功和能习题解答文档格式.docx

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地球

选择题 

3 

图

A

C.LB 

D.LB 

C。

由角动量守恒，得 

vB 

vA，故 

EkA。

4. 

对功的概念有以下几种说法：

（1） 

保守力作正功时，系统内相应的势能增加．

（2） 

质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零．

（3） 

作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零．

在上述说法中：

（1）、

（2）是正确的；

B. 

（2）、（3）是正确的；

只有

（2）是正确的；

D. 

只有（3）是正确的．

5. 

如图所示，足够长的木条 

置于光滑水平面上，另一木块 

在 

的粗糙

平面上滑动，则 

A、B 

组成的系统的总动能：

A.不变

B.增加到一定值

C.减少到零

5 

D.减小到一定值后不变

D。

的粗糙平面上滑动，摩擦力最终使 

相对于 

静止下来，

根据质点系的动能原理，它做的功使系统的总动能减少。

当 

不动时，

摩擦力就不再做功，系统的总动能也就不再变化。

6. 

人造卫星绕地球作圆周运动，由于受到稀薄空气的摩擦阻力，人造卫星

的速度和轨道半径的变化趋势应为：

A.速度减小，半径增大B.速度减小，半径减小

C.速度增大，半径增大D.速度增大，半径减小

系统机械能 

E 

GMm

2r

系统的机械能将减少。

因此 

r 

将减小。

，由于阻力做负功，根据功能原理可知

再根据圆周运动方程为

mv 

2 

GMm 

GM

， 

v 

=

2

r

，因此速度将增大。

7. 

一条长为 

L 

米的均质细链条，如图所示，一半平直放在光滑的桌面上，

另一半沿桌边自由下垂，开始时是静止的，当此链条末端滑到桌边时（桌高大于

链条的长度），其速率应为：

A． 

gLB． 

gL

C． 

3gLD．

1

3gL

运动过程中机械能守恒，则以桌面为零

势能点，初始时机械能为 

-

8

mgL 

，其中 

m 

为链条的质

11

量；

链条末端滑到桌边时机械能为mv 

-mgL 

两

22

7 

者相等，得：

8． 

一竖直悬挂的轻弹簧下系一小球，平衡时弹簧伸长量为d．现用手将小

球托住，使弹簧不伸长，然后将其释放，不计一切摩擦，则弹簧的最大伸长量：

A．dB.d/2；

C. 

2d；

D.条件不足无法判定．

设弹簧的最大伸长量为 

x，由机械能守恒，有

mgx 

kx 

由：

mg 

kd

所以有：

x 

2d

二 

填空题

质量m＝1 

kg 

的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x 

轴运动，

其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为F 

＝3＋2x 

（SI），那么，物体在开

始运动的3 

内，合力所作的功W 

＝________________；

且x＝3 

时，其速率 

v

＝________________________．

18 

J 

；

6 

ms–1

合力所作的功为：

W 

⎰3 

Fdx 

（3 

+ 

x）dx 

18J

00

由动能定理

1 

⋅ 

s 

-1

一颗速率为700 

ms–1的子弹，打穿一块木板后，速率降到500 

ms–1。

如果让它继续穿过厚度和阻力均与第一块完全相同的第二块木板，则子弹的速率

将降到______________________________．（空气阻力忽略不计）

答案是100 

由动能定理，木板对子弹所作的功为：

21

设子弹穿透第二块木板的速率为 

v，有：

所以

=2v 

100m 

将一劲度系数为 

k 

的轻弹簧竖直放置，下端悬一质量为 

的小球，开始

时使弹簧为原长而小球恰好与桌面接触，今将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚

能脱离桌面为止，在此过程中外力作功为。

答案是

g 

2k

质量分别为 

m’的两个粒子开始处于静止状态，且彼此相距无限远，

在以后任一时刻，当它们相距为 

d 

时，则该时刻彼此接近的相对速率

为。

答案是2G（m 

m'

）

d

设质量为 

m′ 

的两个粒子当它们相距为 

时的速率分别为

v1 

v2，显然速度的方向相反。

在它们运动过程中只受到相互间的万有引力作用，

因此系统的机械能和动量均守恒。

根据题意，相距无限远时系统的总能量为零。

因此有

11Gmm'

