数学知识点新人教A版高中数学选修2221《合情推理与演绎推理》word学案1总结.docx

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数学知识点新人教A版高中数学选修2221《合情推理与演绎推理》word学案1总结

课题:

合情推理

（一）

时间：

2010.03

●学习目标：

知识与技能：

（1）了解归纳推理的含义

（2）掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

过程与方法：

由部分到整体，由个别到一般，通过“自主、合作与探究”掌握归纳推理的方法和步骤，实现“一切以学生为中心”的理念。

（3）情感态度、价值观：

感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

●学习重点：

归纳推理及方法的总结。

●学习难点：

归纳推理的含义及其具体应用。

●教具准备：

辅助课件

●学习过程：

一.问题情境

（1）原理初探

引入：

“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！

”

提问：

大家认为可能吗？

他为何敢夸下如此海口？

理由何在？

探究：

他是怎么发现“杠杆原理”的？

从而引入两则小典故：

：

一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？

B：

修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？

正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

思考：

整个过程对你有什么启发？

启发：

在教师的引导下归纳出：

“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

归纳推理的发展过程

（2）皇冠明珠

追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠—“歌德巴赫猜想”。

世界近代三大数学难题之一。

哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。

1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。

如6＝3＋3，12＝5＋7等等。

公元1742年6月7日哥德巴赫（Goldbach）写信给当时的大数学家欧拉（Euler），提出了以下的猜想:

（a）任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

（b）任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。

欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。

从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。

当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如:

6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13,....等等。

有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想（a）都成立。

但验格的数学证明尚待数学家的努力。

从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。

200年过去了，没有人证明它。

哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。

到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。

1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：

每一个比大的偶数都可以表示为（99）。

这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。

思考：

其他偶数是否也有类似的规律？

讨论：

组织学生进行交流、探讨。

检验：

2和4可以吗？

为什么不行？

归纳：

通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。

二.数学建构

●概念：

归纳推理（归纳）________________________________________________________________________________________________________________________

注:

归纳推理的特点;

简言之,归纳推理是由__________________________________的推理。

●归纳推理的一般步骤：

三.师生活动

例1前提：

蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.

结论：

例2前提：

三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……

结论：

例3

探究：

上述结论都成立吗？

强调：

归纳推理的结果不一定成立！

——“一切皆有可能！

”

四达标练习：

1.在数列{}中，，，试猜想这个数列的通项公式。

2.观察下面的“三角阵”：

1

11

121

1331

14641

1104545101

试找出相邻两行数之间的关系。

提高巩固

2.2.能力培养

思考：

怎么求？

组织学生进行探究，寻找规律。

归纳：

由学生讨论，归纳技巧，得到技巧和。

技巧②:

有整数和分数时,往往将整数化为分数.

技巧③:

当分子分母都在变化时,往往统一分子（或分母）,再寻找另一部分的变化规律.

五过关检测：

1．观察：

，所得的结果都是24的倍数，继续试验，你能得到什么猜想？

2．在数列{}中，，，试猜想这个数列的通项公式。

3．探求凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系。

六.课堂小结

（1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。

通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

（2）归纳推理的一般步骤：

通过观察个别情况发现某些相同的性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）

证明

七．师生反思：

课题：

类比推理

辉县市第二高级中学高二数学组时间：

2010.03

●学习目标：

知识与技能：

（1）了解类比推理的含义

（2）掌握类比推理的技巧，从而掌握合情推理，并能运用解决实际问题。

过程与方法：

通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。

类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

情感态度、价值观：

正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。

●学习重点：

了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

●学习难点：

用类比进行推理，做出猜想。

●教具准备：

辅助课件

●学习过程：

一．问题情境

从一个传说说起：

春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.

他的思路是这样的：

茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.

这个推理过程是归纳推理吗？

二．学习活动

我们再看几个类似的推理实例。

探究1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：

猜想不等式的性质：

（1）a=b⇒a+c=b+c;

（1）a＞b⇒a+c＞b+c;

（2）a=b⇒ac=bc;

（2）a＞b⇒ac＞bc;

（3）a=b⇒a2=b2;等等。

（3）a＞b⇒a2＞b2;等等。

问：

这样猜想出的结论是否一定正确？

探究2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.

圆的定义：

__________________________________________________球的定义：

__________________________________________________

圆球

弦←→截面圆

直径←→大圆

周长←→表面积

面积←→体积

圆的性质

球的性质

圆心与弦（不是直径）的中点的连线垂直于弦

与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长

圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

1.结论：

☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．

简言之，类比推理是由________________的推理．

类比推理的一般步骤：

⑴_________________________________________________

⑵__________________________________________________________

⑶______________。

即

2.师生互动：

出示例1：

类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.（得到如下表格）

类比角度

实数的加法

实数的乘法

2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．

直角三角形

 3个面两两垂直的四面体

∠C＝90°

3个边的长度a，b，c

2条直角边a，b和1条斜边c

3.形成结论

前面的推理过程可概括为：

从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。

类比――提出猜想

合情推理：

____________________________________________________

_____________________________________________________________

4、巩固结论：

例475页（结合课件探讨）

三、巩固练习：

1.练习：

教材第78页第3题

2、练习：

教材第84页第3题

第4题

第5题

四、巩固提高

1．（2001年上海）已知两个圆①x2+y2=1:

与②x2+（y-3）2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为_________________________________________________

____________________________________________________________

3．（2004，北京）定义“等和数列”：

在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________

五、课堂小结

1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。

类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

2．类比推理的一般步骤：

①找出两类事物之间的相似性或者一致性。

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）

六、师生反思：

课题：

演绎推理

辉县市第二高级中学高二数学组时间：

2010.03

学习目标：

（1）知识与技能：

1.了解演绎推理的含义。

2.能正确地运用演绎推理进行简单的推理。

3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

（2）过程与方法：

通过与合情推理比较，从一般到特殊概括出演绎推理的方法，运用类比思想来学习、掌握演绎推理这一推理方法。

（3）情感态度、价值观：