中考数学一轮复习培优训练《相交线与平行线》及答案Word格式.docx
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<∠ACE<90°
且点E在直线AC的上方时,解决下列问题:
(友情提示:
∠A=60°
,∠D=30°
,∠B=∠E=45°
).
(1)①若∠DCE=45°
,则∠ACB的度数为 ;
②若∠ACB=140°
,则∠DCE的度数为 ;
(2)由
(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系,并说明理由.
(3)这两块三角板是否存在一组边互相平行?
若存在,请直接写出∠ACE的角度所有可能的值(不必说明理由);
若不存在,请说明理由.
6.【探究】如图①,∠AFH和∠CHF的平分线交于点O,EG经过点O且平行于FH,分别与AB、CD交于点E、G.
(1)若∠AFH=60°
,∠CHF=50°
,则∠EOF= 度,∠FOH= 度.
(2)若∠AFH+∠CHF=100°
,求∠FOH的度数.
【拓展】如图②,∠AFH和∠CHI的平分线交于点O,EG经过点O且平行于FH,分别与AB、CD交于点E、G.若∠AFH+∠CHF=α,直接写出∠FOH的度数.(用含a的代数式表示)
7.课题学习:
平行线的“等角转化”功能.
阅读理解:
如图1,已知点A是BC外一点,连接AB,AC.
求∠BAC+∠B+∠C的度数.
(1)阅读并补充下面推理过程
过点A作ED∥BC,所以∠B=∠EAB,∠C= .
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°
所以∠B+∠BAC+∠C=180°
解题反思:
从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠BAC,∠B,∠C“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决.
方法运用:
(2)如图2,已知AB∥ED,求∠B+∠BCD+∠D的度数.(提示:
过点C作CF∥AB)
深化拓展:
(3)如图3,已知AB∥CD,点C在点D的右侧,∠ADC=70°
.点B在点A的左侧,∠ABC=60°
,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE,DE所在的直线交于点E,点E在AB与CD两条平行线之间,求∠BED的度数.
8.如图1
,已知射线AB与直线CD交于点O,OF平分∠BOC,OG⊥OF于点O,AE∥OF.
(1)若∠A=30°
时①求∠DOF的度数;
②试说明OD平分∠AOG;
(2)如图2,设∠A的度数为α,当α为多少度时,射线OD是∠AOG的三
等分线,并说明理由.
9.如图1,已知AB∥CD,∠B=20°
,∠D=110°
.
(1)若∠E=50°
,请直接写出∠F的度数;
(2)探索∠E与∠F之间满足的数量关系,并说明理由;
(3)如图2,EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,FG的反向延长线交EP于点P,求∠P的度数.
10.问题情境
在综合与实践课上,老师让同学们以“两条平行线AB,CD和一块含60°
角的直角三角尺EFG(∠EFG=90°
,∠EGF=60°
)”为主题开展数学活动.
操作发现
(1)如图
(1),小明把三角尺的60°
角的顶点G放在CD上,若∠2=2∠1,求∠1的度数;
(2)如图
(2),小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上,请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系;
结论应用
(3)如图(3),小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上,30°
角的顶点E落在AB上.若∠AEG=α,则∠CFG等于 (用含α的式子表示).
11.已知直线AB∥CD.
(1)如图1,直接写出∠B
ME、∠E、∠END的数量关系为 ;
(2)如图2,∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P,试探究∠P与∠E之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图3,∠ABM=
∠MBE,∠CDN=
∠NDE,直线MB、ND交于点F,则
= .
12.已知,AB∥CD,点E为射线FG上一点.
(1)如图1,若∠EAF=30°
,∠EDG=40°
,则∠AED= °
;
(2)如图2,当点E在FG延长线上时,此时CD与AE交于点H,则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系,请说明你的结论;
(3)如图3,DI平分∠EDC,交AE于点K,交AI于点I,且∠EAI:
∠BAI=1:
2,∠AED=22°
,∠I=20°
,求∠EKD的度数.
13.如图,两条射线AM∥BN,线段CD的两个端点C、D分别在射线BN、AM上,且∠A=∠BCD=108°
.E是线段AD上一点(不与点A、D重合),且BD平分∠EBC.
(1)求∠ABC的度数.
(2)请在图中找出与∠ABC相等的角,并说明理由.
(3)若平行移动CD,且AD>CD,则∠ADB与∠AEB的度数之比是否随着CD位置的变化而发生变化?
若变化,找出变化规律;
若不变,求出这个比值.
14.如图,已知AM∥BN,∠A=60°
,点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D.