+m 

-= 

12

从以上两式解出v 

因此两个粒子彼此接近的相对速率为

2Gm'

（m 

mm 

m 

2Gm'

+v 

=v 

==

1211

如图所示，一质量为 

的物体位于质量可以忽略的直立

2G（m 

y

m

弹簧上方高度为 

h 

处，该物体从静止开始落向弹簧，设弹

簧的劲度系数为 

k，若不考虑空气阻力，则物体可能获得

的最大动能为。

h

o

E

kmax

mgh 

+

填空题 

以弹簧的平衡位置为原点，选该点为重力势能零点，则物体初始

的机械能为 

mgh。

物体与弹簧接触后，弹簧被压缩，物体的机械能守恒：

mgy 

ky 

mgh

k

dEmg

由；

dyk

kmax 

逃逸速率大于真空中光速的天体称为黑洞，设黑洞的质量等于太阳的质

量，为×

1030kg，引力常数为 

G= 

×

10–11Nm2kg–1，真空光速 

c 

108 

ms–1，

则按经典理论该黑洞可能的最大半径为m。

答案是×

103m

由第二宇宙速度公式，物体要脱离太阳引力所需的速度为：

=2Gm

0 

为太阳的质量。

令 

等于光速 

c，得到

R 

2Gm 

/ 

2.96 

⨯ 

10 

一质量为 

2kg 

的物体与另一原来静止的物体发生弹性碰撞后仍沿原方向

继续运动，但速率仅为原来的四分之一，则被碰撞物体的质量为。

1.2 

kg

由弹性碰撞的速度公式：

（m1 

m2 

）v10 

2m2 

20

3

三 

计算题

如图，一质点在平面内作圆周运动，有一力 

（ 

xi 

yj） 

作用在质点

上。

在该质点从坐标原点（0，0）运动到 

（2R，0）位置过程中，求此力对质点所

作的功。

解 

根据式（4.1.4），有

W

ab

⎰b（F 

dx 

dy） 

⎰2R 

xdx 

⎰0 

ydy 

x 

y 

2R

2F 

R

O

2R 

x

计算题 

用铁锤把钉子水平敲入木板，设钉子受到的阻力与钉子打入的深度成正

比。

第一次打击，能把钉子打入木板1cm，如第二次打击时，保持第一次打击钉

子时的速度，求第二次钉子打入的深度。

阻力与深度成正比，有 

kx，两次敲击钉子的条件相同，钉子获得

的动能也相同，所以阻力对钉子作的功相同：

0.010.01+∆x

00.01

得：

∆x 

0.0041m 

0.41cm

质量为 

2×

103kg 

的子弹以 

500 

ms–1 

的速率水平飞出，射入质量为 

1kg

的静止在水平面上的木块，子弹从木块穿出后的速率为100 

ms–1，而木块向前

滑行了 

0.2m。

求：

（1）木块与平面间的滑动摩擦因数；

（2）子弹动能和动量的减少量。

得木块在子弹穿出后的速率为

m（v 

v）2 

-3 

（500 

100）

V 

=== 

0.8 

-1 

m1

由动能原理，木块与平面间的滑动摩擦力作的功等于木块损失的动能，即

-μ 

gx 

∆E

f0

km0 

m0V 

得μ 

（2）子弹动能减少

0.64

0.163

2gx 

9.8 

0.2

km 

子弹动量减少

以线密度的细线弯成半径为 

的圆环，将一质量为 

m0 

的质点放在环

中心点时，求圆环和质点的引力势能。

解将圆环分成无限多个线元，在圆环上任取一个线元，长 

dl，则其质量

为

dm 

λ 

l 

Rdθ

线元 

和质点 

之间的引力势能为

dE 

p

Gm 

dm

-Gm 

λdθ

圆环和质点 

⎰ 

⎰2π 

λdθ 

-2πGm 

λ

pp00

如圆环的质量为 

m，则可写作

力，使其轨道半径收缩到 

R2。

设地球质量为 

mE，试计算：

）卫星动能、势能和

