新版高中数学人教A版选修12教学案第一章1Word格式文档下载.docx

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（4）独立性检验

定义

利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验

公式

K2＝

，

其中n＝a＋b＋c＋d

具体

步骤

①确定α，根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0.

②计算K2，利用公式计算随机变量K2的观测值k.

③下结论，如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；

否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”

[问题思考]

（1）有人说：

“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟和患肺癌有关，是指每100个吸烟者中就会有99个患肺癌的．”你认为这种观点正确吗？

为什么？

观点不正确．犯错误的概率不超过0.01说明的是吸烟与患肺癌有关的程度，不是患肺癌的百分数．

（2）应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的吗？

不一定．所有的推断只代表一种可能性，不代表具体情况．

（3）下面是2×

2列联表.

33

21

54

13

46

34

则表中a，b处的值应为多少？

a＝46－13＝33，b＝33＋a＝33＋33＝66.

[课前反思]

（1）分类变量的定义是什么？

（2）列联表的定义是什么？

2×

2列联表中的各个数据有什么意义？

（3）什么是等高条形图，有什么作用？

（4）独立性检验的内容是什么？

1．在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人．六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；

六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主．请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用与判断二者是否有关系．

[尝试解答]　2×

2列联表如下：

年龄在六

十岁以上

十岁以下

饮食以蔬菜为主

43

64

饮食以肉类为主

27

60

70

124

将表中数据代入公式得

＝＝0.671875.＝＝0.45.

显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系．

（1）作2×

2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．计算时要准确无误．

（2）利用2×

2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×

2列联表，然后根据频率特征，即将与的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣．

1．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×

2列联表为：

10

18

m

26

则当m取下面何值时，X与Y的关系最弱（　　）

A．8　　　　B．9　　　　C．14　　　　D．19

解析：

选C　由10×

26≈18m，解得m≈14.4，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱．

2．某学校对高三学生作了一项调查发现：

在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类型是否有关系．

[尝试解答]　作列联表如下：

性格内向

性格外向

考前心情紧张

332

213

545

考前心情不紧张

94

381

475

426

594

1020

相应的等高条形图如图所示：

图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的人数的比例，从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向的人数占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向的人数占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．

利用等高条形图判断两个分类变量是否相关的步骤：

2．在调查的480名男人中有38人患色盲，520名女人中有6名患色盲，试利用图形来判断色盲与性别是否有关？

解：

根据题目给出的数据作出如下的列联表：

色盲

不色盲

男

38

442

480

女

6

514

520

44

956

1000

根据列联表作出相应的等高条形图：

从等高条形图来看，在男人中患色盲的比例要比在女人中患色盲的比例大得多，因此，我们认为患色盲与性别是有关系的．

3．研究人员选取170名青年男女大学生为样本，对他们进行一种心理测验．发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：

作肯定的有22名，否定的有38名；

110名男生在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：

性别与态度之间是否存在某种关系？

用独立性检验的方法判断．（链接教材P13－例1）

附：

P（K2≥k0）

0.10

0.05

0.025

k0

2.706

3.841

5.024

[尝试解答]　根据题目所给数据建立如下2×

2列联表：

肯定

否定

男生

22

88

110

女生

126

170

根据2×

2列联表中的数据得到：

k＝≈5.622>

5.024.

所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“性别与态度有关系”．

根据题意列出2×

2列联表，计算K2的观测值，如果K2的观测值很大，说明两个分类变量有关系的可能性很大；

如果K2的观测值比较小，则认为没有充分的证据显示两个分类变量有关系．

3．在一次天气恶劣的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：

男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；

女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：

在天气恶劣的飞机航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？

3.848

根据题意，列出2×

晕机

不晕机

男乘客

24

31

55

女乘客

8

32

57

89

假设在天气恶劣的飞机航程中男乘客不比女乘客更容易晕机．

由公式可得K2的观测值

k＝

＝≈3.689>

2.706，

故在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为“在天气恶劣的飞机航程中男乘客比女乘客更容易晕机”．

——————————————[课堂归纳·

感悟提升]——————————

1．本节课的重点是用2×

2列联表、等高条形图分析两个分类变量间的关系以及独立性检验．

2．本节课要重点掌握的规律方法

（1）用2×

2列联表分析两分类变量间的关系，见讲1；

（2）用等高条形图分析两分类变量间的关系，见讲2；

（3）独立性检验，见讲3.

