动量和动量守恒定律解题技巧Word文件下载.docx

动量和动量守恒定律解题技巧Word文件下载.docx

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将v代入上式，可求得滑块A作匀减速滑行时间为：

（3）研究滑块A、B整体．研究从力F作用开始直至A停住的全过程．此过程中物体系统始终受到力F及摩擦力的冲量，根据动量定理，有

[F－μ（mA＋mB）g]（t＋t′）=mBvB

将t′代入上式，可求出滑块A刚停住时滑块B的速度为

上面例1、例2既可以用牛顿运动定律求解，也可以用功和能观点求解．此处用动量定理求解，使解题过程简化．通过对例题1、2分析，请读者体会前面所讲的几个方面应注意的问题．这里进一步说明的是，动量定理的研究对象可以是一个物体（质点），也可以是物体系统（质点组）．例1的研究对象是一个物体，例2则是以研究物体系统为主．不论研究对象是物体还是物体系统，研究对象的动量变化都是由研究对象所受外力的冲量产生的．因此正确确定研究对象，正确分析研究对象所受力的冲量及其动量的变化，是应用动量定理分析、解决问题的基础．

【例3】由高压水枪中竖直向上喷出的水柱，将一个质量为m的小铁盒开口向下倒顶在空中，如图5－5所示．已知水以恒定速率v0从横截面积为S的水枪中持续不变喷出，向上运动并冲击铁盒后，以不变的速率竖直返回，求稳定状态下铁盒距水枪口的高度h．

分析与解答　由水枪喷出的水作竖直上抛运动，当水柱上升到h高

单位时间内，由水枪喷出的水的质量为

Δm=ρv0S

水柱喷射到铁盒上时，由于速度v减小，水柱与铁盒接触面积S′＞S．由于水柱持续喷出，有Sv0=S′v，所以单位时间内喷

射到铁盒上水的质量保持Δm=ρv0S不变．

取质量为Δm的水为研究对象，研究Δm与铁盒相互作用的过程．由于Δm水中每一水滴与铁盒作用时间极短，可忽略作用过程中每一水滴所受重力影响．取向上为正方向，根据动量定理，有：

f′Δt=－2ρv0Sv

由于Δt=1秒，可得Δm的水受铁盒作用力为：

f′=－2ρv0Sv

铁盒所受Δm水的冲击力f=－f′=2ρv0Sv，处于稳定状态时，铁盒所受合外力为零，有2ρv0Sv=mg．

将v代入上式，解得：

<

/PGN0123.TXT/PGN>

对于较复杂的问题，不仅仅要应用到动量定理的知识，还要涉及到所学的其它物理知识．综合运用所学知识解决问题是这部分知识的较高要求．

（二）动量守恒定律

物体间发生相互作用的过程中，如果没有外力作用，那么相互作用物体的总动量保持不变，这就是动量守恒定律．动量守恒定律是宏观世界和微观世界都遵守的共同规律，应用非常广泛．动量守恒定律的适用条件是相互作用的物体系统不受外力，当然，世界上真正满足不受外力的情况几乎是不存在的，应用动量守恒定律的主要是如下三种情况：

①系统受到的合外力为零．②系统所受的外力比相互作用力（内力）小很多，以至可以忽略外力的影响，认为系统的总动量守恒．③系统总体上不满足动量守恒的条件，但在某一特定的方向上，系统不受外力，或所受的外力远小于内力，则系统沿这一方向的分动量守恒．碰撞是指两物体间的短暂作用，由于相互作用的时间极短，相互作用力很大，即使系统还受有摩擦、空气阻力等外力作用，也能满足相互作用的内力远大于外力的条件，因此各碰撞过程都可应用动量守恒定律求解．

【例4】有N个质量均为m的人，站在质量为M的平板车上，开始时人与车均静止于光滑水平地面上．若这N个人都从平板车的后端以相对平板车为u的水平速度从车上跳下，车向前方反冲前进．第一种情况是N个人同时跳车，第二种情况是N个人依次跳下，试求这两种情况中平板车最终行驶速度多大？

分析与解答　第一种情况中，设人跳车时车的速度为V，则人跳车时人相对地的速度

v=u－V

跳车过程中，人与车系统动量守恒，根据动量守恒定律，有MV－Nmv=0

第二种情况中，N个人依次跳车，第一个人跳车过程有[M＋（N－1）m]V1－mv1=0

v1=u－V1．

由上面两式解出第一个人跳车后，车的反冲速度为V1=mu/（M＋Nm）

第二个人跳车过程有：

[M＋（N－2）m]V2－mv2=[M＋（N－1）m]V1

v2=u－V2

依次分析每个人跳车过程，可得：

将上面各结果相加，可得第二种情况中平板车最终的反冲速度为：

由例4的分析可以看出，应用动量守恒定律解题时，各物体初、末速度都应是相对地面的．若题目中给出物体间相对速度，最好单独列出相对速度关系式，而在动量守恒定律中应列出对地的速度，避免由于速度关系引起混乱而出错误．

