最新高等数学上册期末考试试题含答案FB.docx

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最新高等数学上册期末考试试题含答案FB

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）

一、解答题

1．一动点沿抛物线y=x2运动，它沿x轴方向的分速度为3cm·s-1，求动点在点（2，4）时，沿y轴的分速度.

解：

当x=2时，（cm·s－1）.

2．将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为：

（1）f（x）=1-x2；

（2）

解：

（1）f（x）在（-∞,+∞）上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于f（x），由于f（x）为偶函数，有bn=0（n=1,2,3,…）

，

所以

（-∞

（2），

而函数f（x）在x=3（2k+1），k=0,±1,±2,…处间断，故（x≠3（2k+1），k=0,±1,±2,…）

3．写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f（x）在[-π,π）上的表达式为：

（1）

（2）；

（3）

（4）.

解：

（1）函数f（x）满足狄利克雷定理的条件，x=nπ，n∈z是其间断点，在间断占处f（x）的傅里叶级数收敛于

，在x≠nπ，有

于是f（x）的傅里叶级数展开式为

（x≠nπ）

（2）函数f（x）在（-∞,+∞）上连续，故其傅里叶级数在（-∞,+∞）上收敛于f（x），注意到f（x）为偶函数，从而f（x）cosnx为偶函数，f（x）sinnx为奇函数，于是

，，

（n=1,2,…）

所以，f（x）的傅里叶级数展开式为：

（-∞

（3）函数在x=（2n+1）π（n∈z）处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x≠（2n+1）π时，由f（x）为奇函数，有an=0,（n=0,1,2,…）

所以

（x≠（2n+1）π,n∈z）

（4）因为作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f（x），注意到f（x）为偶函数，有bn=0（n=1,2,…），

所以f（x）的傅里叶级数展开式为：

x∈[-π,π]

4．求下列幂级数的收敛半径及收敛域：

（1）x+2x2+3x3+…+nxn+…；

（2）；

（3）；（4）；

解：

（1）因为，所以收敛半径收敛区间为（-1,1），而当x=±1时，级数变为，由知级数发散，所以级数的收敛域为（-1,1）．

（2）因为

所以收敛半径，收敛区间为（-e,e）．

当x=e时，级数变为；应用洛必达法则求得，故有由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x=-e时，级数也发散，故收敛域为（-e,e）．

（3）级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．

所以当x2<1即|x|<1时，级数收敛，x2>1即|x|>1时，级数发散，故收敛半径R=1．

当x=1时，级数变为，当x=-1时，级数变为，由知，发散，从而也发散，故原级数的收敛域为（-1,1）．

（4）令t=x-1，则级数变为，因为

所以收敛半径为R=1．收敛区间为-1

当t=1时，级数收敛，当t=-1时，级数为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．

所以，原级数收敛域为0≤x≤2，即[0,2]

5．用比值判别法判别下列级数的敛散性：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

解：

（1），，

由比值审敛法知，级数收敛．

（2）

所以原级数发散．

（3）

所以原级数发散．

（4）

故原级数收敛．

6．判定下列级数的敛散性：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

解：

（1）

从而，故级数发散．

（2）

从而，故原级数收敛，其和为．

（3）此级数为的等比级数，且|q|<1，故级数收敛．

（4）∵，而，故级数发散．

7．写出下列级数的一般项：

（1）；

（2）；

（3）；

解：

（1）；

（2）；

（3）；

8．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x（百台）的边际成本为C′（x）（万元/百台），边际收入为R′（x）=7－2x（万元/百台）．

（1）求生产量为多少时总利润最大？

（2）在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？

解：

（1）当C′（x）=R′（x）时总利润最大．

即2=7－2x，x=5/2（百台）

（2）L′（x）=R′（x）－C′（x）=5－2x．

在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为

ΔL（x）=．

即此时总利润减少1万元.

