九年级数学下册第3章圆33垂径定理同步测试新版北师大版Word文档格式.docx

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6．在平面直角坐标系中，O为原点，⊙O的半径为7，直线y=mx﹣3m+4交⊙O于A、B两点，则线段AB的最小值为　　．

7．如图，点P在半径为3的⊙O内，OP=，点A为⊙O上一动点，弦AB过点P，则AB最长为　　，AB最短为　　．

8．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD=　　cm．

9．已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面积为9π，求AB的长．

10．已知：

如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．

求证：

AE=BF．

◆能力题

1．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（　　）

A．2cmB．4cmC．cmD．cm

2．据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m，河面宽AB为24m，则桥高CD为（　　）

A．15mB．17mC．18mD．20m

3．如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是（　　）

A．6cmB．10cmC．8cmD．20cm

4．如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB=30°

，DE=6cm，CE=2cm，则弦AB的长为　　．

5．如图，∠C=90°

，⊙C与AB相交于点D，AC=5，CB=12，则AD=　　．

6．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=4，CD=1，则EC的长为　　．

7．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．

（1）求AB的长；

（2）求⊙O的半径．

8．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如下图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱项距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时，高度为5m的船是否能通过该桥？

请说明理由．

◆提升题

1．如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°

，则AB的长为（　　）

A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm

2．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）

A．4B．C．D．

3．如图，在5×

5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是　　．

4．如图，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．如果MN=2.5，那么BC=　　．

5．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．

（1）求证：

AD=AN；

（2）若AB=8，ON=1，求⊙O的半径．

6．如图，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P从点B开始沿BA边向点A以1cm/s的速度移动，若AB长为10cm，点O到AC的距离为4cm．

（1）求弦AC的长；

（2）问经过几秒后，△APC是等腰三角形．

答案和解析

1．【解答】C

解：

连接OA，设CD=x，∵OA=OC=5，∴OD=5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：

AB=4，由勾股定理可知：

52=42+（5﹣x）2∴x=2，∴CD=2．

2．A．10cmB．14cmC．15cmD．16cm

【解答】D

连接OC，设OE=3x，EB=2x，∴OB=OC=5x，∵AB=20,∴10x=20,∴x=2，∴由勾股定理可知：

CE=4x=8，∴CD=2CE=16．

3．【解答】C

如图，AE=AB=×

24=12，CF=CD=×

10=5，OE==5，OF=12，

①当两弦在圆心同侧时，距离=OF﹣OE=12﹣5=7；

②当两弦在圆心异侧时，距离=OE+OF=12+5=17．

所以距离为7或17．

4．【解答】D

连接OA．设圆的半径是x尺，在直角△OAE中，OA=x，OE=x﹣1，∵OA2=OE2+AE2，

则x2=（x﹣1）2+25，解得：

x=13．则CD=2×

13=26（cm）．

5．【解答】3≤OP≤5

如图：

连接OA，作OM⊥AB与M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OP的最大值为5，∵OM⊥AB与M，∴AM=BM，∵AB=8，∴AM=4，在Rt△AOM中，OM=3，OM的长即为OP的最小值，∴3≤OP≤5．

6．【解答】

∵直线y=mx﹣3m+4必过点D（3，4），∴最短的弦AB是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5，∵⊙O的半径为7，∴C（7，0），∴OA=OC=7，∴AD=2,∴AB的长的最小值为．

7．【解答】6，2

AB为过P点的直径时，则AB最长为6，当OP⊥AB时，AB为过P点的最短弦，

∵OP⊥AB，在Rt△APO中，AP=PB=AB=，∴AB=2．

8．【解答】3

∵OD⊥AC于点D，∴AD=CD，又∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=BC，∵BC=6cm，∴OD=3cm．

9．解：

环形的面积为9π，根据圆的面积公式可得：

π×

OA2﹣π×

OM2=9π，解得OA2﹣OM2=9，再根据勾股定理可知：

9就是AM的平方，所以AM=3，AB=6．

10．证明：

如图，过点O作OM⊥AB于点M，则AM=BM．又∵OE=OF，∴EM=FM，∴AE=BF．

1．【解答】B

如图所示，连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB于点E，

∵折叠后恰好经过圆心，∴OE=DE，∵⊙O的半径为4，∴OE=OD=×

4=2，∵OD⊥AB，∴AE=AB，在Rt△AOE中，AE=2．∴AB=2AE=4．

2．A．15mB．17mC．18mD．20m

【解答】C

连结OA，如图，∵CD⊥AB，∴AD=BD=AB=×

24=12，在Rt△OAD中，OA=5，OD=5，∴CD=OC+CD=13+5=18（m）．

3．A．6cmB．10cmC．8cmD．20cm

【解答】B

过点O作OE⊥AB于点E，连接OC，∵弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm,∴OE=6cm，AE=AB=8cm，在Rt△AOE中，根据勾股定理得，OA=10cm．

