第十五届中环杯初赛五年级试题解析.docx

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第十五届中环杯初赛五年级试题解析

第十五届“中环杯”小学生思维能力训练活动五年级选拔赛

1、已知，其中m,，n是两个互质的正整数，则。

【考点】分数计算

【答案】110

分析：

。

2、D老师家里有五个烟囱，这五个烟囱正好从矮到高排成一排，相邻两个烟囱之间的高度差为2厘米，其中最高的烟囱又正好等于最矮的两个烟囱的高度之和，则五个烟囱的高度之和是________厘米。

【考点】等差数列，方程

【答案】50

分析：

设这五个烟囱分别为x-4，x-2，x，x+2，x+4，则x+4=x-2+x-4，x=10，

和为5x=50。

3、已知，其中a、b、c、d是四个正整数，请你写出满足条件的一个乘法算式：

___________。

【考点】数的拆分，分解质因数

【答案】答案不唯一

分析：

2014=1×2014=2×1007=19×106=38×53

4、一个长方体的长、宽分别为20厘米、15厘米，其体积的数值与表面积的数值相等，则它的高为______厘米（答案写为假分数）。

【考点】立体几何，方程

【答案】

分析：

设高为h，则。

5、一次中环杯比赛，满分为100分，参赛学生中，最高分为83分，最低分为30分（所有的分数都是整数），一共有8000个学生参加，那么至少有_____个学生的分数相同。

【考点】抽屉原理

【答案】149

分析：

6、对35个蛋黄月饼进行打包，一共有两种打包规格：

大包袋里每包有9个月饼，小包装里每包有4个月饼。

要求不能剩下月饼，那么一共打了_____个包。

【考点】不定方程

【答案】5

分析：

设大包有x袋，小包有y袋，所以9x+4y=35，x=3，y=2，所以2+3=5个包。

7、小明和小红在600米的环形跑道上跑步，两人从同一起点同时出发，朝相反方向跑，第一次和第二次相遇时间间隔50秒，已知小红的速度比小明慢2米/秒，则小明的速度为______米/秒。

【考点】环形跑道，方程

【答案】7

分析：

设小红的速度为米/秒，小明的速度为米/秒，则，则小明的速度为5+2=7米/秒。

8、我们知道，2013、2014、2015的因数个数相同，那么具有这样性质（因数的个数相同）的三个连续自然数n、n1、n+2中，n的最小值为_____。

【考点】分解质因数，约数个数

【答案】33

分析：

没有连续的三个质数，不能有完全平方数，

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37……经试验，33、34、35各有4个约数。

9、图中的正三角形与正六边形的周长相等，已知正三角形的面积是10cm2，则正六边形的面积为_____cm2。

【考点】图形切拼

【答案】15

分析：

设六边形每个边长为，则正三角形每个边长为，分割后每个小三角形的面积相同，。

10、甲、乙、丙在猜一个两位数，

甲说：

它的因数个数为偶数，而且它比50大；

乙说：

它是奇数，而且它比60大；

丙说：

它是偶数，而且它比70大。

如果他们三个人每个人都只说对了一半，那么这个数是____________。

【考点】逻辑推理

【答案】64

分析：

由乙丙所说一个为奇数一个为偶数，必为一真一假，若这个数大于70则必然大于60，所以后半句只能是这个数大于60小于70，所以这个数是偶数，由于这个数大于60，则甲所说的大于50是正确，所以这个数的因数个数为奇数个，必为在50~70之间的完全平方数，只有64。

11.如图，正方形ABCD和正方形EFGH，他们的四对边互相平行。

联结CG并延长交BD于点I。

已知BD=10，三角形bfc面积=3，三角形chd=5，则BI的长度为？

【考点】几何

【答案】

分析：

过I，G，F,H分别作垂线,则FJ=GN,HK=GO。

设边长为，则。

由三角形面积公式得

IL和IM分别是GN和GO的等比例扩大，设都为扩大到k倍，

，

所以，IL等于FJ扩大到k倍，为，

12.将572个桃子分给若干个孩子，这些孩子得到的桃子数量是一些连续的正整数，则获得桃子数量最多的那个孩子最多可以得到几个桃子？

【考点】数论，分解质因数，最值

【答案】75

分析：

设第一人拿到x+1个桃子，最后一人拿到x+k，则有k个人。

枚举

k为2,4不合题意

k=8，2x+9=143，x=67，x+k=75。

13、定义，比如，若（其中n为正整数，且）是完全平方数，比如时，，就是一个完全平方数，则所有满足条件的n的和为_______。

【考点】定义新运算，完全平方数

【答案】273

分析：

，让为完全平方数即可，

，

14.小明讲若干棋子放入如图3*3方格的小正方形内，每个小正方形内可以不放棋子，也可以放等于或多余1枚棋子，现在计算每一行，每一列的棋子总数，得到6个数，这6个数互不相同，那么最少需要放多少枚棋子

【考点】最值，枚举

【答案】8

分析：

尝试最小的和0+1+2+3+4+5=15，由于三行之和=三列之和=总和，15不是偶数，所以16÷2=8，经试验，如图所示

15.将A、B、C、D、E这五位老师与25个相同的座位拍成一排，之后25个学生会坐在座位上与老师拍照。

要求：

A、B、C、D、E必须按字母顺序从左到右出现在这排中，而且每个相邻座位老师之间至少有两个座位。

则一共有_____种不同的安排方法（注意：

安排还是指老师与未作之间的安排，不考虑后续的学生）。

【考点】排列组合

【答案】26334

分析：

25+5=30，这道题目相当于从1~30这30个数中选5个数，每两个数之间的差大于等于3，5个数4个间隔，所以30-2×4=22，即。

16.如图，在一个梯形ABCD中，AD平行BC，BC：

AD=5:

