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2（舍去）.故C的离心率为.

（2）由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①

由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.

设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则

即

代入C的方程，得＋＝1.②

将①及c＝代入②得＋＝1.

解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.

11.已知椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c.

（1）求椭圆E的离心率；

（2）如图，AB是圆M：

（x＋2）2＋（y－1）2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程.

解　

（1）过点（c，0），（0，b）的直线方程为bx＋cy－bc＝0，

则原点O到该直线的距离d＝＝，

由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.

（2）法一　由

（1）知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①

依题意，圆心M（－2，1）是线段AB的中点，且|AB|＝.

易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k（x＋2）＋1，代入①得（1＋4k2）x2＋8k（2k＋1）x＋4（2k＋1）2－4b2＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，

x1x2＝，

由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝，

从而x1x2＝8－2b2.

于是|AB|＝|x1－x2|

＝＝，

由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，

故椭圆E的方程为＋＝1.

法二　由

（1）知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2，②

依题意，点A，B关于圆心M（－2，1）对称，且|AB|＝，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，

得－4（x1－x2）＋8（y1－y2）＝0，

易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，

所以AB的斜率kAB＝＝，

因此直线AB的方程为y＝（x＋2）＋1，

代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，

所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2，

于是|AB|＝|x1－x2|

＝＝.

第2讲　直线与圆锥曲线的位置关系

高考定位　直线与圆锥曲线的位置关系一直是命题的热点，尤其是有关弦的问题以及存在性问题，计算量偏大，属于难点，要加强这方面的专题训练.

（2016·

全国Ⅲ卷）已知抛物线C：

y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.

（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：

AR∥FQ；

（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

解　由题设F，

设l1：

y＝a，l2：

y＝b，则ab≠0，

且A，B，P，Q，

R.

记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－（a＋b）y＋ab＝0.

（1）证明　由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.

记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝＝＝＝－＝－b＝k2.所以A