完整版变化率与导数及导数的计算docWord文档格式.docx
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f（x）＝lnx
f′（x）＝x
三、导数的运算法则
1．[f（x）±
g（x）]′＝f′（x）±
g′（x）；
2．[f（x）·
g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；
fx′＝f′xgx－fxg′x
（g（x）≠0）．
3.gx
[gx]2
1．（教材习题改编）若f（x）＝xex，则f′
（1）＝（
）
A．0
B．e
C．2e
D．e2
解析：
选C
∵f′（x）＝ex＋xex，∴f′
（1）＝2e.
2．曲线y＝xlnx在点（e，e）处的切线与直线
x＋ay＝1垂直，则实数
a的值为（）
A．2
B．－2
C.2
D．－2
选A
依题意得
|
y′＝1＋lnx，y′x＝e＝1＋lne＝2，所以－1×
2＝－1，a＝2.
a
3
2
3．（教材习题改编）某质点的位移函数是s（t）＝2t
－gt
（g＝10m/s），则当t＝2s时，它
的加速度是（
A．14m/s2
B．4m/s2
C．10m/s2
D．－4m/s2
由v（t）＝s′（t）＝6t2－gt，a（t）＝v′（t）＝12t－g，得t＝2时，a
（2）＝v′
（2）
＝12×
2－10＝14（m/s2）．
4．（2012·
东高考广）曲线y＝x3－x＋3在点（1,3）处的切线方程为________．
∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×
12－1＝2.
∴该切线方程为y－3＝2（x－1），即2x－y＋1＝0.
答案：
2x－y＋1＝0
5．函数y＝xcosx－sinx的导数为________．
y′＝（xcosx）′－（sinx）′
＝x′cosx＋x（cosx）′－cosx
＝cosx－xsinx－cosx
＝－xsinx.
－xsinx
1.函数求导的原则
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导
法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
2．曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区别与
联系
（1）曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′（x0）的切线，
是唯一的一条切线．
（2）曲线y＝f（x）过点P（x0，y0）的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不
是切点，而且这样的直线可能有多条．
典题导入
[例1]用定义法求下列函数的导数．
（1）y＝x2；
[自主解答]
4
（2）y＝x2.
（1）因为
y＝fx＋x－fx
＝x＋x2－x2x
x2＋2x·
Δx＋x2－x2
＝
＝2x＋x，
所以y′＝
y
（2x＋x）＝2x.
x＝
x2x＋x
（2）因为
y＝x＋
x2－x2＝－
x2x＋x
，
y＝－4·
2x＋x
x2x＋x2
8
－4·
＝－3.
所以lim
x＋x
由题悟法
根据导数的定义，求函数y＝f（x）在x＝x0处导数的步骤
（1）
求函数值的增量
y＝f（x0＋x）－f（x0）；
（2）
求平均变化率
y＝fx0＋x－fx0
；
（3）
计算导数f′（x）＝lim.
以题试法
1．一质点运动的方程为s＝8－3t2.
（1）求质点在[1,1＋t]这段时间内的平均速度；
（2）求质点在t＝1时的瞬时速度（用定义及导数公式两种方法求解）．
解：
（1）∵s＝8－3t2，
∴s＝8－3（1＋t）2－（8－3×
12）＝－6t－3（t）2，
s
v＝t＝－6－3t.
（2）法一（定义法）：
质点在t＝1时的瞬时速度
v＝lim
s＝lim
（－6－3t）＝－6.
t→0
t
t→0
法二（导数公式法）：
质点在t时刻的瞬时速度
v＝s′（t）＝（8－3t2）′＝－6t.
当t＝1时，v＝－6×
1＝－6.
[例2]求下列函数的导数．
ex＋1
（1）y＝x2sinx；
（2）y＝ex－1；
[自主解答]
（1）y′＝（x2）′sinx＋x2（sinx）′＝2xsinx＋x2cosx.
ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′
（2）y′＝
ex－12
ex
ex－1－ex＋1ex－2ex
2.
－1
＝x
－1
e
则y′＝（lnu）′u′＝
2x－5·
2＝
2x－5
即y′＝
求导时应注意：
（1）求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．
（2）对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．
2．求下列函数的导数．
（1）y＝ex·
lnx；
（2）y＝xx2＋1x＋x13；
（1）y′＝（ex·
lnx）′
x1
lnx＋
＝elnx＋e·
＝e
（2）∵y＝x3＋1＋12，∴y′＝3x2－23.
xx
[例3]
（1）（2011山·
东高考）曲线y＝x3＋11在点P（1，12）处的切线与
y轴交点的纵坐标
是（）
A．－9
B．－3
C．9
D．15
（2）设函数f（x）＝g（x）＋x2，曲线y＝g（x）在点（1，g
（1））处的切线方程为
y＝2x＋1，则曲线
y＝f（x）在点（1，f
（1））处切线的斜率为（）
A．－4
B．2
C．4
（1）y′＝3x2，故曲线在点P（1,12）处的切线斜率是
3，故切线方程是y－12
＝3（x－1），令x＝0得y＝9.