(1)求∠CBD的度数;
(2)当点P运动时,∠APB:
∠ADB的比值是否随之变化?
若不变,请求出这个比值;
若变化,请找出变化规律
(3)当点P运动到某处时,∠ACB=∠ABD,求此时∠ABC的度数.
15.已知:
点A、C、B不在同一条直线上,AD∥BE
(1)如图①,当∠A=58°
,∠B=118°
时,求∠C的度数;
(2)如图②,AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线,试探究∠C与∠AQB的数量关系;
(3)如图③,在
(2)的前提下,且有AC∥QB,QP⊥PB,直接写出∠DAC:
∠ACB:
∠CBE的值.
参考答案
1.解:
(1)如图1中,设PA交ON于F.
∵PA⊥OM,PB⊥ON,
∴∠PBF=∠OAF=90°
∵∠PFB=∠OFA,
∴∠APB=∠1.
故答案为∠APB=∠1.
(2)如图2中,∵∠PAO=∠PBO=90°
∴∠APB+∠1=180°
故答案为∠APB+∠1=180°
如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直,那么这两个角相等或互补.
(4)∵∠APB+∠1=180°
∴∠APB=180°
﹣50°
17′=129°
43′.
2.解:
探究:
:
∵AB∥CD,
∴∠B=∠1.(两直线平行内错角相等)
∴∠BCF=∠B+∠F.(等量代换)
故答案为:
两直线平行,内错角相等,等量代换.
由探究可知:
∠MFN=∠AMF+∠CNF,
∴∠CNF=∠DNG=115°
﹣55°
=60°
故答案为60.
如图③中,当的Q在直线GH的右侧时,∠AGQ+∠EHQ=360°
﹣70°
=290°
当点Q′在直线GH的左侧时,∠AGQ′+∠EHQ′=∠GQ′H=70°
故答案为70或290.
3.解:
(1)∵AM∥BN,
∴∠ABN=120°
∴∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠PBD,(角平分线的定义),
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°
故答案为120°
,2∠PBD,角平分线的定义,60°
(2)∠APB与∠ADB之间数量关系是:
∠APB=2∠ADB.不随点P运动变化.
理由是:
∴∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN(两直线平行内错角相等),
∵BD平分∠PBN(已知),
∴∠PBN=2∠DBN(角平分线的定义),
∴∠APB=∠PBN═2∠DBN=2∠ADB(等量代换),
即∠APB=2∠ADB.
(3)结论:
∠ABC=30°
理由:
∵AM∥BN,∴∠ACB=∠CBN,
当∠ACB=∠ABD时,则有∠CBN=∠ABD,
∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN,
∴∠ABC=∠DBN,
由
(1)可知∠ABN=120°
,∠CBD=60°
∴∠ABC+∠DBN=60°
∴∠ABC=30°
4.解:
∵DE∥B
C(已知)
∴∠DEF=∠CFE(两直线平行,内错角相等)
∴∠CFE=∠ABC(两直线平行,同位角相等)
∴∠DEF=∠ABC(等量代换)
∴∠DEF=65°
已知;
∠CFE;
两直线平行,内错角相等;
两直线平行,同位角相等;
等量代换;
65°
∵DE∥BC
∴∠ABC=∠D=β
∴∠D+∠DEF=180°
∴∠DEF=180°
﹣∠D=180°
﹣β,
180°
﹣β.
5.解:
(1)①∵∠ACD=90°
,∠DCE=45°
∴∠ACE=45°
∴∠ACB=90°
+45°
=135°
135°
②∠ACB=140°
,∠ACD=∠ECB=90°
∴∠ACE=140°
﹣90°
=50°
∴∠DCE=∠DCA﹣∠ACE=90°
=40°
40°
(2)∠ACB与∠DCE互补.理由:
∵∠ACD=90°
∴∠ACE=90°
﹣∠DCE,
又∵∠BCE=90°
+90°
∴∠ACB+∠DCE=90°
﹣∠DCE+∠DCE=180°
即∠ACB与∠DCE互补;
(3)存在一组边互相平行,
当∠ACE=45°
时,∠ACE=∠E=45°
,此时AC∥BE;
当∠ACE=30°
时,∠ACB=120°
,此时∠A+∠ACB=180°
,故AD∥BC.
6.解:
【探究】
(1)∵∠AFH=60°
,OF平分∠AFH,
∴∠OFH=30°
又∵EG∥FH,
∴∠EOF=∠OFH=30°
∵∠CHF=50°
,OH平分∠CHF,
∴∠FHO=25°
∴△FOH中,∠FOH=180°
﹣∠OFH﹣∠OHF=125°
30,125;
(2)∵FO平分∠AFH,HO平分∠CHF,
∴∠OFH=
∠AFH,∠OHF=
∠CHF.