对类似例4这种有多次相互作用的物理过程，要注意分析每一过程的特点及规律，还要找出前后过程之间的联系，才能对整个物理过程有全面掌握．

根据对第二种情况的分析，读者可以进一步体会、类比质量连续变化的火箭发射问题．由例4的结果对比可知V＜VN，读者可以由此结果体会在发射人造航天器时，为什么要采用多级火箭依次点火加速，而不采用这些多级火箭发动机同时点火加速的方式．

【例5】人和冰车的总质量为M，另有一个质量为m的坚固木箱．开始时人坐在冰车上静止不动，某一时刻人将原来静止在冰面上的木箱以相对冰面的速度v0推向前方的固定弹性挡板，同时冰车反向滑动．木箱与挡板碰撞后又反向弹回．设碰撞挡板过程中木箱无机械能的损失，人接到木箱后再以同样相对于冰面的速度v0推向挡板……如此往复多次，试分析人推出木箱多少次后将不可能再接到木箱？

已知M∶m=31∶2，不计冰车及木箱与冰面之间的摩擦．

分析与解答　解法1：

取人、冰车及木箱系统为研究对象．不论是第一次推出木箱，还是以后每次接到木箱再将其推出的过程，系统的动量都是守恒的．根据动量守恒定律，有：

第一次推出木箱的过程

0=MV1－mv0

第二次推出木箱的过程

MV1＋mv0=MV2－mv0

第三次推出木箱的过程

MV2＋mv0=MV3－mv0

…　　　　　　　　…

第n次推出木箱的过程<

/PGN0125.TXT/PGN>

MVn-1＋mv0=MVn－mv0

将以上各式相加，得到：

（n－1）mv0=MVn－nmv0

即（2n－1）mv0=MVn

当Vn≥v0时，木箱追不上冰车，即人无法再接到木箱，此时2n－1=MVn/mv0≥M/m

取n=9时，即人推出木箱9次后将不会再接到木箱．

解法2：

取人、冰车及木箱为研究对象，考虑研究对象与挡板之间的作用．木箱每碰挡板一次，其动量变化2mv0，即得到2mv0的冲量作用．对于研究对象，木箱每碰挡板一次，系统动量将增加2mv0．

设人推出木箱n次后，冰车速度Vn≥v0，则此后人无法再接到木箱．研究人推出木箱n次的全过程，此过程中木箱共碰挡板（n－1）次，系统所受冲量为（n－1）2mv0，根据动量定理有：

2（n－1）mv0=（MVn－mv0）－0

可以导出　　　　　　　　　（2n－1）mv0=MVn

以下分析与解法1相同，故略去．

同是一个问题，解法1用动量守恒定律求解，解法2用动量定理求解，请读者体会其中的差异：

在解法1中，我们研究系统内物体之间相互作用过程，每次接到又推出木箱的过程中系统的动量是守恒的；

在解法2中，我们并不考虑物体系统内的相互作用，而是考虑系统所受外界物体（挡板）的作用（这恰好是解法1中所没有考虑的），考虑了研究对象与外界物体作用的全过程．由以上例题分析应该重点体会、理解应用物理规律分析问题的方法和思路．

【例6】一条质量为M，长为L的小船静止在平静的水面上，一个质量为m的人站立在船头．如果不计水对船运动的阻力，那么当人从船头走到船尾时，船的位移多大？

分析与解答　本题中人从船头走向船尾，不是匀速运动，但不管人的运动多么复杂，人与船组成的系统在水平方向上是满足动量守恒条件的（水对船的阻力不计）．开始时人与船都静止，总动量为零，人运动过程中，船向相反方向运动，最后人停止在船尾，船也静止在水中．

画出图5－6所示的示意图，人相对船的位移是L，但人对地的位移不是L．设船发<

/PGN0126.TXT/PGN>

生的位移是x，由图中可以看出人对地的位移是L－x．

设人运动过程中对地的速度（平均速度）是v，船对地的速度是V，根据动量守恒定律，有

mv＋MV=0

两边同乘以运动时间t，得

mvt＋MVt=0

由于　　　　　　　　　　　　　　Vt=x，vt=L－x

即　　　　　　　　　　　　　　　　m（L－x）＋Mx=0

其中负号是表示方向的．

说明　本题主要想说明应用动量守恒定律解题时参照物必须明确和统一，一般情况下，都以地面为参照物，各物体的始末速度都是对地的，如果忽略了这一点，不作如图5－6所示的分析，是解决不了这个问题的．

【例7】一列火车在水平直铁轨上做匀速运动，总质量为M，速度为v，某时刻车后部有质量为m的一节车厢脱钩，司机并未发觉，又继续行驶了一般距离，这期间机车的牵引力保持不变，并且火车各部分所受的阻力跟运动速度无关．当司机发现时，后面脱钩的车厢的速度已减

分析与解答　火车原在铁轨上做匀速直线运动，说明它受力平衡，即牵引力与所受阻力大小相等．一节车厢脱钩后，由于牵引力保持不变，前面部分将做加速运动，后面部分将做减速运动，如果两部分分开考虑，将很繁琐，而做为一个系统，仍满足“合外力为零”的条件，因此可以应用动量守恒定律求解．