9．设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为

C′（x）=x2－14x+111，R′（x）=100－2x．

试求最大利润．

解：

设利润函数L（x）．

则L（x）=R（x）－C（x）－50

由于L′（x）=R′（x）－C（x）=（100－2x）－（x2－14x+111）=－x2+12x－11

令L′（x）=0得x=1，x=11．

又当x=1时，L″（x）=－2x+12>0．当x=11时L″（x）<0，故当x=11时利润取得最大值．且最大利润为

L（11）=

10．求下列曲线段的弧长：

a），0≤x≤2；

解：

见图18，2yy′=2．

∴．从而

（18）

b）y=lnx，；

解：

．

c）；

解：

=4.

11．已知,其中求C.

解：

所以.

12．计算下列积分：

;

解：

原式

;

解：

原式=

;

解：

原式=

;

解：

原式=

;

解：

原式=

;

解：

原式=

;

解：

原式=

;

解：

原式=

;

解：

所以，原式=.

;

解：

原式=

;

解：

原式=

;

解：

原式=

;

解：

原式

;

解：

原式=

.

解：

原式=

13．利用被积函数奇偶性计算下列积分值（其中a为正常数）

（1）

解：

因为[－a,a]上的奇函数，

故

;

解：

因为即被积函数为奇函数，所以原式=0.

;

解：

因为为奇函数，故

原式=

.

解：

因为是奇函数，故

原式=

14．求下列函数的傅里叶积分：

（1）

（2）

解：

（1）

（2）

15．设，且,在[a，b]内存在，证明：

在（a，b）内至少有一点，使.

证明：

在[a，b]内存在，故在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且，故由罗尔定理知，，使得，，使得，又在上连续，在内可导，由罗尔定理知，，使，即在（a，b）内至少有一点，使.

16．已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角=40°,如图所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L（L=AB+BC+CD）与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.

图1-1

解:

从而.

由得定义域为.

17．求下列函数的高阶微分：

⑴，求；⑵，求；

⑶，求；⑷，求；

⑸（为常数），求.

解：

⑴,

⑵

故

⑶由莱布尼兹公式，得

⑷由莱布尼兹公式，得

⑸

两端求导，得

等式两端再求导得

解得

故

18．求下列函数的微分：

⑴；⑵；

⑶；⑷；

⑸；⑹.

解：

⑴；

⑵；

⑶；

⑷

；

⑸；

⑹；

19．设是由方程组

所确定的隐函数，求.

解：

分别对已知方程组的两边关于求导，得：

再对求一次导，得

将代入上述各式，得

20．求下列函数在指定点的高阶导数：

⑴求；

⑵求，；

⑶求，.

解：

⑴

故.

⑵

故，.

⑶

故，

21．求下列参数方程所确定的函数的导数：

⑴（a,b为常数）

解：

⑵

解：

22．已知在点可导，证明：

.

证明：

23．试求过点（3，8）且与曲线相切的直线方程.

解：

曲线上任意一点处的切线斜率为.因此过（3，8）且与曲线相切的直线方程为：

，且与曲线的交点可由方程组解得

为（2，4），（4，16）即为切点.

故切线方程为：

24．已知，求.

解：

当时，,

当时，,

故不存在.

又

故不存在.

综上所述知

.

25．已知求.

解：

当时，

当时，

当时，

故

综上所述知

26．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性:

（1）

解：

因为所以此函数在处连续.

又

，故此函数在处不可导.

（2）

解：

因为故函数在处连续.

又,

故函数在处可导.

（3）

解：

因为

故函数在x=1处连续.

又

，故函数在x=1处不可导.

27．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么.

（1）

解：

故

（2）

解：

故

（3）

解：

故

28．当x=0时，下列函数无定义，试定义的值，使其在x=0处连续:

解：

∴补充定义可使函数在x=0处连续.

∴补充定义可使函数在x=0处连续.

∴补充定义可使函数在x=0处连续.

∴补充定义可使函数在x=0处连续.

29．利用夹逼定理求下列数列的极限:

其中为给定的正常数;

解:

而,当时,

.

（2）记

则有

即

而

故

即.

（3）

即

而

故.

（4）

而

故.

30．求由参数式所确定的函数y对x的导数.

解：

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．无

2．无

3．无

4．无

5．无

6．无

7．无

8．无

9．无

10．无

11．无

12．无

13．无

14．无

15．无

16．无

17．无

18．无

19．无

20．无

21．无

22．无

23．无

24．无

25．无

26．无

27．无

28．无

29．无

30．无