学年第二学期高三理科数学第二轮专题复习《概率统计》学案Word格式文档下载.docx
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出险次数
频数
60
50
30
20
10
（1）记A为事件：
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P（A）的估计值；
（2）记B为事件：
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P（B）的估计值；
（3）求续保人本年度的平均保费的估计值.
考点整合
1.概率的取值范围是[0，1]，即0≤P（A）≤1，必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0.
2.古典概型：
P（A）＝
.
题型示例：
[微题型1] 古典概型的单一考查
【例1－1】（2016·
山东卷）
某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.
（1）求小亮获得玩具的概率；
（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
探究提高 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择.
[微题型2] 古典概型与其它知识的交汇
【例1－2】某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.
（1）求x和y的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取2名学生，求甲班至少有1名学生的概率.
探究提高 古典概型常和频率与概率间关系、茎叶图、样本的数字特征交汇考查，此类题目横跨两部分知识，但分解开后并不难解决.
【训练1】（2016·
南宁模拟）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级.若S≤4，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标（x，y，z）
（1，1，2）
（2，1，1）
（2，2，2）
（1，1，1）
（1，2，1）
A6
A7
A8
A9
A10
（1，2，2）
（2，2，1）
（2，1，2）
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，
（ⅰ）用产品编号列出所有可能的结果；
（ⅱ）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率.
小结：
古典概型中基本事件数的探求方法主要有
（1）列举法：
（2）树状图法：
（3）列表法：
第二课时
几何概型的概率求法，互斥事件、对立事件的概率计算
几何概型的概率计算
几何概型与其他知识的结合
（2016·
全国Ⅱ卷）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
C.
1.几何概型
P（A）＝
2.事件A，B互斥，那么事件A＋B发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P（A＋B）＝P（A）＋P（B）.
3.在一次试验中，对立事件A和
不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P（
）＝1－P（A）.
一 对几何概型的考查
【例1】
（1）（2016·
山东卷）在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆（x－5）2＋y2＝9相交”发生的概率为________.
（2）（2016·
全国Ⅰ卷）某公司的班车在7：
30，8：
00，8：
30发车，小明在7：
50至8：
30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
B.
D.
探究提高 当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；
利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.
【训练1】
（1）（2015·
陕西卷）设复数z＝（x－1）＋yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（ ）
＋
C.
－
（2）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮互不影响，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________.
二 互斥事件与对立事件的概率
【例2】（2016·
武汉二模）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购
物量
1至
4件
5至
8件
9至
12件
13至
16件
17件及以上
顾客数（人）
x
25
y
结算时间
（分钟/人）
1.5
2.5
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）
探究提高 解此类题的关键是理解频率与概率间的关系，互斥事件是指不可能同时发生的事件，要考虑全面，防止遗漏.
【训练2】（2016·
郑州3月模拟）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间（分钟）
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
选择L2的人数
16
（1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
（2）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.
1对于几何概型，要先清楚是哪种几何度量之比；
2.当某事件的概率不易直接求解，但其对立事件的概率易求解时，可运用对立事件的概率公式（若事件A与事件B为对立事件，则P（A）＋P（B）＝1），即用间接法求概率.
第2讲 统计与统计案例
高考定位 1.以选择题、填空题考查的内容有样本数字特征的计算、频率分布直方图、条形图、茎叶图、线性回归方程、独立性检验等；
2.以解答题考查线性回归直线方程、独立性检验以及概率与统计的交汇，都属于中、低档题，也是必得分的题目.
全国Ⅰ卷）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：
元），n表示购机的同时购买的易损零件数.
（1）若n＝19，求y与x的函数解析式；
（2）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
1.系统抽样：
如果遇到
不是整数的情况，可以先从总体中随机剔除几个个体，使得总体中剩余的个体能被样本容量整除.
2.在频率分布直方图中，小长方形的面积＝频率，各小长方形的面积的总和等于1.
3.方差与标准差
s2＝
[（x1－
）2＋（x2－
）2＋…＋（xn－
）2]，
s＝
4.回归直线
＝
x＋
经过样本点的中心点（
，
），若x取某一个值代入回归直线方程
中，可求出y的估计值.
5.独立性检验
对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y，其样本频数列联表是：
y1
y2
总计
x1
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
a＋c
b＋d
n
则K2＝
（其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量）.
热点一 统 计
[微题型1] 抽样方法
【例1－1】（2015·
湖南卷）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：
分钟）的茎叶图如图所示
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（ ）
A.3B.4C.5D.6
[微题型2] 频率分布直方图
【例1－2】（2016·
北京卷）某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费.
探究提高 利用频率分布直方图估计样本的数字特征
（1）中位数：
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值.
（2）平均数：
平均数为频率分布直方图的“重心”，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
（3）众数：
在频率分布直方图中，众数是最高的矩形底边的中点的横坐标.
[微题型3] 茎叶图与数字特征
【例1－3】（2016·
合肥5月模拟）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：
h）.试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
探究提高
（1）平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动，而中位数和众数都不具备此性质.
（2）众数考查各数据出现的频率，当一组数据中有不少数据多次出现时，众数往往更能反映问题.
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势.
热点二 统计案例
[微题型1] 对回归直线方程的考查
【例2－1】（2015·
全国Ⅰ卷）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：
千元）对年销售量y（单位：
t）和年利润z（单位：
千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
·
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中
i.
（1）根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d
哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？
（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据
（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据
（2）的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：
对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
探究提高 若x，y为线性相关，可直接求其线性回归方程；
若x，y为非线性相关，可通过换元先建立线性回归方程，然后再转化为非线性回归方程.
[微题型2] 对独立性检验的考查
【例2－2】某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表：
女
男
喜爱
40
不喜爱
110
试根据样本估计总体的思想，估计约有________的把握认为“喜爱该节目与否和性别有关”.
参考附表：
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
（参考公式：
K2＝
，其中
n＝a＋b＋c＋d）
探究提高 独立性检验的具体步骤是：
第一步，根据题意确定临界值并作无关假设；
第二步，找相关数据，列出2×
2列联表；
第三步，由公式K2＝
（其中n＝a＋b＋c＋d）计算出K2的观测值；
第四步，将K2的观测值与临界值进行比较，进而作出推断.
【训练2】某单位为了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温x（℃）
13
－1
用电量y（度）
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程
中
＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为（ ）
A.65B.66C.67D.68
热点三 概率与统计的交汇
【例3】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），…，[80，90），[90，100].
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50）的概率.
探究提高 概率试题的核心是概率计算，统计试题的核心是样本数据的分布；
概率与统计综合解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，因此在复习该部分时，要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本的数字特征的计算方法和各类概率的计算方法.解答此类试题时要做到：
（1）读取图表的数据要准确；
（2）在计算古典概型概率时，基本事件的总数要计算准确.
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