工程数学课程自学考试大纲Word格式文档下载.docx
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解析函数与调和函数的关系；
指数函数、对数函数、三角函数、幂函数；
复变函数积分的概念、计算与性质；
柯西-古萨基本定理、复合闭路定理、柯西积分公式、解析函数的高阶导数；
复数项级数、幂级数、洛朗级数；
留数计算、留数在定积分计算上的应用；
映射的转动角，伸缩率；
分式线性映射，幂函数构成的映射，指数函数构成的映射；
拉普拉斯变换、性质及应用。
本课程的难点：
贝叶斯公式；
随机变量函数的概率密度；
随机变量函数的分布；
二维随机变量的边缘分布；
两个随机变量和的分布；
随机变量矩的概念；
统计中常用的三种分布；
抽样分布定理；
正态总体参数的区间估计。
复变函数的积分的计算；
洛朗级数展开；
留数在定积分计算上的应用；
几种保角映射的综合应用；
狄拉克函数及其傅氏变换；
拉氏逆变换和拉氏变换的应用。
Ⅱ考核目标
本大纲在考核目标中，按照识记、领会、简单应用和综合应用四个层次规定其应达到的能力层次要求。
四个能力层次是递升的关系，后者必须建立在前者的基础上。
各能力层次的含义是：
识记（Ⅰ）：
要求考生能够识别和记忆本课程中规定的有关知识点的主要内容（如定义、定理、定律、表达式、公式、重要结论、方法等），并能够根据考核的不同要求，做正确的表述、选择和判断。
领会（Ⅱ）：
要求考生能够领悟和理解大纲中规定的有关知识点的内涵及外延，熟悉它们的内容要点以及它们之间的区别和联系，并能根据考核的不同要求，做出正确的判断、解释。
简单应用（Ⅲ）：
要求考生能够运用本课程规定的少数知识点解决简单的计算、分析论证和简单的应用问题。
综合应用（Ⅳ）：
要求考生能够运用本课程规定的多个知识点解决较复杂的计算、分析论证和应用问题。
Ⅲ课程内容与考核要求
第一部分概率论与数理统计
教学主要参考教材：
《概率论与数理统计
（二）》孙洪祥、柳金甫主编，辽宁大学出版社，2006年版。
第一章随机事件与概率
一、学习目的与要求
通过本章学习，要求考生理解随机事件、概率、条件概率及事件的独立性的概念，掌握随机事件关系与运算，会计算简单的古典概型问题，掌握乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式及应用。
二、课程内容
1.1随机事件
1.2概率
1.3条件概率
1.4事件的独立性
三、考核知识点与考核要求
考核知识点:
1.随机事件关系与运算
2.概率的定义和性质
3.古典概型
4.条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式
5.事件的独立性
考核要求:
领会：
概率的定义和性质；
古典概型。
简单应用：
随机事件关系与运算；
条件概率；
事件的独立性。
1.理解和事件、积事件、互不相容事件、对立事件的意义和运算律。
2.会用概率性质计算有关概率问题。
3.会用计算较简单的古典概型问题。
4.会计算条件概率问题。
5.会用乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式计算概率问题。
6.理解事件的独立性，会用事件的独立性计算概率问题。
四、本章重点、难点
重点：
随机事件关系与运算，概率性质，古典概型问题，乘法公式、全概率公式、事件的独立性。
难点：
古典概型问题的计算、贝叶斯公式。
第二章随机变量及其概率分布
通过本章学习，考生应当理解随机变量及其分布函数、离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其概率密度的概念及性质；
了解随机变量函数的概念，掌握离散型随机变量分布律与分布函数及相关事件的概率的计算、连续型随机变量的概率密度与分布函数及相关事件的概率的计算；
掌握常用随机变量的分布及相关的概率计算：
0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布；
会求简单的随机变量函数的分布。
2.1离散型随机变量
2.2随机变量的分布函数
2.3连续型随机变量及其概率密度
考核知识点
1.随机变量的概念
2.分布函数的概念与性质
3.离散型随机变量及其分布
4.连续型随机变量及其概率密度
5.随机变量函数的分布
考核要求
识记：
