高考数学总复习第九章平面解析几何第讲圆锥曲线的综合问题学案.doc

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第9讲　圆锥曲线的综合问题

最新考纲　1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.

知识梳理

1.直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）＝0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x（或变量y）的一元方程，

即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.

（1）当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；

Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C相离.

（2）当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.

2.圆锥曲线的弦长

设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝|x1－x2|

＝·

＝·|y1－y2|＝·.

诊断自测

1.判断正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）直线l与椭圆C相切的充要条件是：

直线l与椭圆C只有一个公共点.（　　）

（2）直线l与双曲线C相切的充要条件是：

直线l与双曲线C只有一个公共点.（　　）

（3）直线l与抛物线C相切的充要条件是：

直线l与抛物线C只有一个公共点.（　　）

（4）如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则弦长|AB|＝|y1－y2|.（　　）

（5）若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ＞0.（　　）

解析　

（2）因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.

（3）因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.

（5）应是以l为垂直平分线的线段AB所在的直线l′与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式Δ＞0.

答案　

（1）√　

（2）×　（3）×　（4）√　（5）×

2.直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为（　　）

A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定

解析　直线y＝kx－k＋1＝k（x－1）＋1恒过定点（1，1），又点（1，1）在椭圆内部，故直线与椭圆相交.

答案　A

3.若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是（　　）

A. B.

C. D.∪

解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈.

答案　C

4.过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有（　　）

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

解析　过（0，1）与抛物线y2＝4x相切的直线有2条，过（0，1）与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点.

答案　C

5.已知F1，F2是椭圆16x2＋25y2＝1600的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为________.

解析　由题意可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，

|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝144＝（|PF1|＋|PF2|）2－2|PF1|·|PF2|＝202－2|PF1|·|PF2|，

解得|PF1|·|PF2|＝128，

所以△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×128＝64.

答案　64

6.（2017·嘉兴七校联考）椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当m＝________时，△FAB的周长最大，此时△FAB的面积是________.

解析　设椭圆＋＝1的右焦点为F′，则F（－1，0），F′（1，0）.由椭圆的定义和性质易知，当直线x＝m过F′（1，0）时△FAB的周长最大，此时m＝1，把x＝1代入＋＝1得y2＝，y＝±，S△FAB＝|F1F2||AB|＝×2×3＝3.

答案　1　3

第1课时　直线与圆锥曲线

考点一　直线与圆锥曲线的位置关系

【例1】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：

＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1（－1，0），且点P（0，1）在C1上.

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：

y2＝4x相切，求直线l的方程.

解　

（1）椭圆C1的左焦点为F1（－1，0），∴c＝1，

又点P（0，1）在曲线C1上，

∴＋＝1，得b＝1，则a2＝b2＋c2＝2，

所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.

（2）由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，

由消去y，得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－2＝0.

因为直线l与椭圆C1相切，

所以Δ1＝16k2m2－4（1＋2k2）（2m2－2）＝0.

整理得2k2－m2＋1＝0.①

由消去y，得k2x2＋（2km－4）x＋m2＝0.

因为直线l与抛物线C2相切，

所以Δ2＝（2km－4）2－4k2m2＝0，整理得km＝1.②

综合①②，解得或

所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.

规律方法　研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.

【训练1】在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.

（1）求轨迹C的方程；

（2）设斜率为k的直线l过定点P（－2，1），若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围.

解　

（1）设点M（x，y），依题意|MF|＝|x|＋1，

∴＝|x|＋1，化简得y2＝2（|x|＋x），

故轨迹C的方程为y2＝

（2）在点M的轨迹C中，记C1：

y2＝4x（x≥0）；C2：

y＝0（x＜0）.

依题意，可设直线l的方程为y－1＝k（x＋2）.

由方程组

可得ky2－4y＋4（2k＋1）＝0.①

①当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.

故此时直线l：

y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.

②当k≠0时，方程①的Δ＝－16（2k2＋k－1）＝－16（2k－1）（k＋1），②

设直线l与x轴的交点为（x0，0），则

由y－1＝k（x＋2），令y＝0，得x0＝－.③

（ⅰ）若由②③解得k＜－1，或k＞.

所以当k＜－1或k＞时，直线l与曲线C1没有公共点，与曲线C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.

（ⅱ）若即解集为∅.

综上可知，当k＜－1或k＞或k＝0时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点.

考点二　弦长问题

【例2】（2016·四川卷）已知椭圆E：

＋＝1（a>b>0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：

y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.

（1）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（2）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：

存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

（1）解　由已知，a＝b，则椭圆E的方程为＋＝1.

由方程组得3x2－12x＋（18－2b2）＝0.①

方程①的判别式为Δ＝24（b2－3），由Δ＝0，得b2＝3，

此时方程①的解为x＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1.点T的坐标为（2，1）.

（2）证明　由已知可设直线l′的方程为y＝x＋m（m≠0），

由方程组可得

所以P点坐标为.|PT|2＝m2.

设点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）.

由方程组可得3x2＋4mx＋（4m2－12）＝0.②

方程②的判别式为Δ＝16（9－2m2），

由Δ>0，解得－

由②得x1＋x2＝－，x1x2＝.

所以|PA|＝

＝，同理|PB|＝.

所以|PA|·|PB|＝

＝

＝

＝m2.

故存在常数λ＝，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|.

规律方法　有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：

涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.

【训练2】已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0）.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l：

y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程.

解　

（1）由题设知解得a＝2，b＝，c＝1，

∴椭圆的方程为＋＝1.

（2）由

（1）知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，

∴圆心到直线l的距离d＝，由d＜1，得|m|＜.（*）

∴|CD|＝2＝2＝.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由得x2－mx＋m2－3＝0，

由根与系数关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.

∴|AB|＝

＝.

由＝，得＝1，解得m＝±，满足（*）.

∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.

考点三　中点弦问题

【例3】

（1）已知椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为（1，－1），则E的方程为（　　）

A.＋＝1 B.＋＝1

C.＋＝1 D.＋＝1

（2）已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________.

解析　

（1）因为直线AB过点F（3，0）和点（1，－1），所以直线AB的方程为y＝（x－3），代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，选D.

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点P（x0，y0），

则

由②－①得（x2－x1）（x2＋x1）＝（y2－y1）（y2＋y1），

显然x1≠x2.∴·＝3，即kMN·＝3，

∵M，N关于直线y＝x＋m对称，∴kMN＝－1，

∴y0＝－3x0.

又∵y0＝x0＋m，∴P，

代入抛物线方程得m2＝18·，

解得m＝0或－8，经检验都符合.

答案　

（1）D　

（2）0或－8

规律方法　处理中点弦问题常用的求解方法

（1）点差法：

即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.

（2）根与系数的关系：

即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.

【训练3】设抛物线过定点A（－1，0），且以直线x＝1为准线.

（1）求抛物线顶点的轨迹C的方程；

（2）若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，试求m的取值范围.

解　

（1）设抛物线顶点为P（x，y），则焦点F（2x－1，y）.

再根据抛物线的定义得|AF|＝2，即（2x）2＋y2＝4，

所以轨迹C的方程为x2＋＝1.

（2）设弦MN的中点为P，M（xM，yM），N（xN，yN），则由点M，N为椭圆C上的点，可知

两式相减，得

4（xM－xN）（xM＋xN）＋（yM－yN）（yM＋yN）＝0，

将xM＋xN＝2×＝－1，yM＋yN＝2y0，

＝－代入