3．解决一般的独立性检验问题的步骤：

（1）通过列联表确定a，b，c，d，n的值，根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；

（2）利用K2＝求出K2的观测值k；

（3）如果k≥k0，就推断“两个分类变量有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“两个分类变量有关系”．

其中第

（2）步易算错K2的值，是本节课的易错点．

课下能力提升

（二）

[学业水平达标练]

题组1　用2×

2列联表分析两分类变量间的关系

1．分类变量X和Y的列联表如下：

则下列说法正确的是（　　）

A．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱

B．ad－bc越大，说明X与Y关系越强

C．（ad－bc）2越大，说明X与Y关系越强

D．（ad－bc）2越接近于0，说明X与Y关系越强

选C　|ad－bc|越小，说明X与Y关系越弱，|ad－bc|越大，说明X与Y关系越强．

2．假设有两个变量X与Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其列联表为：

以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为（　　）

A．a＝50，b＝40，c＝30，d＝20

B．a＝50，b＝30，c＝40，d＝20

C．a＝20，b＝30，c＝40，d＝50

D．a＝20，b＝30，c＝50，d＝40

选D　当（ad－bc）2的值越大，随机变量K2＝的值越大，可知X与Y有关系的可能性就越大．显然选项D中，（ad－bc）2的值最大．

3．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

文艺节目

新闻节目

20至40岁

40

58

大于40岁

15

42

45

100

由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：

________（填“是”或“否”）．

因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即＝，＝，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．

答案：

是

题组2　用等高条形图分析两分类变量间的关系

4．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（　　）

A．性别与喜欢理科无关

B．女生中喜欢理科的百分比为80%

C．男生比女生喜欢理科的可能性大些

D．男生不喜欢理科的比为60%

选C　从图中可以分析，男生喜欢理科的可能性比女生大一些．

5．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（　　）

选D　在四幅图中，D图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．

6．为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下：

父母吸烟

父母不吸烟

子女吸烟

237

83

320

子女不吸烟

678

522

1200

915

605

1520

利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响？

等高条形图如图所示：

由图形观察可以看出父母吸烟者中子女吸烟的比例要比父母不吸烟者中子女吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关系”．

题组3　独立性检验

7．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（　　）

A．平均数与方差B．回归分析

C．独立性检验D．概率

选C　判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验．

8．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是（　　）

A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小

B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小

C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小

D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大

选B　k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大，即k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．

9．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：

①若K2的观测值k>

6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；

②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；

③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．

K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；

说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；

说法③正确．

③

10．为了解决高二年级统计案例入门难的问题，某校在高一年级的数学教学中设有试验班，着重加强统计思想的渗透，下面是高二年级统计案例的测验成绩统计表（单位：

分）的一部分，试分析试验效果.

70及70分以下

70分以上

对照班

50

试验班

12

56

0.010

0.005

6.635

7.879

根据列联表中的数据，由公式得K2的观测值

＝≈16.234.

因为16.234>

6.635，

所以，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为高二年级统计案例的测试成绩与高一年级数学教学中增加统计思想的渗透有联系．

[能力提升综合练]

1．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是（　　）

A．k≥6.635B．k<

C．k≥7.879D．k<

选C　有99.5%的把握认为事件A和B有关系，即犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879.

2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

爱好

20

不爱好

30

由K2＝算得，观测值k＝≈7.8.

附表：

0.050

0.001

10.828

参照附表，得到的正确结论是（　　）

A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

选A　由k≈7.8及P（K2≥6.635）＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．

3．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（　　）

表1　　　　　　　　　　

成绩性别

不及格

及格

14

16

36

52

表2

视力性别

好

差

4

表3　　　　　　　　　　

智商性别

偏高

正常

表4

阅读量性别

丰富

不丰富

2

A．成绩B．视力

C．智商D．阅读量

选D　因为K＝

＝，

K＝＝，

k＝＝，

则有K>

K>

K，

所以阅读量与性别有关联的可能性最大．

4．下列关于K2的说法中，正确的有________．

①K2的值越大，两个分类变量的相关性越大；

②K2的计算公式是K2＝；

③若求出K2＝4>

3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；

④独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H0的推断．

对于①，K2的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能判断相关性大小，故①错；

对于②，（ad－bc）应为（ad－bc）2，故②错；

③④对．

③④

5．某班主任对全班50名学生作了一次调查，所得数据如表：

认为作业多

认为作业不多

喜欢玩电脑游戏

9

不喜欢玩电脑游戏

23

由表中数据计算得到K2的观测值k≈5.059，于是________（填“能”或“不能”）在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．

查表知若要在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关，则临界值k0＝6.635，本题中，k≈5.059<

6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．

不能

6．随着生活水平的提高，人们患肝病的越来越多，为了解中年人患肝病与经常饮酒是否有关，现对30名中年人进行了问卷调查得到如下列联表：

常饮酒

不常饮酒

合计

患肝病2

不患肝病18

合计30

已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肝病患者的概率为.

（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关？

说明你的理由；

（2）现从常饮酒且患肝病的中年人（恰有2名女性）中，抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？

参考数据：