∵∠AFH+∠CHF=100°
∴∠OFH+∠OHF=
(∠AFH+∠CHF)=
×
100°
∵EG∥FH,
∴∠EOF=∠OFH,∠GOH=∠OHF.
∴∠EOF+∠GOH=∠OFH+∠OHF=50°
∵∠EOF+∠GOH+∠FOH=180°
∴∠FOH=180°
﹣(∠EOF+∠GOH)=180°
=130°
【拓展】∵∠AFH和∠CHI的平分线交于点O,
∠AFH,∠OHI=
∠CHI,
∴∠FOH=∠OHI﹣∠OFH
=
(∠CHI﹣∠AFH)
(180°
﹣∠CHF﹣∠AFH)
﹣α)
=90°
﹣
α.
7.解:
(1)∵ED∥BC,
∴∠C=∠DAC,
∠DAC;
(2)过C作CF∥AB,
∵AB∥DE,
∴CF∥DE,
∴∠D=∠FCD,
∵CF∥AB,
∴∠B=∠BCF,
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°
∴∠B+∠BCD+∠D=360°
(3)如图3,过点E作EF∥AB,
∴AB∥CD∥EF,
∴∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=60°
,∠ADC=70°
∴∠ABE=
,∠CDE=
∠ADC=35°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°
+35°
=65°
8.解:
(1)①∵AE∥OF
∴∠A=∠BOF
∵OF平分∠COF
∴∠BOC=60°
,∠COF=30°
∴∠DOF=180﹣30°
=150°
②∵∠BOC=60°
∴∠AOD=60°
∵OF⊥OG
∴∠BOF+∠FOG=90°
∴∠BOG=60°
∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180°
∴∠DOG=60°
=∠AOD
∴OD平分∠AOG
(2)设∠AOD=β
∵射线OD是∠AOG的三等分线
∴∠AOD=2∠DOG,或∠DOG=2∠AOD
若∠AOD=2∠DOG
∴∠DOG=
β
∵∠BOC=∠AOD,OF平分∠BOC
∴∠BOF=
∴∠BOG=90﹣
α
∴
β+90﹣
β+β=180°
∴∠β=90°
∴∠BOF=45°
∵OF∥AE
∴∠A=∠BOF=45°
即α=45°
若∠DOG=2∠AOD=2β
∴2β+90﹣
∴∠β=36°
∴∠BOF=18°
∴OF∥AE
∴∠A=∠BOF=18°
∴α=18°
综上所述α为18°
或45°
9.解:
(1)如图1,分别过点E,F作EM∥AB,FN∥AB,
∴EM∥AB∥FN,
∴∠B=∠BEM=20°
,∠MEF=∠EFN,
又∵AB∥CD,AB∥FN,
∴CD∥FN,
∴∠D+∠DFN=180°
又∵∠D=110°
∴∠DFN=70°
∴∠BEF=∠MEF+20°
,∠EFD=∠EFN+70°
∴∠EFD=∠MEF+70°
∴∠EFD=∠BEF+50°
=100°
(2)如图1,分别过点E,F作EM∥AB,FN∥AB,
∴∠BEF=∠ME
F+20°
(3)如图2,过点F作FH∥EP,
由
(2)知,∠EFD=∠BEF+50°
设∠BEF=2x°
,则∠EFD=(2x+50)°
∵EP平分∠BEF,GF平分∠EFD,
∴∠PEF=
∠BEF=x°
,∠EFG=
∠EFD=(x+25)°
∵FH∥EP,
∴∠PEF=∠EFH=x°
,∠P=∠HFG,
∵∠HFG=∠EFG﹣∠EFH=25°
∴∠P=25°
10.解:
(1)如图1,∵AB∥CD,
∴∠1=∠EGD,
又∵∠2=2∠1,
∴∠2=2∠EGD,
又∵∠FGE=60°
∴∠EG
D=
﹣60°
)=40°
∴∠1=40°
(2)如图2,∵AB∥CD,
∴∠AEG+∠CGE=180°
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180°
又∵∠FEG+∠EGF=90°
∴∠AEF+∠GFC=90°
(3)如图3,∵AB∥CD,
∴∠AEF+∠CFE=180°
即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC=180°
又∵∠GFE=90°
,∠GEF=30°
,∠AEG=α,
∴∠GFC=180°
﹣30°
﹣α=60°
﹣α.