设火车前面部分末速度为v′，根据动量守恒定律，有

说明：

选择本题是想说明动量守恒定律决不只限制在碰撞一类问题中应用，任何一个系统（包括像本题这样已经脱离接触、不再相互作用的系统），只要满足动量守恒的条件，总动量就守恒．

（三）碰撞

碰撞是两个物体在很短时间内发生相互作用的物理过程．不论是宏观物体间还是微观粒子间，碰撞现象是普遍存在的．由于碰撞的作用时间极短（例如两个钢<

/PGN0127.TXT/PGN>

球碰撞相互作用的时间约为10-4秒），物体间相互作用力又非常大，通常物体所受外力（如重力、摩擦力）在这段时间内的影响可以忽略不计．此过程中参与相互碰撞作用的物体系统的总动量守恒，这就是我们对碰撞现象的基本认识之一．

由于物体间作用力很大，而相互作用时间很短，碰撞时物体间相互作用力（通常称之为冲力）对物体作用效果的两个显著特点是使物体速度发生骤变而其位置变化极其微小以至我们认为其位置没有变化．这是我们对碰撞现象的另一基本认识．

根据碰撞前后物体系统能量变化特点，碰撞可以分为完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞和非弹性碰撞．在完全弹性碰撞中，系统动能在碰撞前后是不变的．而在完全非弹性碰撞和非弹性碰撞中，碰撞后系统总动能比碰撞前要减少，其中在完全非弹性碰撞中，系统损失的动能多于一般非弹性碰撞中系统损失的动能．

【例8】一个质量是M=0.5kg的斜面体A原静止在光滑的水平面上，一个质量m=40g的小球B以水平速度v0=30m/s撞到A的斜面上，碰撞时间很短，碰后变为竖直向上运动，求物体A碰后的速度．

分析与解答　B与A的碰撞时间很短，说明碰撞过程中相互作用力很大，但A与B组成的系统总动量并不守恒，因为A与桌面间有弹力作用，这个弹力（支持力）属于反应力，在B与A相互作用的短暂过程中，支持力要发生很大变化，它不满足“外力内力”的条件，但这个外力是沿竖直方向的，在水平方向上，由于水平面是光滑的，因此A与B组成的系统，在水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒．

设A碰后的速度为v，而B碰后的水平分速为0，根据动量守恒定律，有

0＋mv0=Mv＋0，

本题是为了说明应用动量守恒定律解决问题的一般思路，首先要把相互作用的物体组成一个系统，看这个系统是否满足动量守恒的条件，然后分析相互作用前、后两个状态各自的动量，再列方程求解．

【例9】质量为M的木块放在水平地面上，处于静止状态，木块与地面间摩擦系数为μ．一颗质量为m的子弹水平射入木块后，木块沿水平地面滑行了距离s后停住，如图5－8所示，试求：

/PGN0128.TXT/PGN>

（1）子弹射入木块前速度v0多大？

（2）若子弹射入木块的深度为d，子弹与木块之间相互作用力多大？

分析与解答　

（1）子弹射入木块的过程时间极短暂，子弹与木块相互作用力远远大于木板所受摩擦力，子弹与木块系统动量守恒，有mv0=（m＋M）v．

子弹射入木块后以共同速度v在水平地面上滑行了距离为s，研究

（2）子弹射入木块并停在其中，相互作用中系统动量守恒．由于相互作用过程中有摩擦力做功，系统动能减少．根据动量关系及动能关系，有

由以上两式解得子弹与木块之间的相互作用力为f=μM（M＋m）gs/md

【例10】一个固定在平板车上不动的人用力将质量为m的铅球水平推出．第一次平板车被固定在水平地面上不动，球落地时水平射程为s0．第二次将平板车放在光滑水平地面上，人同样用力将球水平推出，这两次人推球消耗的能量相同．若人与平板车的总质量为M，试求：

（1）第二次铅球落地时水平射程（相对于地面）多大？

（2）铅球落地时，人与铅球水平方向相距多远？

分析与解答　

（1）设人推铅球过程中做功消耗的能量为E，则第一

第二次推出铅球过程中，车、人与铅球系统动量守恒，且推球过程中根据能量守恒，有：

mv=MV

由此可知，第二次球的水平射程为：

此时人与球之间水平距离为：

/PGN0129.TXT/PGN>

上面例题中讨论的问题过程较复杂．而且不仅涉及到系统的动量，还同时涉及相互作用的物体系统的能量．对于类似的问题，首先要正确选择研究对象，正确将整个过程分几个阶段处理；

其次要分析每一阶段物体相互作用的特点，找出各阶段的关系．

通过上面例题分析还可以看到，不论是动量还是动能，都是对物体的机械运动状态的量度．在物体相互作用过程中，量度物体之间机械运动的“运动量”的转移和传递时，我们用动量及有关规律进行分析；

若讨论在相互作用过程中，物体机械运动的“运动量”与其它运动形式（如热运动）的转化问题，则要应用动能及有关功和能的关系加以分析．