成人高考高升专数学模拟试题及答案docx文档格式.docx
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x2cosx
(C)y
|lnx|
(D)y
2x
(4)某校老年,中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为
(A)90
(B)100
(C)180
(D)300
(5)执行如果所示的程序框图,输出的k值为
(A)3
(B)4
(C)5
(D)6
(6)设
a,b
是非零向量,“agb
|a||b|”是“
a//b”的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
(7)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为
(A)1
(B)2
(C)3
(D)2
(8)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻
两次加油时的情况。
注:
“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内,该车每
100千米平均耗油量为
(A)6升
(B)8升
(C)10升
(D)12升
第二部分(非选择题共
110分)
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9)复数i(1i)的实部为________________
(10)23,32,log25三个数中最大数的是
________________
(11
)在△ABC中,a3,b
6,
A
B________________
,则
3
(12
)已知(2,0)是双曲线
b
1(b0)
的一个焦点,则
x2y
(13
)如图,ABC及其内部的点组成的集合记为
D,P(x,y)为D
中任意一点,则z2x
3y的最大值为________________
(14
)高三年级267位学生参加期末考试,
某班37位学生的语文成
绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示,
甲、
乙、丙为该班三位学生。
从这次考试成绩看,
①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________________
②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是________________
三、解答题(共6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)
(15)(本小题13分)
已知函数f(x)sinx23sin2
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在区间0,2上的最小值。
(16)(本小题13分)
已知等差数列{an}满足a1a210,a4a32.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设等比数列{bn}满足b2a3,b3a7.问:
b6与数列{an}的第几项相等?
(17)(本小题13分)
某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×
”表示未购买。
商品
甲
乙
丙
丁
顾客人数
100
√
×
217
200
300
85
98
(Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率
(Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率
(Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大?
(18)(本小题
14分)
如图,在三棱锥
VABC中,平面VAB
平面ABC,
VAB为等边三角形,AC
BC且
ACBC
2,
O,M分别为AB,VA的中点。
(Ⅰ)求证:
VB//平面MOC.
(Ⅱ)求证:
平面MOC平面VAB
(Ⅲ)求三棱锥VABC的体积。
(19)(本小题13
分)
设函数f(x)
x
klnx,k0
(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)证明:
若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,e]上仅有一个零点。
(20)(本小题14分)
已知椭圆C:
x2
3y2
3,过点
且不过点
的直线与椭圆C交于A,B两点,直线
AE与直线x3交于点M.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;
(Ⅲ)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由。
参考答案
一、选择题(共
8
(1)A
(2)D
(3)B
(4)C
(5)B
(6)A
(7)C
(8)B
二、填空题(共
6
5分,共30
(9)-1
(10)log25
(11)
(12)
4
(13)7
(14)乙
数学
三、解答题(共
小题,共80分)
(15)(共13分)解:
(Ⅰ)因为f(x)
sinx
3cosx
2sin(x
)
所以f(x)的最小正周期为
(Ⅱ)因为0x
,所以
当x
,即x
时,f(x)取得最小值
所以f(x)在区间[0,
上的最小值为
]
f()3
(16)(共13分)解:
(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d
因为a4
a3
2,所以d
又因为a1
a2
10,所以2a1
d10,故a14
所以an
42(n1)2n
(n1,2,...)
(Ⅱ)设等比数列{bn}的公比为q
因为b2a38,b3a716
所以q2,b14
所以b64261128
由1282n2得n63
所以b6与数列{an}的第63项相等
(17)(共13分)解:
(Ⅰ)从统计表可以看出,在这1000为顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购
买乙和丙的概率可以估计为0.2
1000
(Ⅱ)从统计表可以看出,在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200为
顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品。
所以顾客在甲、乙、丙、丁中
同时购买3种商品的概率可以估计为
(Ⅲ)与(Ⅰ)同理,可得:
100200
0.3
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为
0.2,
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为
0.6,
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为
0.1
,
所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大。
(18)(共14分)解:
(Ⅰ)因为O,M分别为AB,VA的中点,
所以OM//VB
又因为VB平面MOC,
所以VB//平面MOC
(Ⅱ)因为ACBC,O为AB的中点,
所以OCAB
又因为平面VAB平面ABC,且OC平面ABC,
所以OC
平面
VAB
所以平面MOC
平面VAB
(Ⅲ)在等腰直角三角形
ACB中,AC
BC
所以AB
2,OC1
所以等边三角形
VAB的面积SVAB
又因为OC
平面VAB,
所以三棱锥C
VAB的体积等于1OCgSVAB
又因为三棱锥V
ABC的体积与三棱锥
CVAB的体积相等,
所以三棱锥V
ABC的体积为
(19)(共13分)
解:
x2
0)
得
(Ⅰ)由f(x)
klnx(k
k
f(x)x
由f(x)
0解得x
f(x)与f
(x)在区间(0,
)上的情况如下:
(0,
k)
(k,)
f(x)
-
+
k(1
lnk)
Z
所以,f(x)的单调递减区间是
k),单调递增区间是(
k,
);
f(x)在x
k处取得极小值
f(
k(1lnk)
k(1lnk)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
f(x)在区间(0,
)上的最小值为f(
因为f(x)存在零点,所以
k(1
lnk)
e
0,从而
当k
e时,f(x)在区间(1,e)上单调递减,且
f(e)
0,
所以x
e是f(x)在区间(1,
e]上的唯一零点。
e时,f(x)在区间(0,
e)上单调递减,且
0,f(
f
(1)
e)
所以f(x)在区间(1,e]上仅有一个零点。
综上可知,若
f(x)存在零点,则
f(x)在区间(1,
e]上仅有一个零点。
(20)(共14分)解:
(Ⅰ)椭圆C的标准方程为xy21
所以a
3,b1,c
c
所以椭圆C的离心率e
a
(Ⅱ)因为AB过点D(1,0)
且垂直于x轴,所以可设A(1,y1),B(1,y1)
直线AE的方程为y
1(1
y1)(x
2)
令x
3,得M(3,2
y1)
所以直线BM的斜率kBM
2y1
y1
(Ⅲ)直线BM与直线DE平行。
证明如下:
当直线AB的斜率不存在时,有(Ⅱ)可知kBM1
又因为直线DE的斜率kDE
1,所以BM//DE
当直线AB的斜率存在时,设其方程为
y
k(x
1)(k
1)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y
(x2)
x1
令x3
,得点M(3,y1
3)
3y2
3,
得(13k
6k
3k
30
由
k(x
)x
所以x1
6k2
2,x1x2
3k2
y2
直线BM的斜率kBM
因为kBM
k(x11)x1
3k(x21)(x1
2)(3x2)(x12)
(3x2)(x1
(k1)[x1x2
2(x1
x2)3]
(k
1)(3k2
12k2
3k2
(3
x2)(x1
所以kBM
kDE
所以BM//DE
综上可知,直线BM与直线DE平行。