4．【解答】2cm

作OM⊥AB于点M，连接OA，圆半径OA=（DE+EC）=4cmOE=DE﹣OD=2cm，在直角△OEM中，∠CEB=30°

，则OM=OE=1cm，在直角△OAM中，根据勾股定理：

AM=（cm），∴AB=2AM=2cm．

5．【解答】

过点C作CE⊥AB，垂足为E，∵∠C=90°

，AC=5，CB=12，∴由勾股定理，得AB=13，∵5×

12=13•CE，∴CE=，∴由勾股定理，得AE=，∴由垂径定理得AD=．

连接BE，∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=2，∴AC=BC=2，设OA=x，∵CD=1，∴OC=x﹣1，在Rt△AOC中，AC2+OC2=OA2，∴22+（x﹣1）2=x2，解得：

x=，∴OA=OE=，OC=，∴BE=2OC=3，∵AE是直径，∴∠B=90°

，∴CE=．

7．解：

（1）∵CD⊥AB，AO⊥BC，∴∠AFO=∠CEO=90°

，在△AOF和△COE中，

，∴△AOF≌△COE，∴CE=AF，∵CE=2，∴AF=2，∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴，∴AB=4．

（2）∵AO是⊙O的半径，AO⊥BC，∴CE=BE=2，∵AB=4，∴，∵∠AEB=90°

，∴∠A=30°

，又∵∠AFO=90°

，∴cosA===，∴，即⊙O的半径是．

8．解：

不能通过．

设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18，R2=302+（R﹣18）2，R2=900+R2﹣36R+324，解得R=34m，连接OM，在Rt△MOE中，ME=16，OE2=OM2﹣ME2即OE2=342﹣162=900，∴OE=30，∴DE=34﹣30=4，∴不能通过．

延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，设AB的长为xcm，∵∠A=∠B=60°

，∴∠ADB=60°

；

∴△ADB为等边三角形；

∴BD=AD=AB=x；

∵OA=4cm，BC=10cm，∴BE=5cm，DE=（x﹣5）cm，OD=（x﹣4）cm，又∵∠ADB=60°

，∴DE=OD，∴x﹣5=（x﹣4），解得：

x=6．

2．【解答】B

作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×

4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=1，∴PD=PE=，∴a=3+．

3．【解答】

（﹣1，1）

如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，即圆心的坐标是（﹣1，1）．

4．【解答】5

∵AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，∴N、M分别为AC、AB的中点，即MN为△ABC的中位线，∵MN=2.5，∴BC=2MN=5．

（1）证明：

∵CD⊥AB，∴∠CEB=90°

，∴∠C+∠B=90°

，同理∠C+∠CNM=90°

，∴∠CNM=∠B，∵∠CNM=∠AND，∴∠AND=∠B，∵，∴∠D=∠B，∴∠AND=∠D，∴AN=AD；

（2）解：

设OE的长为x，连接OA，∵AN=AD，CD⊥AB，∴DE=NE=x+1，∴OD=OE+ED=x+x+1=2x+1，∴OA=OD=2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2=OA2，∴x2+42=（2x+1）2．解得x=或x=﹣3（不合题意，舍去），∴OA=2x+1=2×

+1=，即⊙O的半径为．

6．解：

（1）过O作OD⊥AC于D，易知AO=5，OD=4，从而AD=3，∴AC=2AD=6；

（2）设经过t秒△APC是等腰三角形，则AP=10﹣t，

①若AC=PC，过点C作CH⊥AB于H，∵∠A=∠A，∠AHC=∠ODA=90°

，∴△AHC∽△ADO，∴AC：

AH=OA：

AD，即AC：

=5：

3，解得t=s，∴经过s后△APC是等腰三角形；

②若AP=AC，由PB=x，AB=10，得到AP=10﹣x，又∵AC=6，则10﹣t=6，解得t=4s，∴经过4s后△APC是等腰三角形；

③若AP=CP，P与O重合，则AP=BP=5，∴经过5s后△APC是等腰三角形．

综上可知当t=4或5或s时，△APC是等腰三角形．