高考江苏数学试题及答案word解析版.docx
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2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ
参考公式:
样本数据的方差,其中.
棱柱的体积,其中是棱柱的底面积,是高.
棱锥的体积,其中是棱锥的底面积,为高.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
(1)【2016年江苏,1,5分】已知集合,,则_______.
【答案】
【解析】由交集的定义可得.
【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算,难度不大,属于基础题.
(2)【2016年江苏,2,5分】复数,其中为虚数单位,则的实部是_______.
【答案】5
【解析】由复数乘法可得,则则的实部是5.
【点评】本题考查了复数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
(3)【2016年江苏,3,5分】在平面直角坐标系中,双曲线的焦距是_______.
【答案】
【解析】,因此焦距为.
【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质,考查学生的计算能力,比较基础
(4)【2016年江苏,4,5分】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是_______.
【答案】
【解析】,.
【点评】本题考查方差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意方差计算公式的合理运用.
(5)【2016年江苏,5,5分】函数的定义域是_______.
【答案】
【解析】,解得,因此定义域为.
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域,二次不等式的解法,难度不大,属于基础题.
(6)【2016年江苏,6,5分】如图是一个算法的流程图,则输出的值是________.
【答案】9
【解析】的变化如下表:
1
5
9
9
7
5
则输出时.
【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答.
(7)【2016年江苏,7,5分】将一个质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有个点为正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是________.
【答案】
【解析】将先后两次点数记为,则共有个等可能基本事件,其中点数之和大于等于10有
六种,则点数之和小于10共有30种,概率为.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对立事件概率计算公式的合理运用.
(8)【2016年江苏,8,5分】已知是等差数列,是其前项和.若,,则的值是_______.
【答案】20
【解析】设公差为,则由题意可得,,解得,,则.
【点评】本题考查等差数列的第9项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.
(9)【2016年江苏,9,5分】定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是________.
【答案】7
【解析】画出函数图象草图,共7个交点.
【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象,作出函数与在区间
上的图象是关键,属于中档题.
(10)【2016年江苏,10,5分】如图,在平面直角坐标系中,是椭圆
的右焦点,直线与椭圆交于两点,且,则该椭圆的离心率是________.
【答案】
【解析】由题意得,直线与椭圆方程联立可得,,由可得
,,,则,由可得
,则.
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用两直线垂直的条件:
斜率之积为﹣1,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
(11)【2016年江苏,11,5分】设是定义在上且周期为2的函数,在区间上
其中,若,则的值是________.
【答案】
【解析】由题意得,,由可得,
则,则.
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的周期性,根据已知求出a值,是解答的关键.
(12)【2016年江苏,12,5分】已知实数满足则的取值范围是________.
【答案】
【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下:
为可行域内的点到原点距离的平方.
可以看出图中点距离原点最近,此时距离为原点到直线的距离,
,则,图中点距离原点最远,点为与交点,则,则.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,涉及距离的计算,利用数形结合是解决本题的关键.
(13)【2016年江苏,13,5分】如图,在中,是的中点,是上两个三等分点,
,,则的值是________.
【答案】
【解析】令,,则,,,则,,
,,,,则,,
,由,可得,,因此,
因此.
【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算,平面向量的线性运算,难度中档.
(14)【2016年江苏,14,5分】在锐角三角形中,,则的最小值是_______.
【答案】8
【解析】由,,
可得(*),由三角形为锐角三角形,则,
在(*)式两侧同时除以可得,
又(#),
则,由可得,令,由为锐角可得,
由(#)得,解得,,
,由则,因此最小值为,
当且仅当时取到等号,此时,,
解得(或互换),此时均为锐角.
【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识,有一定灵活性.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)【2016年江苏,15,14分】在中,,,.
(1)求的长;
(2)求的值.
解:
(1),为三角形的内角,,,,即:
.
(2),,又为三角形的内角,,
.
【点评】本题考查正弦定理,考查两角和差的余弦公式,考查学生的计算能力,属于中档题.
(16)【2016年江苏,16,14分】如图,在直三棱柱中,分别为的中点,
点在侧棱上,且,.求证:
(1)直线平面;
(2)平面平面.
解:
(1)为中点,为的中位线,,又为棱柱,
,又平面,且,平面.
(2)为直棱柱,平面,,又,
且,平面,平面,又,平面,
又平面,,又,,且平面,
平面,又,平面平面.
【点评】本题考查直线与平面平行的证明,以及平面与平面相互垂直的证明,把握常用方法最关键,难答不大.
(17)【2016年江苏,17,14分】现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四
棱锥,下部分的形状是正四棱柱(如图所示),并要求正四棱柱
的高是正四棱锥的高的倍.
(1)若,,则仓库的容积是多少;
(2)若正四棱锥的侧棱长为,当为多少时,仓库的容积最大?
解:
(1),则,,
,,故仓库的容积为.
