第二十一讲矩形菱形正方形Word文档下载推荐.docx

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有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形

2、性质：

⑴正方形四个角都都是角，

⑵正方形四边条都

⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角

3、判定：

⑴先证是矩形，再证

⑵先证是菱形，再证

1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。

这四者之间的关系可表示为：

2、正方形也既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴

3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】

考点分析

考点一：

与矩形有关的折叠问题

例1（2013•泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10

cm，且tan∠EFC=

，那么该矩形的周长为（　　）

A．72cmB．36cmC．20cmD．16cm

对应训练

1．（2013•湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：

AC=3：

5，则

的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点二：

和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题

例2（2013•泉州）如图，菱形ABCD的周长为8

，对角线AC和BD相交于点O，AC：

BD=1：

2，则AO：

BO=1：

2

，菱形ABCD的面积S=16

．

2．（2013•凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°

，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（　　）

A．14B．15C．16D．17

考点三：

和正方形有关的证明题

例3（2013•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为

和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．

（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？

说明你的理由；

（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．

3．（2013•三明）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．

（1）求证：

△BCP≌△DCP；

（2）求证：

∠DPE=∠ABC；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°

，则∠DPE=58

度．

考点四：

四边形综合性题目

例4（2013•资阳）在一个边长为a（单位：

cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．

（1）如图1，当点M与点C重合，求证：

DF=MN；

（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以

cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；

①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．

②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？

若能，请写出a，t之间的关系；

若不能，请说明理由．

4．（2013•营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°

，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．

（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；

②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°

，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=

，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．

真题训练

1．（2013•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　）

A．BC=ACB．CF⊥BFC．BD=DFD．AC=BF

2．（2013•枣庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（　　）

-1B．3-

+1D．

-1

3．（2013•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°

，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．

4．（2013•烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画

，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为4π

5．（2013•济南）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：

①CE=CF；

②∠AEB=75°

；

③BE+DF=EF；

④S正方形ABCD=2+

其中正确的序号是①②④

（把你认为正确的都填上）．

6．（2013•济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．

AF=BE；

（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？

并说明理由．

7．（2013•青岛）已知：

如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．

△ABM≌△DCM；

（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；

（3）当AD：

AB=2：

1

时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）

8．（2013•淄博）矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4．

（1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？

说明理由；

（2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形．要求：

在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．

9．（2013•济南）

（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：

BE=CD；

（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；

（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？

简单说明理由；

（3）运用

（1）、

（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°

，∠CAE=90°

，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．

课后作业

一、选择题

1．（2013•铜仁地区）下列命题中，真命题是（　　）

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线互相平分的四边形是平行四边形

D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

2．（2013•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）

A．两组对边分别平行B．对角线相等

C．对角线互相平分D．两组对角分别相等

3．（2013•随州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°

．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（　　）

A．25B．20C．15D．10

4．（2013•重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（　　）

A．6cmB．4cmC．2cmD．1cm

5．（2013•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°

，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．12B．24C．12

D．16

6．（2013•巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（　　）

A．24B．16C．4

D．2

7.（2013•茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°

，AD=2，则AC的长是（　　）

A．2B．4C．2

D．4

8．（2013•成都）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（　　）

A．1B．2C．3D．4

9．（2013•包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（　　）

A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S2

10．（2013•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°

，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（　　）

A．50°

B．60°

C．70°

D．80°

11．（2013•绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（　　）

cmB．

cmC．

cmD．

cm

12．（2013•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：

①BE=DF，②∠DAF=15°

，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（　　）个．

A．2B．3C．4D．5

二、填空题

13．（2013•宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为多少度时90，两条对角线长度相等？

14．（2013•淮安）若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是3

15．（2013•无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长等于4

16．（2013•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°

，则菱形的面积为．

17．（2013•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=

，BE=4，则tan∠DBE的值是2

18．（2013•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，则tanE=．

19．（2013•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若

，则

用含k的代数式表示）．

20．（2013•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为．

21．（2013•北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为20

22．（2013•南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°

，则EF=cm．

23．（2013•舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为．

24．（2013•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是．

25．（2013•荆州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB=30°

，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：

①△A1AD1≌△CC1B；

②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形；

③当x=2时，△BDD1为等边三角形；

④s=

（x-2）2 

（0＜x＜2）；

其中正确的是①②③④

（填序号）．

三、解答题

26．（2013•南通）如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．

求证：

四边形BCDE是矩形．

27．（2013•广州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长．

28．（2013•厦门）如图所示，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于点F．在线段AG上取点H，使得AG=DE+HG，连接BH．求证：

∠ABH=∠CDE．

29．（2013•黔东南州）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：

AM=EF．

30．（2013•铁岭）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．

四边形AEBD是矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．

31．（2013•南宁）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．

△ABE≌△CDF；

（2）若∠B=60°

，AB=4，求线段AE的长．

32．（2013•贵阳）已知：

如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．

AE=EC；

（2）当∠ABC=60°

，∠CEF=60°

时，点F在线段BC上的什么位置？

说明理由．

33．（2013•曲靖）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF交DE于点G．

△DCF≌△ADG．

（2）若点E是AB的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．

35．（2013•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°

，∠ABC=45°

，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF

（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；

（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；

①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；

②若正方形ADEF的边长为2

，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．

36．（2013•盘锦）如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°

得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．

（1）如图?

，当点P在CB延长线上时，求证：

四边形PCFE是平行四边形；

（2）如图‚，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；

（3）在

（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？

若有，请求出面积的最大值及此时BP长；

若没有，请说明理由．