随机变量的概念及分类。
随机变量的分布函数；
随机变量函数的分布。
离散型随机变量及其分布律。
综合应用：
连续型随机变量及其概率密度。
离散型随机变量及其分布律；
连续型随机变量及其概率密度；
二项分布，正态分布；
分布函数的概念；
连续型随机变量的概率密度及计算；
第三章多维随机变量及其概率分布
通过本章学习，考生应当理解二维随机变量及其分布函数、二维离散型随机变量的联合分布律、二维连续型随机变量及其联合概率密度的概念及性质；
理解二维随机变量的边缘分布函数、边缘密度函数、边缘分布律的概念；
掌握边缘分布函数、边缘密度函数、边缘分布律的计算；
了解随机变量的独立性的概念；
了解两个独立随机变量和的分布。
3.1多维随机变量的概念
3.2随机变量的独立性
3.3两个随机变量的函数的分布
1.多维随机变量的概念
2.二维离散型随机变量的联合分布律及边缘分布律
3.二维连续型随机变量联合概率密度及边缘概率密度
4.随机变量的独立性
5.两个独立随机变量和的分布
两个独立随机变量和的分布。
多维随机变量及其分布；
随机变量的独立性；
理解二维随机变量的分布函数及性质；
理解二维离散型随机变量的联合分布律及性质；
理解二维连续型随机变量概率密度的概念及性质；
了解二维均匀分布、二维正态分布的概念；
会判断二个离散型随机变量的独立性；
会判断二个连续型随机变量的独立性。
边缘分布：
（1）会求随机变量的边缘分布函数；
（2）会求二维离散型随机变量的边缘分布律；
（3）会求二维连续型随机变量的边缘概率密度；
（4）了解二维正态分布的边缘分布。
二维离散型随机变量的联合分布律及边缘分布律；
二维连续型随机变量联合概率密度及边缘概率密度。
边缘概率密度的计算，两个独立随机变量和的分布。
第四章随机变量的数字特征
通过本章学习，考生应当理解数学期望和方差的概念，掌握数学期望和方差的性质及计算；
掌握常用分布：
0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望和方差，了解协方差与相关系数的概念、性质及计算；
了解几种矩的概念与计算。
4.1随机变量数学期望
4.2方差
4.3协方差与相关系数
1.数学期望的概念及性质
2.方差的概念及性质
3.几种常用分布的数学期望与方差
4.协方差与相关系数
二维正态分布的相关系数的性质，几种矩的概念
协方差与相关系数
方差；
几种常用分布的数学期望与方差
数学期望
数学期望和方差的概念、性质及计算，协方差与相关系数
随机变量函数的数学期望
第五章大数定律及中心极限定理
本章是概率论与数理统计的理论基础。
通过本章学习，考生应当了解切比雪夫不等式、大数定律、中心极限定理的意思，为数理统计学习做理论准备。
5.1切比雪夫不等式
5.2大数定律
5.2中心极限定理
本章不做考试要求
独立同分布的中心极限定理
中心极限定理的简单应用
第六章统计量及其抽样分布
通过本章学习，考生应当了解总体与样本的概念；
了解总体分布与样本分布的概念；
理解统计量的概念；
掌握样本均值、样本方差及性质，了解样本矩概念；
了解三种分布
分布、
分布的定义及性质，了解它们的上分位数的概念；
掌握正态总体的抽样分布。
6.1引言
6.2总体与样本
6.3统计量及其分布
1．总体、简单随机样本
2．统计量
3．
分布
4．正态总体的抽样分布
总体与样本。
统计量；
几种常用统计量的性质及分布；
分布的定义及其上分位数的概念。
正态总体的抽样分布。
简单随机样本，统计量，正态总体的抽样分布。
第七章参数估计
通过本章学习，考生应当了解参数的点估计、估计量与估计值的概念；
掌握矩估计、极大似然估计的方法；
理解估计量的无偏性的概念，了解有效性、相合性的意义，会求单个正态总体均值和方差的置信区间。
7.1点估计的几种方法
7.2点估计的评价标准
7.3参数的区间估计
1．点估计
2．矩估计法
3．极大似然估计法
4．点估计的评价标准
5．单个正态总体均值和方差的置信区间
点估计的评价标准。
矩估计法、极大似然估计法、单个正态总体均值和方差的置信区间。
矩估计法、极大似然估计法、单个正态总体均值和方差的区间估计。
极大似然估计法。
第八章假设检验
通过本章学习，考生应当了解假设检验的基本思想和概念，掌握假设检验的基本步骤；
掌握单个正态总体均值和方差的假设检验。
8.1假设检验的基本思想和概念
8.2总体均值的假设检验
8.2正态总体方差的假设检验