7.点F在线段AD上，点E在线段CD上，满足AF：

FD=4:

3，CE：

ED=2:

3.如果四边形ABEF的面积为123，则ABCD的面积为？

【考点】几何

【答案】180

分析：

设AD=7x，BC=5x，DC=5y。

则DF=3x，DE=3y，EC=2y。

S梯形=（AD+BC）×CD÷2=30xy，

所以xy=6，故所求面积为180。

17.如图算式中，最后的乘积为_________。

【考点】【答案】100855

分析：

18.一个五位数是2014的倍数，并且恰好有16个因数，则的最小值是？

【考点】分解质因数，约数个数

【答案】24168

分析：

19.10个学生排成一行，老师想要为每个学生配一顶帽子，帽子有两种颜色：

红色和白色，每种颜色的帽子数量都超过10顶。

要求：

任意多个连续相邻的学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多为2。

那么老师有_____种分配帽子的方法。

【考点】题意理解、有序枚举

【答案】94

分析：

本题难度很大，主要在“任意多个连续相邻的学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多为2”这句话。

以下尝试几种方法来解答。

（统一用√表示带红色帽子，×表示白色帽子）

法一：

有序枚举，结合图形标数法

向右一格表示戴红帽子，向上一格代表戴白帽子，一共走10格完成注意：

①同方向最多连续两步；②取的点之间，任意两个点在横方向和竖方向的格子数差最多为2，如图a点和b点不能同时有。

（行列1×4，2×5，3×6都不行，易多数）这样数下来，就是下面47种：

这是√开头的，共47中，×开头也有47种，共47×2=94种。

法二：

分类讨论+枚举

根据“任意多个连续相邻的学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多为2”，那么全部10名学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多也为2，因此有6红4白，5红5白，4红6白三种。

其中6红4白和4红6白对称，种数一样。

（一）6红4白

（1）6红分三堆，红红，红红，红红

4-2=2，红红与红红之间必为两白，1种：

√√，××，√√，××，√√；

小计，6红分三堆共1种；

（2）6红分四堆，红红，红红，红，红

①红红，红红，红，红红红与红红之间必为两白，1种：

√√，××，√√，×，√，×，√；

②红，红，红红，红红同①，对称性，1种；

③红红，红，红红，红

5-2=3，这两个间隔里必然一个是1白，一个是两白，2种：

√√，××，√，×，√√，×，√；

√√，×，√，××，√√，×，√；

④红，红红，红，红红同③，2种

⑤红红，红，红，红红

6-2=4，两端必然不可能放白，3种：

√√，××，√，×，√，×，√√；

√√，×，√，××，√，×，√√；

√√，×，√，×，√，××，√√；

⑥红，红红，红红，红红红与红红之间必为两白，1种：

√，×，√√，××，√√，×，√；

小计，6红分四堆共1+1+2+2+3+1=10种；

（3）6红分五堆，红红，红，红，红，红

①红红在第一或第五位置，四个间隔各插1白，共2种：

√√，×，√，×，√，×，√，×，√；

√√，×，√，×，√，×，√，×，√；

②红红在第二、三、四位置，四个间隔各插1白，共3种：

√，×，√√，×，√，×，√，×，√；

√，×，√，×，√√，×，√，×，√；

√，×，√，×，√，×，√√，×，√；

小计，6红分五堆共2+3=5种；所以，6红4白共1+10+5=16种；

（二）4红6白

同6红4白，共16种；

（三）5红5白

（1）5红分三堆，红红，红红，红

①红红，红红，红

第一个间隔红红与红红之间必为两白，第二个间隔可能1白，可能两白，5种：

×，√√，××，√√，××，√；

√√，××，√√，××，√，×；

√√，××，√√，×，√，××；

××，√√，××，√√，×，√；

×，√√，××，√√，×，√，×。

③红红，红，红红

5-2=3,1+2=3，划线处两间隔必为一处1白，一处两白，6种：

××，√√，××，√，×，√√；

√√，××，√，×，√√，××；

×，√√，××，√，×，√√，×；

××，√√，×，√，××，√√；

√√，×，√，××，√√，××；

×，√√，×，√，××，√√，×；

小计，5红分三堆共5+5+6=16种；

（2）5红分四堆，红红，红，红，红

①红红，红，红，红

1+2=3,2+2=4，划线处三个间隔为3到4白，9种：

×，√√，××，√，×，√，×，√；

√√，××，√，×，√，×，√，×；

×，√√，×，√，××，√，×，√；

√√，×，√，××，√，×，√，×；

×，√√，×，√，×，√，××，√；

√√，×，√，×，√，××，√，×；

××，√√，×，√，×，√，×，√；

√√，×，√，×，√，×，√，××；

×，√√，×，√，×，√，×，√，×；

②红，红，红，红红

同①，对称性，9种；③红，红红，红，红

1+2=3，红两边间隔处最多一处为两白，根据三处间隔两白数量可为2，1，0枚举，

11种：

√，××，√√，××，√，×，√，；

√，××，√√，×，