北师大七年级下册数学第四章《三角形》全章复习与巩固基础Word文件下载.docx

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两点之间线段最短.

（2）三边关系的应用：

判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；

反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．

（3）证明线段之间的不等关系．

2.三角形的重要线段：

一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．

一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．

三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：

锐角三角形交点在三角形内；

直角三角形交点在直角顶点；

钝角三角形交点在三角形外.

要点四、全等三角形的性质与判定

1.全等三角形的性质

全等三角形对应边相等，对应角相等.

2.全等三角形的判定定理

全等三角形判定1——“边边边”：

三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.“

全等三角形判定2——“角边角”：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

全等三角形判定3——“角角边”：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

全等三角形判定4——“边角边”：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；

（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；

（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

要点五、用尺规作三角形

1.基本作图

利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等；

要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.

【典型例题】

类型一、三角形的内角和

1．在△ABC中，∠B＝20°

+∠A，∠C＝∠B－10°

，求∠A的度数.

【思路点拨】由三角形的内角和，建立方程解决.

【答案与解析】∵∠C＝∠B－10°

＝∠A+10°

，由三角形的内角和定理，

　　　　　得∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+20°

+∠A+10°

＝180°

，∴∠A＝50°

. 

【总结升华】本题根据三角形的内角和定理列出以∠A为未知数的方程，解方程即可求得∠A.建立方程求解，是本章求解角度数的常用方法.

举一反三

【变式】若∠C=50°

，∠B-∠A=10°

，那么∠A=________，∠B=_______

【答案】60°

，70°

.

类型二、三角形的三边关系及分类

2.一个若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.

【思路点拨】三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是│a-b│＜c＜a+b.

【答案与解析】三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是│2-7│＜c＜2+7,即5＜c＜9．

【总结升华】三角形任意两边之差小于第三边，若这两边之差是负数时需加绝对值．

【变式】

（2015•泉州）已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（　　）

　A．11B．5C．2D．1

【答案】B．

解：

根据三角形的三边关系，

6﹣4＜AC＜6+4，

即2＜AC＜10，

符合条件的只有5.

3.一个三角形的三个内角分别是75°

、30°

、75°

，这个三角形是（）

A锐角三角形B等腰三角形C等腰锐角三角形

【答案】C

【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形

A锐角B直角C钝角D无法判断

【解析】利用三角形内角和是180°

以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°

，所以三角形为钝角三角形.

类型三、三角形的重要线段

4.（2015•常德）如图，在△ABC中，∠B=40°

，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=　　．

【思路点拨】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得

∠DAC+

∠ACF=

（∠B+∠B+∠1+∠2）；

最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．

【答案】70°

【解析】

∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，

∴∠EAC=

∠DAC，∠ECA=

∠ACF；

又∵∠B=40°

（已知），∠B+∠1+∠2=180°

（三角形内角和定理），

∴

（∠B+∠2）+

（∠B+∠1）=

（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°

（外角定理），

∴∠AEC=180°

﹣（

∠ACF）=70°

故答案为：

70°

【总结升华】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键．

【变式】在△ABC中,∠B=60°

∠C=40°

AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线,则∠DAE的度数为_________. 

【答案】10°

类型四、全等三角形的性质和判定

5.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：

结论中不得含有未标识的字母）；

（2）证明：

DC⊥BE.

【思路点拨】△ABE与△ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明△ABE≌△ACD；

通过全等三角形的性质，通过倒角可证垂直.

【答案与解析】

（1）△ABE≌△ACD

　　证明：

∠BAC＝∠EAD＝90°

∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE

　　　　　即∠BAE＝∠CAD

　　　　　又

AB＝AC，AE＝AD，

△ABE≌△ACD（SAS）

（2）由

（1）得∠BEA＝∠CDA，

　　　　又

∠COE＝∠AOD

∠BEA＋∠COE＝∠CDA＋∠AOD＝90°

　　　　则有∠DCE＝180°

－90°

＝90°

，

　　　　所以DC⊥BE.

【总结升华】我们可以试着从变换的角度看待△ABE与△ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转90°

得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90°

，即DC⊥BE.

【变式】如图，已知：

AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：

BD＝CE.

【答案】

证明：

∵AE⊥AB，AD⊥AC，

∴∠EAB＝∠DAC＝90°

∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE，即∠DAB＝∠EAC.

在△DAB与△EAC中，

∴△DAB≌△EAC（ASA）

∴BD＝CE.

6.己知：

在ΔABC中，AD为中线.求证：

AD＜

延长AD至E，使DE＝AD，

∵AD为中线，

∴BD＝CD

在△ADC与△EDB中

∴△ADC≌△EDB（SAS）

∴AC＝BE

在△ABE中，AB＋BE＞AE，即AB＋AC＞2AD

∴AD＜

【总结升华】用倍长中线法可将线段AC，2AD，AB转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D旋转180°

【变式】若三角形的两边长分别为5和7,则第三边的中线长

的取值范围是（）

A.1＜

＜6B.5＜

＜7C.2＜

＜12D.无法确定

【答案】A；

提示：

倍长中线构造全等三角形，7－5＜

＜7＋5，所以选A选项.