（2）∵曲线y＝g（x）在点（1，g
（1））处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′
（1）＝k＝2.
又f′（x）＝g′（x）＋2x，
∴f′
（1）＝g′
（1）＋2＝4，故切线的斜率为4.
[答案]
（1）C
（2）C
若例3
（1）变为：
曲线y＝x3＋11，求过点解：
因点P不在曲线上，设切点的坐标为
由y＝x3＋11，得y′＝3x2，
∴k＝y′|x＝x0＝3x0.
又∵k＝y0－13，∴x0＋11－13＝3x02
－0
x0
∴x3＝－1，即x＝－1.
00
∴k＝3，y0＝10.
∴所求切线方程为y－10＝3（x＋1），
即3x－y＋13＝0.
P（0,13）且与曲线相切的直线方程．
（x0，y0），
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：
（1）已知切点A（x0，f（x0））求斜率k，即求该点处的导数值：
k＝f′（x0）；
（2）已知斜率k，求切点A（x1，f（x1）），即解方程f′（x1）＝k；
（3）已知切线过某点M（x1，f（x1））（不是切点）求切点，设出切点A（x0，f（x0）），利用k＝
fx1－fx0＝f′（x0）求解．x1－x0
3．
（1）（2012新·
课标全国卷）曲线y＝x（3lnx＋1）在点（1,1）处的切线方程为________．
（2）（2013
乌·
鲁木齐诊断性测验
）直线
y＝2x＋b
与曲线
y＝－2x＋lnx相切，则
b的值为
（
A．－2
B．－1
C．－2
D．1
（1）y′＝3lnx＋1＋3，所以曲线在点
（1,1）处的切线斜率为
4，所以切线方程为
－1＝4（x－1），即y＝4x－3.
（2）设切点的坐标为
a，－
，依题意，对于曲线
y＝－
1＋
1，
2a＋lna
2x＋lnx，有y′＝－
所以－1＋1＝1，得a＝1.又切点
1，－
1＝1＋b，得b＝－1.
2a2
在直线y＝2x＋b上，故－22
（1）y＝4x－3
（2）B
1．函数f（x）＝（x＋2a）（x－a）2的导数为（
A．2（x2－a2）
B．2（x2＋a2）
C．3（x2－a2）
D．3（x2＋a2）
f′（x）＝（x－a）2＋（x＋2a）[2（x－a）]＝3（x2－a2）．
2．已知物体的运动方程为
s＝t2＋3（t是时间，s是位移），则物体在时刻
t＝2时的速度
为（）
19
17
A.4
B.4
15
13
C.4
D.4
选D
∵s′＝2t－
t2，∴s′|t＝2＝4－4
＝4.
3．（2012哈·
尔滨模拟）已知a为实数，函数f（x）＝x3＋ax2＋（a－2）x的导函数f′（x）是偶
函数，则曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为
A．y＝－3xB．y＝－2x
C．y＝3xD．y＝2x
选B∵f（x）＝x3＋ax2＋（a－2）x，
∴f′（x）＝3x2＋2ax＋a－2.
∵f′（x）为偶函数，∴a＝0.
∴f′（x）＝3x2－2.∴f′（0）＝－2.
∴曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为
y＝－2x.
4．设曲线y＝
1＋cosx
π
处的切线与直线
x－ay＋1＝0平行，则实数a等于（
在点
，1
sinx
A．－1
B.2
D．2
选A
－sin2x－1＋cosxcosx
－1－cosx
∵y′＝
sin2x
，∴y′|x＝＝－1.由条件知
sin2x
＝－1，∴a＝－1.
5．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点
P到直线y＝x－2的最小距离为（）
A．1
B.
C.2
D.
选B
设P（x0，y0）到直线y＝x－2的距离最小，则
y′|x＝x0＝2x0－
1＝1.