60°
11.解:
∴∠END=∠EFB,
∵∠EFB是△MEF的外角,
∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME,
∠E=∠END﹣∠BME;
∴∠CNP=∠NGB,
∵∠NPM是△GPM的外角,
∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA,
∵MQ平分∠BME,PN平分∠CNE,
∴∠CNE=2∠CNP,∠FME=2∠BMQ=2∠PMA,
∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP,
∵△EFM中,∠E+∠FME+∠MFE=180°
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°
即∠E+2(∠PMA+∠CNP)=180°
∴∠E+2∠NPM=180°
(3)如图3,延长AB交DE于G,延长CD交BF于H,
∴∠CDG=∠AGE,
∵∠ABE是△BEG的外角,
∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE,①
∵∠ABM=
∠NDE,
∴∠ABM=
∠AB
E=∠CHB,∠CDN=
∠CDE=∠FDH,
∵∠CHB是△DFH的外角,
∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=
∠ABE﹣
∠CDE=
(∠ABE﹣∠CDE),②
由①代入②,可得∠F=
∠E,
即
12.解:
(1)如图,延长DE交AB于H,
∴∠D=∠AHE=40°
∵∠AE
D是△AEH的外角,
∴∠AED=∠A+∠AHE=30°
+40°
=70°
70;
(2)∠EAF=∠AED+∠EDG.
∴∠EAF=∠EHC,
∵∠EHC是△DEH的外角,
∴∠EHG=∠AED+∠EDG,
∴∠EAF=∠AED+∠EDG;
(3)∵∠EAI:
2,
∴设∠EAI=α,则∠BAE=3α,
∵∠AED=22°
,∠DKE=∠AKI,
又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°
,∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°
∴∠EDK=α﹣2°
∵DI平分∠EDC,
∴∠CDE=2∠EDK=2α﹣4°
∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG,
即3α=22°
+2α﹣4°
解得α=18°
∴∠EDK=16°
∴在△DKE中,∠EKD=180°
﹣16°
﹣22°
=142°
13.解:
(1)∵AM∥BN,∴∠A+∠ABC=180°
∴∠ABC=180°
﹣∠A=180°
﹣108°
=72°
.
(2)与∠ABC相等的角是∠ADC、∠DCN.
∴∠ADC=∠DCN,∠ADC+∠BCD=180°
∴∠ADC=180°
﹣∠BCD=180°
∴∠DCN=72°
∴∠ADC=∠DCN=∠ABC.
(3)不发生变化.
∴∠AEB=∠EBC,∠ADB=∠DBC.
∵BD平分∠EBC,
∴∠DBC=
∠EBC,
∴∠ADB=
∠AEB,
∴∴
14.解:
∴∠ABN=180°
﹣∠A=120°
又∵BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=
(∠ABP+∠PBN)=
∠ABN=60°
(2)不变.理由如下:
∴∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN,
又∵BD平分∠PBN,
∴∠ADB=∠DBN=
∠PBN=
∠APB,即∠APB:
∠ADB=2:
1.
(3)∵AM∥BN,
∴∠ACB=∠CBN,
又∵∠ACB=∠ABD,
∴∠CBN=∠ABD,
∴∠
ABC=∠ABD﹣∠CBD=∠CBN﹣∠CBD=∠DBN,
∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN,
∴∠ABC=
∠ABN=30°
15.解:
(1)在图①中,过点C作CF∥AD,则CF∥BE.
∵CF∥AD∥BE,
∴∠ACF=∠A,∠BCF=180°
﹣∠B,
∴∠A
CB=∠ACF+∠BCF=180°
﹣(∠B﹣∠A)=120°
(2)在图2中,过点Q作QM∥AD,则QM∥BE.
∵QM∥AD,QM∥BE,
∴∠AQM=∠NAD,∠BQM=∠EBQ.
∵AQ平分∠CAD,BQ平分∠CBE,
∴∠NAD=
∠CAD,∠EBQ=
∠CBE,
∴∠AQB=∠BQM﹣∠AQM=
(∠CBE﹣∠CAD).
∵∠C=180°
﹣(∠CBE﹣∠CAD)=180°
﹣2∠AQB,
∴2∠AQB+∠C=180°
(3)∵AC∥QB,
∴∠AQB=∠CAP=
∠CAD,∠ACP=∠PBQ=
∴∠ACB=180°
﹣∠ACP=180°
∠CBE.
∵2∠AQB+∠ACB=180°
∴∠CAD=
又∵QP⊥PB,
∴∠CAP+∠ACP=90°
,即∠CAD+∠CBE=180°
∴∠CAD=60°
,∠CBE=120°
﹣(∠CB