第02单元平行线类.docx

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第02单元平行线类

第02单元平行线类

联想融通：

试试看，由“平行”二字你能想起多少相关知识与题目.

平行是两直线最基本的位置关系之一，是最常见背景图形，平行线也是最常用的辅助线.在初中几何中，平行常与中点、角、角平分线、相似（含全等）、特殊四边形（如平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形）、等腰三角形、等积转换、平移、函数等知识相结合.本单元只对“通过平行求角、利用平行进行等积转换、平行与函数综合”三类题目进行研究，其它题型，在后面的课时里遇到时再详细研究.

1、知平行求角构造“三线八角”

联想融通：

在平行的前提下求角，怎么入手？

名词解释：

“三线八角”指两条直线被第三条直线所截成的八个角.

解法归一：

利用平行线这个背景，构造三线八角，再结合三角形内角和、外角关系来解决.

例2-1-1图2-1-1所示是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为（）

A．120°B．100°C．140°D．90°

图2-1-1备用图

交流分享：

法一是通过延长BC来构造三线八角，发二是通过作平行线构造三线八角.

例2-1-2

（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则∠BPD，∠B，∠D的数量关系是________________；

（2）如图2，AB∥CD，则∠BPD，∠B，∠D的数量是关系为__________________；

（3）在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？

（直接写出，不需证明）；

（4）根据（3）的结论，求图4中∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F六个角的和．

交流分享：

前三同造三线八角、找内外角关系，第四问最重要的是：

在图4中找出类图3的凹四边形（裤衩形），再“用结论！

”.

体验与感悟2-1

1．如图2-1-3，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3=（　　）.

A．50°B．60°C．70°D．80°

图2-1-1图2-1-4

2．如图2-1-4，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（　　）.

A．20°B．25°C．30°D．35°

3．如图2-1-5，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于E，F两点，EP平分∠AEF，过点F作FP⊥EP，垂足为P，若∠PEF=30°，则∠PFC=60．

图2-1-5图2-1-6

4、如图2-1-6，五边形ABCDE中，AB//CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）

5、如图2-1-7，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）

A、30°B、20°C、15°D、14°

图2-1-7图2-1-8

6、如图2-1-8，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE等于（　　）

A．23°B．16°C．20°D．26°

7、如图2-1-9，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：

线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．（提示：

有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°．）

（1）当动点P落在第①部分时（如图1），求证：

∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）当动点P落在第②部分时（如图2），∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？

（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应结论，选择其中一个结论并加以说明．

图2-1-9备用图1备用图2

提醒：

请回味与感悟一下已知平行线求角的一般方法，哪个题目需要再看看.

二、找（或造）平行进行等积转换

联想融通：

同形状改变，面积不变的题目怎么做呢？

解法归一：

见到图形的等积转换题目用平行.即：

在背景图形中，找到（或作出）平行线，再构造同底等高的三角形进行等积转化.

注意：

在大题中，常常是“照着做、用结论！

”即：

（1）前面怎么做，后面就怎么做；

（2）化成前面问题中的图形或和前面问题类似的图形，再按前面的方法做；（3）后面用前面的结论.

例2-2-1（老梁原创）

探究规律

如图2-2-1①，已知AB//MN,点C在MN上，请在直线AB的上方，找出一个不同于C的点D，画出△ABD，并使得△ABC使与△ABD的面积相等。

（1）点D在____________，AB与CD的位置关系：

________________；

（2）△ABC与△ABD的面积相等的理由___________________________；

解决问题

（3）如图2-2-1②中，点B在线段FC上，在线段FC同侧作正方形ABCD及正方形EFBG，连接AC、EC、AE得到△AEC，如果设FB=a,BC=b,则△AEC的面积等于_____________;

（4）你在图2-2-1③中作出一个和四边形ABCD面积相等的三角形，作法是：

交流分享：

本题的

（1）知平行，直接根据同底等高面积相等找等积三角形；

（2）③连BE后AC//BE，即可得△ABC与△ACE等积；④连BD分割出三角形，然后利用同底等高进行等积转换．

体验与感悟2-2

1、如图2-2-2，以矩形ABCD的对角线BD为一边构造矩形BDEF，使得边EF过原矩形的顶点C.设Rt△CBD的面积为，Rt△BFC的面积为，Rt△DCE的面积为，则+（用“”、“=”、“”填空）.

