函数及其表示复习教案绝对经典Word文档下载推荐.docx

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（4）相等函数：

如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；

这是判断两函数相等的依据．

2．函数的三种表示方法

表示函数的常用方法有：

解析法、列表法、图象法．

3．映射的概念

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

A→B为从集合A到集合B的一个映射．

一个方法

求复合函数y＝f（t），t＝q（x）的定义域的方法：

①若y＝f（t）的定义域为（a，b），则解不等式得a＜q（x）＜b即可求出y＝f（q（x））的定义域；

②若y＝f（g（x））的定义域为（a，b），则求出g（x）的值域即为f（t）的定义域．

两个防范

（1）解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．

（2）用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．

三个要素

函数的三要素是：

定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f：

A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.

双基自测

1．（人教A版教材习题改编）函数f（x）＝log2（3x＋1）的值域为（　　）．

A．（0，＋∞）B．[0，＋∞）

C．（1，＋∞）D．[1，＋∞）

解析　∵3x＋1＞1，

∴f（x）＝log2（3x＋1）＞log21＝0.

答案　A

2．若f（x）＝

，则f（x）的定义域为（　　）．

A.

B.

C.

D．（0，＋∞）

解析　由log

（2x＋1）＞0，即0＜2x＋1＜1，

解得－

＜x＜0.

3．下列各对函数中，表示同一函数的是（　　）．

A．f（x）＝lgx2，g（x）＝2lgx

B．f（x）＝lg

，g（x）＝lg（x＋1）－lg（x－1）

C．f（u）＝

，g（v）＝

D．f（x）＝（

）2，g（x）＝

答案　C

4．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（　　）．

A．y＝

B．y＝

C．y＝

D．y＝

解析　根据规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为y＝

.故选B.

答案　B

5．函数y＝f（x）的图象如图所示．那么，f（x）的定义域是________；

值域是________；

其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．

解析　任作直线x＝a，当a不在函数y＝f（x）定义域内时，直线x＝a与函数y＝f（x）图象没有交点；

当a在函数y＝f（x）定义域内时，直线x＝a与函数y＝f（x）的图象有且只有一个交点．

任作直线y＝b，当直线y＝b与函数y＝f（x）的图象有交点，则b在函数y＝f（x）的值域内；

当直线y＝b与函数y＝f（x）的图象没有交点，则b不在函数y＝f（x）的值域内．

答案　[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2）∪（4,5]

考向一　求函数的定义域

【例1】►求下列函数的定义域：

（1）f（x）＝

；

（2）f（x）＝

.

[审题视点]理解各代数式有意义的前提，列不等式解得．

解　

（1）要使函数f（x）有意义，必须且只须

解不等式组得x≥3，因此函数f（x）的定义域为[3，＋∞）．

（2）要使函数有意义，必须且只须

即

解得：

－1<

x<

1.

因此f（x）的定义域为（－1,1）．

求函数定义域的主要依据是

（1）分式的分母不能为零；

（2）偶次方根的被开方式其值非负；

（3）对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.

【训练1】

（1）已知f（x）的定义域为

，求函数y＝f

的定义域；

（2）已知函数f（3－2x）的定义域为[－1,2]，求f（x）的定义域．

解　

（1）令x2－x－

＝t，

知f（t）的定义域为

，

∴－

≤x2－x－

≤

整理得

⇒

∴所求函数的定义域为

∪

（2）用换元思想，令3－2x＝t，

f（t）的定义域即为f（x）的定义域，

∵t＝3－2x（x∈[－1,2]），∴－1≤t≤5，

故f（x）的定义域为[－1,5]．

考向二　求函数的解析式

【例2】►

（1）已知f

＝lgx，求f（x）；

（2）定义在（－1,1）内的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），求函数f（x）的解析式．

[审题视点]

（1）用代换法求解；

（2）构造方程组求解．

解　

（1）令t＝

＋1，则x＝

∴f（t）＝lg

，即f（x）＝lg

（2）x∈（－1,1）时，有2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1）．①

以－x代x得，2f（－x）－f（x）＝lg（－x＋1）．②

由①②消去f（－x）得

f（x）＝

lg（x＋1）＋

lg（1－x），x∈（－1,1）．

求函数解析式的方法主要有：

（1）代入法；

（2）换元法；

（3）待定系数法；

（4）解函数方程等．

【训练2】

（1）已知f（x）是二次函数，若f（0）＝0，且f（x＋1）＝f（x）＋x＋1，试求f（x）的表达式．

（2）已知f（x）＋2f（

）＝2x＋1，求f（x）．

解　

（1）由题意可设f（x）＝ax2＋bx（a≠0），则

a（x＋1）2＋b（x＋1）＝ax2＋bx＋x＋1

ax2＋（2a＋b）x＋a＋b＝ax2＋（b＋1）x＋1

∴

解得a＝

，b＝

因此f（x）＝

x2＋

x.

（2）由已知得

消去f

得f（x）＝

考向三　分段函数

【例3】设函数f（x）＝

则满足f（x）≤2的x的取值范围是（　　）．

A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞）D．[0，＋∞）

[审题视点]对于分段函数应分段求解，最后再求其并集．

解析　f（x）≤2⇔

或

⇔0≤x≤1或x＞1，故选D.

答案　D

分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，如本例中，需分x≤1和x＞1时分别解得x的范围，再求其并集．

【训练3】已知实数a≠0，函数f（x）＝

若f（1－a）＝f（1＋a），则a的值为________．

解析　分类讨论：

（1）当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.

这时f（1－a）＝2（1－a）＋a＝2－a；

f（1＋a）＝－（1＋a）－2a＝－1－3a.

由f（1－a）＝f（1＋a），得2－a＝－1－3a，

解得a＝－

不符合题意，舍去．

（2）当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，

这时f（1－a）＝－（1－a）－2a＝－1－a；

f（1＋a）＝2（1＋a）＋a＝2＋3a，

由f（1－a）＝f（1＋a），得－1－a＝2＋3a，

综合

（1），

（2）知a的值为－

答案　－

阅卷报告1——忽视函数的定义域

【问题诊断】函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误．

【防范措施】研究函数的任何问题时，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．

【示例】►求函数y＝log

（x2－3x）的单调区间．

错因　忽视函数的定义域，把函数y＝log

t的定义域误认为R导致出错．

实录　设t＝x2－3x.

∵函数t的对称轴为直线x＝

故t在

上单调递减，在

上单调递增．

∴函数y＝log

（x2－3x）的单调递增区间

是

，单调递减区间是

正解　设t＝x2－3x，由t＞0，得x＜0或x＞3，即函数的定义域为（－∞，0）∪（3，＋∞）．

函数t的对称轴为直线x＝

故t在（－∞，0）上单调递减，在

而函数y＝log

t为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数y＝log

（x2－3x）的单调递增区间是（－∞，0），单调递减区间是（3，＋∞）．

【试一试】求函数f（x）＝log2（x2－2x－3）的单调区间．

[尝试解答]　由x2－2x－3＞0，得x＜－1或x＞3，

即函数的定义域为（－∞，－1）∪（3，＋∞）．

令t＝x2－2x－3，则其对称轴为x＝1，故t在（－∞，－1）上是减函数，在（3，＋∞）上是增函数．

又y＝log2t为单调增函数．

故函数y＝log2（x2－2x－3）的单调增区间为（3，＋∞），单调减区间为（－∞，－1）．