1．假设检验的基本思想和基本步骤
2．单个正态总体均值和方差的假设检验（双侧检验）
假设检验的基本思想和基本步骤。
正态总体均值和方差的假设检验（双侧检验）。
重点与难点：
单个正态总体均值和方差的假设检验。
第二部分复变函数与积分变换
《复变函数与积分变换》刘吉佑主编，高等教育出版社，2015年版。
第一章复数
通过本章学习，考生应当深刻理解复数的概念；
熟悉复数的多种表示法，复数的四则运算及乘方和开方运算，理解复数的几何意义；
理解简单曲线和区域等概念；
会用复变量的方程表示常见曲线、不等式表示区域。
1.1复数及其表示法
1.2复数的运算
1.3复平面上的曲线和区域
1.4扩充复平面
1.复数的概念及其表示法
2.复数的运算及复数的几何意义
3.简单曲线和区域
4.扩充复平面
扩充复平面。
复数及其表示法；
简单曲线和区域。
复数的运算及复数的几何意义
复数的运算及复数的几何意义；
用复变量的方程表示常见曲线、不等式表示区域。
复数的开方运算，用复变量的方程表示常见曲线、不等式表示区域。
第二章解析函数
通过本章学习，考生应当理解复变函数的概念，理解复变函数的导数、解析函数的概念及柯西-黎曼条件，掌握可导、解析的充要条件，会判断复变函数的解析性；
掌握几种复变基本初等函数的概念、计算及性质。
2.1复变函数
2.2解析函数
2.3柯西—黎曼条件
2.4初等函数
1.复变函数的概念、极限和连续性
2.复变函数的导数
3.解析函数的概念
4.柯西—黎曼条件
5.初等函数
复变函数的极限和连续性。
复变函数的概念、解析函数的概念、复变初等函数。
柯西—黎曼条件。
（1）掌握复变函数的可导与解析的充要条件，会正确使用柯西—黎曼条件。
（2）会求复变函数的导数。
（3）记住指数函数，三角函数中正弦函数、余弦函数，对数函数，幂函数的定义、计算和性质；
会计算它们的函数值。
函数的解析性的判别，掌握和运用柯西-黎曼条件，几种复变初等函数的概念、计算及性质。
第三章复变函数的积分
通过本章学习，考生应当理解复变函数积分的概念并掌握它的基本性质；
掌握复积分的一般计算方法；
掌握柯西积分定理、柯西积分定理的推广---复合闭路定理、柯西积分公式、解析函数的高阶导数定理，并正确使用这些定理计算复积分；
掌握解析函数与平面调和函数的关系，并能由已知的调和函数求其共轭调和函数从而求得解析函数。
3.1复变函数的积分
3.2柯西积分定理
3.3柯西积分公式
3.4解析函数的高阶导数
3.5解析函数与平面调和函数的关系
1.复变函数积分的概念（领会）
2.复积分的存在性和复积分的计算（领会）
3.复积分的基本性质（领会）
4.柯西积分定理（简单应用）
5.原函数与不定积分（领会）
6.柯西积分定理的推广---复合闭路定理（简单应用）
7.柯西积分公式（简单应用）
8.解析函数的高阶导数（简单应用）
9.解析函数与平面调和函数的关系（简单应用）
复变函数积分的概念、性质和计算；
柯西积分定理，柯西积分定理的推广，柯西积分公式，解析函数的高阶导数定理；
解析函数与调和函数的关系。
第四章级数
本章在复数范围内讨论级数。
通过本章学习，考生应当了解复数项级数及收敛性的概念，理解其主要性质和定理；
理解幂级数及其收敛半径、收敛圆等概念，掌握幂级数收敛半径的求法及幂级数在收敛圆内的性质；
了解函数的泰勒级数及展开，记住几个主要函数的泰勒展开式，能用间接法把一些简单函数展开成幂级数；
理解洛朗级数的作用，会把一些在圆环域内简单的解析函数展开成洛朗级数。
4.1复数项级数与复变函数项级数
4.2幂级数
4.3泰勒级数
4.4洛朗级数
1.复数列的极限
2.复数项级数
3.幂级数的概念
4.幂级数的收敛定理和收敛半径，和函数的性质
5.幂级数的收敛定理和收敛半径
6.泰勒级数
7.函数的泰勒展开式
8.在圆环域内解析函数展开成洛朗级数
复数列的极限；
复数项级数；
复变函数项级数。
幂级数的概念。
幂级数的收敛定理和收敛半径，和函数的性质；
几个主要函数的泰勒展开式，用间接法把一些简单函数展开成幂级数；
洛朗级数及在圆环域内简单的解析函数展开成洛朗级数。
幂级数的收敛性及函数的幂级数展开；
在圆环域内解析函数洛朗级数展开。
函数展开成洛朗级数。
第五章留数及其应用
通过本章学习，考生应当理解函数的孤立奇点的概念，孤立奇点的分类并会判断奇点的类型；