Gm0 

p0

一颗质量为 

的人造地球卫星，沿半径为 

R1 

圆形轨道运动，由于微小阻

（1

机械能的变化；

（2）引力作的功；

（3）阻力作的功。

（1）卫星所受的地球引力提供其作圆周运动的向心力，则

Gmm

mv2

由此得卫星的动能为

mv2 

动能的变化为

∆E 

势能的变化为

（- 

GmmE 

） 

（-

-（

上式表明：

-2∆E 

pk

机械能的变化

-∆E 

kpk

（2）引力是保守内力，它作的功等于势能的减少，即

2∆E 

Gpk

（3）根据系统的功能原理，阻力作的功等于系统机械能的变化，即

我们可以看到，在这个过程中空气阻力作负功，地球引力作正功，且其值为

阻力所作负功的绝对值的两倍。

尽管系统机械能减少，但是卫星的动能增加了。

弹簧原长等于光滑圆环半径R．当弹簧下端悬挂质量

为m 

的小环状重物时，弹簧的伸长也为R．现将弹簧一端系

于竖直放置的圆环上顶点A，将重物套在圆环的B 

点，AB 

长

为 

，如图所示．放手后重物由静止沿圆环滑动．求当重物

滑到最低点C 

时，重物的加速度和对圆环压力的大小．

重物沿圆环滑动过程中，只有重力和弹力做功，所以机械能守恒，如图

所示，有：

111

k∆l 

mg 

（2R 

1.6R 

cosθ 

=k∆l2 

+mv 

BCC

其中 

∆l 

0.6R 

∆l= 

BC

由题意可知：

kR 

，即 

v 

gR

C

重物在圆环 

C 

处所受的力为重力、弹力 

和环的支持力 

N，

都沿着竖直方向，所以重物在 

点的加速度为：

a 

=C

由牛顿第二定律有：

N 

0.8mg

劲度系数为 

360 

Nm–1 

的弹簧，右端系一质量为

0.25kg 

的物体 

A，左端固定于墙上，置于光滑水平台面上，

物体 

右方放一质量为 

0.15kg 

B，将 

和弹簧

一同压缩 

0.2m，然后除去外力，求：

刚脱离时 

的速度；

脱

离后，A 

继续向右运动的最大距离。

AB 

一起运动，机械能守恒，当两物体运动到弹簧原长位置时，

两物体将要分离，此时两物体的速度 

满足

6.0 

s-1

向右运动的最大距离 

x2 

11m

8. 

如图所示，两根绳上分别挂有质量相等的两个小球，两球碰撞时的恢复

系数 

e 

球 

由如图所示的静止状态释放，撞击球 

B，刚好使球 

到达绳成水

平的位置，试证明球 

释放前的张角应满足 

cos= 

9。

证：

设球到达最低点速率为 

v，则有

2l 

（1 

得到

4 

gl 

cos 

θ 

2l

4

设碰撞后两球速率为 

vA 

、vB，则有

=BA 

0.5

BA

由动量守恒

mvB 

+mvA 

mv

由以上两式联立解得

在碰撞后的运动中机械能守恒

mgl

即

19

⨯⨯ 

4gl（1 

216

解得

l

8 

9

9. 

的钢球，系在一长为 

的绳一端，绳另一端固定，

现将球由水平位置静止下摆，当球到达最低点时与质量为 

m0，静止于水平面上的

钢块发生弹性碰撞，求碰撞后 

的速率。

球下摆过程中机械能守恒mgR= 

mv2/2

球速率

=2 

碰撞前后动量守恒，设碰撞后 

的速率分别

v2，所以

=mv1+ 

m0v2

因为发生弹性碰撞，所以碰撞中动能是守恒的

9 

联之解得v 

=2mv

2m

2gR

10. 

的运动粒子与一质量为 

的静止靶粒子作弹性对心碰撞，

求靶粒子获得最大动能时的 

值。

根据动量守恒mv 

kmv

01

（1）

由

（1）式得到 

v1= 

v0kv2，代入

（2）式

12v

靶粒动能E 

=km（0 

dE

dk

则有当 

k=1 

时，Ek最大。