最新整理高考数学专题汇编理科数学解析版13概率.docx

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最新整理高考数学专题汇编理科数学解析版13概率

高考真题分类汇编：

概率

1*【高考真题辽宁理10】在长为12cm的线段AB上任取一点C*现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】设线段AC的长为cm，则线段CB的长为（）cm,那么矩形的面积为cm2，

由，解得。

又，所以该矩形面积小于32cm2的概率为，故选C

【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。

2*【高考真题湖北理8】如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆?

在扇形OAB

内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

A*B*

C*D*

【答案】A

第8题图

【解析】令，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为，围成OC为，作对称轴OD，则过C点。

即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积，。

在扇形OAD中为扇形面积减去三角形OAC面积和，，，扇形OAB面积，选A*

3*【高考真题广东理7】从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是

A*B*C*D*

【答案】D

【解析】法一：

对于符合条件“个位数与十位数之和为奇数的两位数”分成两种类型：

一是十位数是奇数，个位数是偶数，共有个，其中个位数为0的有10,30,50,70,90共5个；二是十位数是偶数，个位数是奇数，共有，所以*故选D*

法二：

设个位数与十位数分别为，则，1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以分别为一奇一偶，第一类为奇数，为偶数共有个数；第二类为偶数，为奇数共有个数。

两类共有45个数，其中个位是0，十位数是奇数的两位有10,30,50,70,90这5个数，所以其中个位数是0的概率是，选D。

4*【高考真题福建理6】如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为

A*B?

C?

D?

【答案】Ｃ*

【解析】根据定积分的几何意义可知阴影部分的面积，而正方形的面积为１，所以点Ｐ恰好取自阴影部分的概率为*故选Ｃ*

5*【高考真题北京理2】设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是

（A）（B）（C）（D）

【答案】D

【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此，故选D。

6*【高考真题上海理11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）。

【答案】

【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为。

7*【高考真题新课标理15】某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：

小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

【答案】

【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布

得：

三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为

超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率

那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为*

8*【高考江苏6】（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲*

【答案】。

【考点】等比数列，概率。

【解析】∵以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，

∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是。

9*【高考真题四川理17】（本小题满分12分）

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；

（Ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望。

【答案】本题主要考查独立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力*

【解析】

10*【高考真题湖北理】（本小题满分12分）

根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：

mm）对工期的影响如下表：

降水量X

工期延误天数

0

2

6

10

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0*3，0*7，0*9?

求：

（Ⅰ）工期延误天数的均值与方差；

（Ⅱ）在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率?

【答案】（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：

，

*

*

所以的分布列为：

0

2

6

10

0*3

0*4

0*2

0*1

于是，；

*

故工期延误天数的均值为3，方差为?

（Ⅱ）由概率的加法公式，

又?

由条件概率，得*

故在降水量X至少是mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是?

11*【高考江苏25】（10分）设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，*

（1）求概率；

（2）求的分布列，并求其数学期望*

【答案】解：

（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，

∴共有对相交棱。

∴。

（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，

∴，。

∴随机变量的分布列是：

0

1

∴其数学期望。

【考点】概率分布、数学期望等基础知识。

【解析】

（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率。

（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出，从而求出（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量的分布列，求出其数学期望。

12*【高考真题广东理17】（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：

[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]*

（1）求图中x的值；

（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望*

【答案】本题是在概率与统计的交汇处命题，考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。

【解析】

13*【高考真题全国卷理19】（本小题满分12分）（注意：

在试题卷上作答无效）

乒乓球比赛规则规定：

一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换*每次发球，胜方得1分，负方得0分*设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0*6，各次发球的胜负结果相互独立*甲、乙的一局比赛中，甲先发球*

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望*

【答案】

14*【高考真题浙江理19】（本小题满分14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：

取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分*现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和*

（Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）求X的数学期望E（X）*

【答案】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。

（Ⅰ）X的可能取值有：

3，4，5，6*

；；

；*

故，所求X的分布列为

X

3

4

5

6

P

（Ⅱ）所求X的数学期望E（X）为：

E（X）＝*

15*【高考真题重庆理17】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分*）

甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票*约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束*设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响*

（Ⅰ）求甲获胜的概率；

（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望

【答案】

16*【高考真题江西理29】（本题满分12分）

如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）。

（1）求V=0的概率；

（2）求V的分布列及数学期望。

【答案】

【点评】本题考查组合数，随机变量的概率，离散型随机变量的分布列、期望等?

高考中，概率解答题一般有两大方向的考查*一、以频率分布直方图为载体，考查统计学中常见的数据特征：

如平均数，中位数，频数，频率等或古典概型；二、以应用题为载体，考查条件概率，独立事件的概率，随机变量的期望与方差等*来年需要注意第一种方向的考查*

17*【高考真题湖南理17】本小题满分12分）

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示*

一次购物量

1至4件

5至8件

9至12件

13至16件

17件及以上

顾客数（人）

30

25

10

结算时间（分钟/人）

1

1*5

2

2*5

3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％*

（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；

（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2*5分钟的概率*

（注：

将频率视为概率）

【答案】

（1）由已知,得所以

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得

的分布为

X

1

1*5

2

2*5

3

P

X的数学期望为

*

（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2*5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则

*

由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以

*

故该顾客结算前的等候时间不超过2*5分钟的概率为*

【解析】

【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列