双曲线函数 一次分式函数 绝对值函数.docx

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双曲线函数一次分式函数绝对值函数

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双曲线函数

一、函数

请画出如下函数的图像：

练习：

1、

（1）若则的最小值是__________；

（2）若则的最小值是__________；

（3）若则的最小值是__________；

2、下列结论正确的是（）

A当，B

C当D当无最大值

3、讨论函数的单调性

4、求函数的值域

（1）

（2）（3）

5、

（1）若函数的定义域为，求a的取值范围；

（2）若函数的值域为，求a的取值范围；

6、已知内单调递减，求a的取值范围。

相关应用题

7、某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为（k＞0，k为常数，且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为万元．

（1）求k的值，并求出的表达式；

（2）问从今年算起第几年利润最高?

最高利润为多少万元?

18、解：

（1）由，当n＝0时，由题意，可得k＝8，

所以．　

（2）由

．

当且仅当，即n＝8时取等号，

所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元.

二、讨论函数的单调性。

练习：

（五校联考）

1、函数的最小值是____________。

2、（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）

已知函数（为常数）的图像经过点。

（1）求实数的值；并画出当时函数的大致图像；

（2）请写出函数的一个单调递增区间，并运用函数单调性定义证明：

函数在你所给出的区间内是单调递增函数。

3、（09年二模）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分.

已知为实数，函数，（）．

（1）若，试求的取值范围；

（2）若，求函数的最小值．

20．

（1）即，又，2分

所以，从而的取值范围是．……5分

（2），令，则，因为，所以，当且仅当时，等号成立，8分

由解得，所以当时，函数的最小值是；……11分

下面求当时，函数的最小值．

当时，，函数在上为减函数．所以函数的最小值为．

[当时，函数在上为减函数的证明：

任取，，因为，，所以，，由单调性的定义函数在上为减函数．]

于是，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值．……15分

请画出图像并研究其性质

练习：

1、已知函数

（1）判断的奇偶性

（2）若在是增函数，求实数的范围

2、（05上海春）已知函数的定义域为，且.设点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为.

（1）求的值；

（2）问：

是否为定值？

若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；

（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值.

3、（06上海文）已知函数y=x+有如下性质：

如果常数a>0,那么该函数在（0,]上是减函数,在[,0）上是增函数.

（1）如果函数y=x+在（0,4]上是减函数.,在[4,+∞）上是增函数,求实常数b的值；

（2）设常数c∈[1,4],求函数f（x）=x+（1≤x≤2）的最大值和最小值；

（3）当n是正整数时,研究函数g（x）=（c>0）的单调性,并说明理由.

绝对值函数

函数

1、图像的画法：

（1）

（2）（3）

总结：

“V”形图

1、图像特点如何？

2、练习

（04上海高考）若函数f（x）=a在[0,+∞）上为增函数,则实数a、b的取值范围是.

2、相关图像的画法

（1）

（2），

（3）已知图1中的图像对应的函数为，则图2中的图像对应的函数在下列给出的四式中，只可能是（）

A．B．C．D．

绝对值函数相关恒成立及最值问题

1、已知：

为常数，函数在区间上的最大值为，则实数_____..0或-2

函数与方程的思想：

1．若方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是____________．

2．方程实数解的个数是____________．.

3、对函数的最小值是_________3|2

4．（本题满分15分）第1小题满分4分，第2小题满分11分

设函数为实数）.

（1）若为偶函数，求实数的值；

（2）设，求函数的最小值.

17.解：

（1）由已知；

（2），

当时，，

由得，从而，

故在时单调递增，的最小值为；

当时，，

故当时，单调递增，当时，单调递减，

则的最小值为；

由，知的最小值为.

零点分类讨论

画出图形：

（1）

（2）（3）

举一反三：

（普陀）.对任意的，若函数

的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于轴），试写出、应满足的条件.

分式函数

函数

基础：

例：

画出的图像，并写出其对称轴、对称中心。

2、已知函数的反函数的对称中心，求实数a的取值范围。

3、函数的单调递减区间是___________；函数的单调递减区间是___________

4、已知函数的值域为，则数组的一组可能值是___________；

提高：

1、设函数表示不超过实数的最大整数，则函数的值域为______________.

2、（本题满分18分）第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分.

（1）已知：

，求函数的单调区间和值域；

（2），函数，判断函数的单调性并予以证明；

（3）当时，上述

（1）、

（2）小题中的函数，若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围.

20.解:

（1），设

则

任取，，

当时，单调递减；

当时，单调递增.

由得

的值域为.

（2）设，

则，

所以单调递减.

（3）由的值域为：

所以满足题设仅需：

解得，.

3．（本题满分18分,共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分

8分）．

（文科）定义在R上的函数满足

（1）求

（2）求

（3）是否存在正整数k，使恒成立？

若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由。

（理科）定义在R上的函数满足

（1）求证：

是周期为2的偶函数；

（2）求

（3）是否存在整数k，使恒成立？

若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由。

22．（文）解：

（1）---2分

---2分

（2）

---6分

设---8分

---10分

（3）当---11分

假设存在正整数k。

当

恒成立---13分

设，当--15分

则--17分

，故存在正整数，使命题成立。

---18分

（理）解：

（1）

---2分

f（x）是以2为周期的偶函数---4分

（2）设

f（x）是偶函数

即---6分

设---8分

---10分

（3）当

①当

恒成立--11分

设

当

则---12分

---13分

②当

恒成立。

---14分

设

当

则---15分

---16分

③当k＝0时，原命题等价于对任意恒成立

当x=1时，则-8>0显然不成立

---17分

综上，存在整数使命题成立。

---18分