得x0＝1或x0＝－2（舍）．
∴P点坐标（1,1）．
∴P到直线y＝x－2距离为d＝|1－1－2|＝2.1＋1
6．f（x）与
g（x）是定义在
R上的两个可导函数，若
f（x），g（x）满足
f′（x）＝g′（x），则
f（x）
与g（x）满足（
A．f（x）＝g（x）
B．f（x）＝g（x）＝0
C．f（x）－g（x）为常数函数
D．f（x）＋g（x）为常数函数
选C由f′（x）＝g′（x），得f′（x）－g′（x）＝0，
即[f（x）－g（x）]′＝0，所以f（x）－g（x）＝C（C为常数）．
7．（2013·
州模拟郑）已知函数f（x）＝lnx－f′（－1）x2＋3x－4，则f′
（1）＝________.
∵f′（x）＝－2f′（－1）x＋3，
f′（－1）＝－1＋2f′（－1）＋3，
∴f′（－1）＝－2，∴f′
（1）＝1＋4＋3＝8.
8
8．（2012辽·
宁高考）已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点
P，Q的横坐标分别为4，
－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点
A，则点A的纵坐标为________．
易知抛物线
y＝x2上的点P（4,8），Q（－2,2），且y′＝x，则过点P的切线方程为
y＝4x－8，过点Q的切线方程为
y＝－2x－2，联立两个方程解得交点
A（1，－4），所以点A
的纵坐标是－4.
－4
9．（2012黑·
龙江哈尔滨二模
）已知函数f（x）＝2x－4sinx－4cosx的图象在点A（x0，y0）
处的切线斜率为
1，则tanx0＝________.
由f（x）＝1x－
1sinx－
3cosx得f′（x）＝
1－1cosx＋
3sinx，
sinx0＝1，
则k＝f′（x0）＝
－cosx0＋
即2sinx0
－2cosx0＝1，即sinx0－6＝1.
2π
所以x0－
＝2kπ＋，k∈Z，解得x0＝2kπ＋
，k∈Z.
6
故tanx0＝tan2kπ＋
＝tan
－3
10．求下列函数的导数．
（1）y＝x·
tanx；
（2）y＝（x＋1）（x＋2）（x＋3）；
（1）y′＝（x·
tanx）′＝x′tanx＋x（tanx）′
cos2x＋sin2x
＝tanx＋x·
cosx
′＝tanx＋x·
cos2x
＝tanx＋cos2x.
（2）y′＝（x＋1）′（x＋2）（x＋3）＋（x＋1）[（x＋2）（x＋3）]′＝（x＋2）（x＋3）＋（x＋1）（x＋2）＋（x
＋1）（x＋3）＝3x2＋12x＋11.
11．已知函数
f（x）＝x－x，g（x）＝a（2－lnx）（a>
0）．若曲线
y＝f（x）与曲线
y＝g（x）在
x＝1
处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．
根据题意有
曲线
y＝f（x）在
x＝1处的切线斜率为
f′
（1）＝3，
y＝g（x）在x＝1处的切线斜率为
g′
（1）＝－a.
所以
f′
（1）＝g′
（1），即
a＝－3.
曲
x＝1的切方程
y－f
（1）＝3（x－1），
得：
y＋1＝3（x－1），即切方程
3x－y－4＝0.
y＝g（x）在x＝1的切方程
y－g
（1）＝3（x－1）．
得y＋6＝3（x－1），即切方程3x－y－9＝0，所以，两条切不是同一条直．
12．函数f（x）＝x3＋ax2－9x－1，当曲y＝f（x）斜率最小的切与直
12x＋y＝6平
行，求a的．
a2
f′（x）＝3x2＋2ax－9＝3x＋32－9－
，即当x＝－
，函数f′（x）取得最小－9
12x＋y＝6平行，
－
3，因斜率最小的切与
即切的斜率－
12，所以－9－
＝－12，
即a2＝9，即a＝±
3.
1．（2012
·
丘二模商
）等比数列
{an}中，a1＝2，a8＝4，f（x）＝x（x－a1）（x－a2）⋯（x－a8），f′（x）
函数
f（x）的函数，
f′（0）＝（
A．0B．26
C．29D．212
D∵f（x）＝x（x－a1）（x－a2）⋯（x－a8），
∴f′（x）＝x′（x－a1）⋯（x－a8）＋x[（x－a1）⋯（x－a8）]′＝（x－a1）⋯（x－a8）＋x[（x－a1）⋯（x－a8）]′，
∴f′（0）＝（－a1）·
（－a2）·
⋯·
（－a8）＋0＝a1·
a2·
a8＝（a1·
a8）4＝（2×
4）4＝（23）4＝212.
2．已知f1（x）＝sinx＋cosx，f2（x）＝f1′（x）
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