类型五、全等三角形判定的实际应用　

7.如图，小叶和小丽两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案．

【答案与解析】本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，是一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，从而得知两家的距离．

在点B所在的河岸上取点C，连结BC，使CD=CB，利用测角仪器使得∠B=∠D，且A、C、E三点在同一直线上，测量出DE的长，就是AB的长．

在△ABC和△ECD中

∴△ABC≌△ECD（ASA）

∴AB=DE．

【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决．由已知易证△ABC≌△ECD，可得AB=DE，所以测得DE的长也就知道两家的距离是多少．

类型六、用尺规作三角形

8.（2016•蓝田县一模）如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）

【思路点拨】先作线段AC=b，再过点C作AC的垂线，接着以点A为圆心，a为半径画弧交此垂线于B，则△ABC为所求．

如图，

△ABC为所求作的直角三角形．

【总结升华】本题考查了作图﹣复杂作图：

复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

【变式】作图题：

（要求：

用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．）

已知：

线段a与线段b．

求作：

线段AB，使AB=2a﹣b．

如图所示：

作线段AB即为所求．

【巩固练习】

一.选择题

1．（2015•百色）下列图形中具有稳定性的是（　　）

　A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形

2.已知三角形两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）

A．13cmB．6cmC．5cmD．4cm

3.（2016•白云区校级二模）下列说法不正确的是（　　）

A．三角形的中线在三角形的内部

B．三角形的角平分线在三角形的内部

C．三角形的高在三角形的内部

D．三角形必有一高线在三角形的内部

4.在下列结论中,正确的是（）

A.全等三角形的高相等B.顶角相等的两个等腰三角形全等

C.一角对应相等的两个直角三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等

5.图中的尺规作图是作（　　）

A.线段的垂直平分线　　　　B.一条线段等于已知线段　　　

C.一个角等于已知角　　　D.角的平分线

6．如图，AC=AD，BC=BD，则有（　　）

A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分AB

C.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB

7.如图，△ABC中∠ACB＝90°

CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

8.若△ABC的∠A＝60°

，且∠B:

∠C＝2:

1，那么∠B的度数为（）

A．40°

B．80°

C．60°

D．120°

二.填空题

9.（2015•邵阳）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：

　　．

10.△ABC和△ADC中，下列三个论断：

①AB＝AD；

②∠BAC＝∠DAC；

③BC＝DC．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：

__________．

11.如图，在△ABC中，ED垂直平分BC，EB=3．则CE长为　　．

12.若三角形三个外角的度数比为2∶3∶4，则此三角形内角分别为________．

13.如右图，在△ABC中，∠C＝90°

，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB＝

，CD＝

，则△ADB的面积为______________．

14．在△ABC中，∠B=60°

，∠C=40°

，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE的度数为_________. 

15.如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.

16.如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10

，则ΔOMN的周长＝______

三.解答题

17.（2015•福州）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：

AC=AD．

18．作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）．

在下面的△ABC中，用尺规作出AB边上的高（不写作法，保留作图痕迹）

19.（2016春•甘肃校级月考）有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，施工队要知道A、B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离，你能说说其中的道理吗？

20．已知：

中，

，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF

并延长交AC于点E，

求证：

（1）△ABD≌△CFD；

（2）BE⊥AC．

1.【答案】A

2.【答案】B；

【解析】根据三角形的三边关系进行判定．

3.【答案】C；

【解析】解：

A、三角形的中线在三角形的内部正确，故本选项错误；

B、三角形的角平分线在三角形的内部正确，故本选项错误；

C、只有锐角三角形的三条高在三角形的内部，故本选项正确；

D、三角形必有一高线在三角形的内部正确，故本选项错误．

故选C．

4.【答案】D；

【解析】A项应为全等三角形对应边上的高相等；

B项如果腰不相等不能证明全等；

C项直角三角形至少要有一边相等.

5.【答案】A；

【解析】根据图象是一条线段，它是以线段的两端点为圆心，作弧，进而作出垂直平分线，故做的是：

线段的垂直平分线.

6.【答案】A；

【解析】∵AC=AD，BC=BD，

∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．

∴AB垂直平分CD．

故选A．

7.【答案】A；

【解析】∠CFA＝∠B＋∠BAF，∠CEF＝∠ECA＋∠EAC，而∠B＝∠ECA，∠BAF＝∠EAC，故△CEF为等腰三角形.

8.【答案】B；

【解析】根据三角形内角和180°

，以及已知条件可以计算得出∠B的度数为120°

9.【答案】△ADF≌△BEC．

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，∠DAC=∠BCA，

∵BE∥DF，

∴∠DFC=∠BEA，

∴∠AFD=∠BEC，

在△ADF与△CEB中，

∴△ADF≌△BEC（AAS）.

10．【答案】①②

③；

11.【答案】3；

【解析】∵ED垂直平分BC，

∴可得△BED≌△CED（SAS）

∴CE=BE=3.

12.【答案】100°

，60°

，20°

13.【答案】

；

【解析】由三角形全等知D点到AB的距离等于CD＝

，所以△ADB的面积为

14.【答案】10°

15.【答案】45°

【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD.

16.【答案】10；

【解析】OM＝BM，ON＝CN，∴△OMN的周长等于BC.

17.【解析】

∵∠3=∠4，

∴∠ABC=∠ABD，

在△ABC和△ABD中，

∴△ABC≌△ABD（ASA），

∴AC=AD．

18.【解析】

19.【解析】

在△ABC和△CED中，

AC=CD，∠ACB=∠ECD（对顶角），EC=BC，

∴△ABC≌△DEC，

∴AB=ED，

即量出DE的长，就是A、B的距离.

20．【解析】

（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠FDB＝90°

∵

∴

∴AD＝CD

∵

∴△ABD≌△CFD

（2）∵△ABD≌△CFD

∴BD＝FD.

∵∠FDB＝90°

，

∴

∴BE⊥AC．