(2)设,仓库的容积为,则,,,
,
,
,
,当时,,单调递增,
当时,,单调递减,因此,当时,取到最大值,
即时,仓库的容积最大.
【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积,导数法求函数的最大值,难度中档.
(18)【2016年江苏,18,16分】如图,在平面直角坐标系中,已知以为圆心的圆:
及其上一点.
(1)设圆与轴相切,与圆外切,且圆心在直线上,求圆的标准方程;
(2)设平行于的直线与圆相交于两点,且,求直线的方程;
(3)设点满足:
存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范
围.
解:
(1)因为在直线上,设,因为与轴相切,则圆为,
,又圆与圆外切,圆:
,则,解得,
即圆的标准方程为.
(2)由题意得,设,则圆心到直线的距离,
则,,即,
解得或,即:
或.
(3),即,即,,又,
即,解得,对于任意,欲使,
此时,只需要作直线的平行线,使圆心到直线的距离为,必然与圆交于两点,此时,即,因此对于任意,均满足题意,
综上.
【点评】本题考查圆的标准方程的求法,考查直线方程的求法,考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时
要认真审题,注意圆的性质的合理运用.
(19)【2016年江苏,19,16分】已知函数.
(1)设,.
①求方程的根;
②若对于任意,不等式恒成立,求实数的最大值;
(2)若,,函数有且只有1个零点,求的值.
解:
(1)①,由可得,
则,即,则,.
②由题意得恒成立,令,则由可得,
此时恒成立,即恒成立∵时,当且仅当时
等号成立,因此实数的最大值为.
(2),,由,可得,
令,则递增,而,因此时,
因此时,,,则;时,,,
则;则在递减,递增,因此最小值为,
①若,时,,,则;logb2时,,,
则;因此且时,,因此在有零点,
且时,,因此在有零点,
则至少有两个零点,与条件矛盾;
②若,由函数有且只有1个零点,最小值为,可得,
由,因此,因此,即,即,
因此,则.
【点评】本题考查函数与方程的综合应用,函数的导数的应用,基本不等式的应用,函数恒成立的应用,考查分析问题解决问题的能力.
(20)【2016年江苏,20,16分】记.对数列()和的子集,若,定义;
若,定义.例如:
时,.现设()
是公比为的等比数列,且当时,.
(1)求数列的通项公式;
(2)对任意正整数(),若,求证:
;
(3)设,,,求证:
.
解:
(1)当时,,因此,从而,.
(2)
(3)设,,,,,,
因此原题就等价于证明.由条件可知.
①若,则,所以.
②若,由可知,设中最大元素为,中最大元素为,
若,则由第⑵小题,,矛盾.因为,所以,所以,
,即.
综上所述,,因此.
【点评】本题考查数列的应用,涉及新定义的内容,解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述.
数学Ⅱ
【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答
的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(21-A)【2016年江苏,21-A,10分】(选修4-1:
几何证明选讲)如图,在中,,,为垂足,是中点,求证:
.
解:
由可得,由是中点可得,则,
由可得,由可得,因此,
又可得.
【点评】本题考查三角形的性质应用,利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°,证得∠ABD=∠C是关键,属于中档题.
(21-B)【2016年江苏,21-B,10分】(选修4-2:
矩阵与变换)已知矩阵,矩阵的逆矩阵,求矩阵.
解:
,因此.
【点评】本题考查逆变换与逆矩阵,考查矩阵乘法的性质,属于中档题.
(21-C)【2016年江苏,21-C,10分】(选修4-4:
坐标系与参数方程)在平面直角坐标系中,已知直线的
参数方程为,椭圆的参数方程为,设直线与椭圆相交于两点,求线段的长.
解:
直线方程化为普通方程为,椭圆方程化为普通方程为,
联立得,解得或,因此.
【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程,考查了参数方程化普通方程,考查直线与椭圆位置关系的应用,是基础题.
(21-D)【2016年江苏,21-D】(本小题满分10分)(选修4-4:
不等式选讲)设,,,求证:
.
解:
由可得,.
【点评】本题考查绝对值不等式的证明,注意运用绝对值不等式的性质,以及不等式的简单性质,考查运算能力,属于基础题.
【必做题】第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题卡的指定区域内.
(22)【2016年江苏,22,10分】如图,在平面直角坐标系中,已知直线,抛物线.
(1)若直线过抛物线的焦点,求抛物线的方程;
(2)已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和.
①求证:
线段上的中点坐标为;
②求的取值范围.
解:
(1),与轴的交点坐标为,即抛物线的焦点为,,.
(2)①设点,,则:
,即,,
又关于直线对称,,即,,
又中点一定在直线上,,线段上的中点坐标为;
②中点坐标为,即,,
即关于有两个不等根,,,.
【点评】本题考查抛物线方程的求法,直线与抛物线的位置