理解留数的概念，掌握留数计算规则和方法，掌握留数定理并能熟练使用留数定理计算复积分，会用留数计算三种类型的实积分（留数在实积分计算上的应用）。
5.1函数的孤立奇点
5.2留数
5.3留数在实积分计算上的应用
1．函数的孤立奇点（领会）
2．留数的概念，留数的规则与计算，留数定理（简单应用）
3．留数在实积分计算上的应用（简单应用）
注意：
（1）会求复变函数的奇点，判断奇点的类型，指出极点的阶数。
（2）会求复变函数在孤立奇点处的留数。
（3）会用留数定理计算复积分。
（4）会用留数计算三种类型的实积分。
（5）无穷远点的留数不作考试要求。
函数的孤立奇点的判断；
留数的计算及应用；
。
留数的计算及应用。
第六章保形映射
通过本章学习，考生应当理解解析函数导数的辐角和模的几何意义，保角映射和保形映射的概念；
了解保形映射的几个重要定理（黎曼定理、边界对应原理）掌握分式线形映射的重要性质：
保角性、保圆形、保对称性；
理解初等函数中幂函数、指数函数的映射的几个特性。
6.1保形映射的概念
6.2分式线形映射
6.3几个初等函数所构成的保形映射
1．导数的几何意义（领会）
2．保形映射（领会）
3．保形映射的几个定理（识记）
4．分式线形映射及其性质（综合应用）
5．初等函数中幂函数、指数函数构成的映射（简单应用）
保形映射的概念；
分式线形映射。
几种映射性质的综合应用，即以分式线形映射为主的复合函数的映射。
第七章傅里叶变换
傅里叶变换在电学、力学和控制工程领域中有着广泛的应用。
通过本章学习，考生应当了解傅里叶积分及收敛定理，理解傅里叶变换及逆变换的概念，会用定义中公式计算一些较简单函数的傅里叶变换，了解单位脉冲函数的概念与性质，记住单位脉冲函数、指数衰减函数、余弦函数的傅里叶变换；
掌握傅里叶变换的性质，理解卷积与卷积定理。
7.1傅里叶变换
7.2单位脉冲函数及其傅里叶变换
7.3傅里叶变换的基本性质
7.4卷积与卷积定理
本章不作考试要求
傅里叶变换
单位脉冲函数的概念与性质；
卷积。
第八章拉普拉斯变换
拉普拉斯变换在电学、力学、无线电技术和控制工程领域中有着广泛的应用，由于拉普拉斯变换中对象原函数的条件要比傅里叶变换的条件弱很多，因此，拉普拉斯变换的应用面更广。
通过本章学习，考生应当理解拉普拉斯变换及逆变换的概念；
理解拉普拉斯变换存在定理；
记住单位脉冲函数、单位阶跃函数、指数函数、正弦函数、余弦函数和幂函数的拉普拉斯变换；
掌握拉普拉斯变换的线性性质、位移性质、微分性质、积分性质；
理解卷积与卷积定理；
会用性质或留数法或卷积定理求函数的普拉斯变换及逆变换；
能运用普拉斯变换及逆变换求解常系数线性微分方程、积分方程。
8.1拉普拉斯变换的概念
8.2拉普拉斯变换的性质
8.3拉普拉斯逆变换
8.4卷积与卷积定理
8.5拉普拉斯变换的应用
1．拉普拉斯变换的概念
拉普拉斯变换的定义公式；
拉普拉斯变换存在定理。
常用函数的拉普拉斯变换。
2．拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯变换的线性性质、位移性质、微分性质、积分性质。
3．拉普拉斯逆变换
用拉普拉斯变换的性质计算拉普拉斯逆变换。
用留数法计算拉普拉斯逆变换。
4．卷积与卷积定理
卷积定义；
卷积定理。
用卷积定理计算拉普拉斯逆变换。
5．拉普拉斯变换的应用
用拉普拉斯变换及逆变换求解常系数线性微分、积分方程。
用拉普拉斯变换及逆变换；
拉普拉斯变换的应用。
拉普拉斯逆变换。
Ⅳ关于大纲的说明与考核实施要求
一、自学考试大纲的目的和作用
课程自学考试大纲是根据专业自学考试计划的要求，结合自学考试的特点而确定。
其目的是对个人自学、社会助学和课程考试命题进行指导和约定。
课程自学考试大纲明确了课程学习的内容以及深广度，规定了课程自学考试的范围和标准。
因此，它是编写自学考试教材和辅导书的依据，是社会助学组织进行自学辅导的依据，是自学者学习教材、掌握课程内容知识范围和程度的依据，也是进行自学考试命题的依据。
二、课程自学考试大纲与教材的关系
课程自学考试大纲是进行学习和考核的依据，教材是学习掌握课程知识的基本内容与范围，教材的内容是大纲所规定的课程知识和内容的扩展与发挥。
大纲与教材所体现的课程内容基本一致；
大纲里面的课程内容和考核知识点，教材里都有。
而教材里有的内容，大纲里不一定体
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