图2-2-2图2-2-3

2、如图2-2-3，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是（）

A、B、2C、3D、

3、已知正方形ABCD的边长为4，E是射线CD上的一个动点，以CE为一条直角边在正方形ABCD的右侧作等腰Rt△CEF．连接BF、FD、BD.

观察计算

（1）①如图2-2-4①，当CE=4时，S△BDF=____；

（2）如图2-2-4②．当CE=2时，S△BDF=____；

（3）如图2-2-4③，当CE=8时，S△BDF=____．

图2-2-4①图2-2-4②图2-2-4③

探索发现

（4）BD与CF的位置关系是_____________；

（5）△BDF的面积与正方形ABCD的面积关系是__________________；

实际运用

（6）农民赵大伯有一块正方形的土地ABCD（如图2-2-2④），由于修路被占去一块三角形的地BCE，但决定在DE的右侧补给赵大伯一块，使补偿后的土地四边形ABMD与原地块面积相等．已知M、B、E三点在同一直线上，请你画图确定村点的位置，并用文字说明画法。

联想拓展

小明在完成上面的问题后悟到了其规律，于是出了下面的两个题目给同学们做.请你也试一试.

（7）如图2-2-4⑤，已知大正方形ABCD和小正方形CEFG的边长分别是5和4，那么阴影部分的面积等于；

图2-2-4⑤

（8）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图2-2-4⑥所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为.

图2-2-4⑥图2-2-5

4、在图2-2-5中的CM边上找一点F，使得直线EF左边的部分面积等于五边形ABCDE的面积.要求：

直接在图2-2-5中画出相应的图形，不写画法.）

5、如图2-2-6，已知线段AC=n+l（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME.当AB=l时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3，…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n2时，=.

图2-2-6

6、规律：

如图2-2-7①，已知直线m∥n，A、B为直线n上的两点．C、P为直线m上的两点.如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到任何位置总有△ABP与△ABC的面积相等，其理由是:

_____________________________________.

图2-2-7①图2-2-6②图2-2-6③图2-2-6④

应用

（1）如图2-2-7②，△ABC和△CDE都是等边三角形，如果AB=1，则△ABE的面积为_______________；

（2）如图2-2-7③，四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，如果AB=2．则△ACF的面积为____________；

（3）如图2-2-7④，五边形ABCDE和五边形BFGHP都是正五边形，如果AB=a，求△ACH的面积（注本题结果用三角函数表示）．

7．探究：

已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点．

（1）如图2-2-8①，当点M与点B重合时，=_________；

（2）如图2-2-8②，当点M与点A、点B不重合时，=_________；

（3）如图2-2-8③，当点M在AB（或BA）的延长线上时，=_________；

图2-2-8①图2-2-8②图2-2-8③

推广：

如图2-2-8④，平行四边形ABCD的面积为a，E、F分别为DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE，求出图中阴影部分的面积和，并简要说明理由．

图2-2-7④图2-2-7⑤

运用：

如图2-2-8⑤，平行四边形ABCD是我市某广场的一块绿地，PQ、MN分别平行于DC、AD，交于点O，其中四边形AMOP的面积等于300，四边形MBQO的面积等于400，四边形NCQO的面积等于700.现进行绿地改造，在绿地内部做一个三角形区域MQD（图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形（△MQD）区域的面积．

提醒：

请回味与感悟一下利用平行进行面积转换的技巧.

三、平行与函数

联想融通：

你能想起几种平行的判定方法呢？

平行与函数有什么关系？

怎么结合呢？

解法归一：

注意利用背景函数的性质、特点转化为第1问中的图形，再利用第1问中的方法或结论解决.即：

照着做，用结论！

例2-3

探究新知

（1）如图2-3-1①，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

图2-3-1①

结论应用

（2）如图2-3-1②，点M、N在反比例函数（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，试证明：

MN∥EF.

图2-3-1②

（3）若

（2）中的其他条件不变，只改变点M、N的位置如图2-3-1③，请判断MN与EF是否平行．

图2-3-1③

交流分享：

（1）如果两个同底的三角形面积相等，并且第三个顶点在底的同侧，则可得平行；

（2）从双曲线上任意两点M、N各向一条坐标轴作垂线，垂足分别为E、F，则MN//EF.

体验与感悟2-3

1、如图2-3-2，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列结论：

①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤AB//FE.