论幂等矩阵线性组合的幂等性Word文档格式.docx

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（ⅰ）2×

2任意可交换的非零幂等矩阵P1、P2、P3不满足PiPj=0,i≠j,i,j=1,2,3或P1P2=P1或P1P2=P2（ⅱ）如果P1、P2、P3是3×

3任意可交换的非零幂等矩阵，那么，如果PiPj=0则P=I;

如果PiPj=Pi或者PiPj=Pj,i≠j,i,j=1,2,3则P1=I或P2=I或P3=I.

不仅从代数学角度，而且从根、项量、多项式在统计学中所占的地位，证明都将引起人们很大的兴趣.有幂等矩阵的二次形式在统计学理论中应用广泛。

例如：

注释中提到的一些问题认为统计学的解释是基于这样的一个事实——如果A是一个n×

n型实对称矩阵，x是n×

1实项量，有多元正态分布N（0,I）,其中I代表单位矩阵，0代表零矩阵，那么二次形式xAx作为一个卡方变量分布的充分必要条件是A2=A见：

参考文献[3,定理5.1.1]或[4,引理9.1.2]和[9,2.4章].

2.初步措施

在复数ψ领域，我们用Mn表示所有n×

n矩阵集.如果没有非奇异矩阵S∈Mn,那么矩阵B∈Mn，类似矩阵A∈Mn。

因此B=S-1AS如果矩阵A∈Mn类似对角矩阵，那么A就被对角化了。

如果有一个相似性矩阵S∈Mn，那么两个对角化矩阵A,B∈Mn。

同时被对角化，即S-1AS和S-1BS是对角线。

全文中，c1、c2、c3都是ψ中的非零因素P1,P2,P3∈Ƒ∈Mn，P1,P2,P3∈Ƒ表示n×

n非零幂等矩阵判别矩阵，例如，一个有限（或无限）矩阵组中，每对在集改判下乘法。

现在我们给出以下附加结果，并解释这种情况对P1、P2∈Ƒ也适用。

引理2.1.让P1、P2、P3∈Ƒ,P1≠P2，i≠j,且P∈Mn作为线性组合形式

P=c1P1+c2P2+c3P3,非零向量c1、c2、c3∈ψ那么P可以对角化.

证明.首先，幂等矩阵是可对角化的。

因为P1、P2、P3有幂等性且相互可交换，它们可以同时对角化（见，[7,p.52]）.所以有单相似性矩阵S满足Λ=SP1S-1,M=SP2S-1,T=SP3S-1都是对角化矩阵。

另外对角元素是P1、P2、P3的特征值，于是我们可以得到

P1=SΛS-1,P2=SMS-1,P3=STS-1（3）

所以P=S[c1Λ+c2M+c3T]S-1

这就是完整的证明.

3.主要结论

正如我们提到的，本文主要结论是关于幂等矩阵线性组合的幂等性.首先我们讨论一个结论，这个结论能体现我们解决问题的方法，还要解决文献[6]中的一部分定理。

接着，我们列出一个重要结论，是关于线性组合三非零，相互可交换幂等矩阵的幂等性的结论.

定理3.1.让P1、P2∈Ƒ,P1≠P2且P作为线性组合形式

P=c1P1+c2P2,（4）

非零纯量c1、c2∈ψ那么只有在三种情况下P是幂等矩阵：

（a）c1=1,c2=1,P1P2=0,

（b）c1=1,c2=-1,P1P2=P2,

（c）c1=-1,c2=1,P1P2=P1:

证明.因为P1、P2∈Ƒ，它们可以同时对角化。

假设S是矩阵，同时对角化P1,P2，那么可以将P1，P2写成（3）的形式。

因此得到,P=S∑S-1其中∑=c1Λ+c2M。

所以直接数据表明形式（4）中的P是具有幂等性，当且仅当

（c1Λi+c2μi）（c1Λi+c2μi-1）=0，i=1,2，…，n，⑸

中Λi和μi分别是Λ和M的对角元素。

另外P1,P2仅有0和I两个特征值，因为P1，P2具有幂等性。

根据不同的假设，有不同的结论。

情况（a）：

从等式（3）可以得到，如果P1P2=0，那么（Λi，μi）最少可以是（0,0），（1,0）和（0,1）因为至少可以给i赋值一次。

因此当且仅当c1=1（即c2=1）时等式（5）成立。

情况（b）:

假设P1≠P2，等式P1P2=P1和P1P2=P2不能同时发生。

结果又得到了等式（3）。

（Λi，μi）最少可以是（0,0），（1,0）和（1,1），因为如果P1P2=P2，则i至少赋值一次。

因此当且仅当c1=1（即c2=-1）时等式（5）成立。

情况（c）：

若c1=-1（即c2=1），如果P1P2=R，R≠Pi，i=1,2，那么（Λi，μi）最少可以是（0,0），（1,0），（0,1）和（1,1）因为i至少有一个值。

但是等式（5）不存在共同的解。

证明完毕

定理3.2.让P1、P2、P3∈Ƒ,P1≠P2，i≠j,且P作为线性组合形式

P=c1P1+c2P2+c3P3,

非零向量c1、c2、c3∈ψ那么在以下情况中P是幂等矩阵.

（a）c1=c2=c3=1，PiPj=0，i≠j，i，j=1,2,3；

（b）c1=c2=1，c3=-1，P1P2=P1，P1P3=P1，P2P3=P3

（亦或P1P2=P2，P1P3=P3，P2P3=P2）；

（c）c1=-1，c2=c3=1，P1P2=P1，P1P3=P1，P2P3=P3

（d）c1=c3=1，c2=-1，P1P2=P1，P1P3=P1，P2P3=P3

除此之外，向量P1,P2和P3不满足P1P2=P1,P1P3=P3和P2P3=P3

（亦或P1P2=P2,P1P3=P1和P2P3=P2）。

证明:

根据引理可以将P写成

P=S[c1Λ+c2M+c3T]S-1直接数据表明形式（6）中的P是具有幂等性，当且仅当

（c1Λi+c2μi+c3ti）（c1Λi+c2μi+c3ti-1）=0，i=1,2，…，n，⑺

其中Λi，μi和ti分别是Λ，M和T的对角元素。

在不是一般性的情况下，我们可以假设P1、P2、P3的多个特征值响应的连续出现在主要对角线Λ，M和T，中。

从以上提到的等式（3）和假设中，可以发现如果PiPj=0，i≠j，i,j=1,2,3，那么（Λi，μi和ti）可以是（1,0,0），（0,1,0），（0,0,1）和（1,0,0）。

因为i可以至少有一个值。

因此，只有在以下情况中等式（7）成立：

（ⅰ）情况（b1），（c1，c2，c3）=（1，1，-1）是等式（7）的解集（1,1,1），（0,0,0），（0,1,0）和（0,1,1）的共同的交集。

（ⅱ）情况（c1），（c1,c2,c3）=（-1,1,1）是等式（7）的解集（1,1,1），（1,1,0），（0,1,0）和（0,0,0）的共同的交集。

（ⅲ）情况（d1），（c1,c2,c3）=（1,-1,1）是等式（7）的解集（0,0,0），（0,0,1），（0,1,1）和（1,1,1）的共同的交集。

最后，同理可证，矩阵P1、P2、P3不满足

⑴P1P2=P1，P1P3=P3和P2P3=P2，或者

⑵P1P2=P2，P1P3=P1和P2P3=P3，

因为（0,0,0）和（1,1,1）没有共同的交集。

这样就完成了证明。

备注1。

当n=3，根据假设定理，有以下结论：

（a）如果P1P2=0，P1P3=0，P2P3=0（亦或P=P1+P2+P3具有幂等性）那么P=I。

要理解这一结论，（借用引理）首先我们要知道：

Λ+Μ+Τ=I等价于P=P1+P2+P3=S（Λ+Μ+Τ）S-1=I。

Λ、M和Τ（P1、P2和P3）的特征值分别是Λi,μi,和Τi，i=1,2,3。

因为P1、P2、P3具有幂等性，则Λi=1或0；

μi=1或0；

Τi=1或0，若，P2=P则可以得到（Λi+μi+Τi）2=（Λi+μi+Τi）那么（Λi+μi+Τi）=0或1。

所以我们可以这样写：

其中Λi+μi+ti=0或1，i=1,2,3。

不失一般性的条件下，假设Λ1+μ1+Τ1=0。

所以

（a1）如果Λ2+μ2+t2=0且Λ3+μ3+t3=0，那么Λ=Μ=Τ=0

推出P1=P2=P3=0，这和假设定理相矛盾。

（a2）如果Λ2+μ2+t2=1且Λ3+μ3+t3=1（或者Λ2+μ2+t2=0

且Λ3+μ3+t3=1，那么Λ=Μ=0推出P1=P2=0；

或者Λ=Τ=0推出P1=P3=0；

或者Μ=Τ=0推出P2=P3=0，

这和假设定理矛盾。

（a3）如果Λ2+μ2+t2=1和Λ3+μ3+t3=1，那么至少，Λ=0推出P1=0;

或者Μ=0推出P2=0;

或者Τ=0推出P3=0，

这也和假设定理矛盾。

因此，Λi+μi+ti=1，i=1,2,3所以Λ+Μ+Τ=Ι。

（b1）如果P1P2=P1，P1P3=P3和P2P3=P3（P=P1+P2-P3具有幂等性），那么P1=I。

因此我们可以得到ΛΜ=Λ，ΛΤ=Λ，ΜΤ=Τ所以（Λi,μi,ti），i=1,2,3，的所有的可能解是（1,1,1）。

（0,1,1），（0,1,0），（0,0,0）。

一般情况下，（Λ1,μ1,t1）=（0,0,0,）。

那么（Λ2,μ2,t2）和（Λ3,μ3,t3）可以是集合中的任意值，则有Λ=Μ推出P1=P2或Λ=Τ推出P1=P3或Μ=Τ推出P2=P3或者Λ=Μ=Τ推出P1=P2=P3，这与假设条件Pi≠Pj，i≠j相矛盾。

所以（Λi,μi,ti），i=1,2,3，可以是（1,1,1）。

（0,1,1），（0,1,0）中的任一值，所以Μ=Ι推出P2=Ι。

同理可证;

（b2）如果P1P2=P2，P1P3=P3，P2P3=P2（P=P1+P2-P3具有幂等性），那么P1=I，

（c1）如果P1P2=P1，P1P3=P3，P2P3=P3（P=-P1+P2+P3具有幂等性），那么P2=I，

（c2）如果P1P2=P2，P1P3=P1，P2P3=P2（P=-P1+P2+P3具有幂等性），那么P3=I，

（d1）如果P1P2=P2，P1P3=P1，P2P3=P2（P=P1-P2+P3具有幂等性），那么P3=I，

（d2）如果P1P2=P2，P1P3=P3，P2P3=P3（P=P1-P2+P3具有幂等性），那么P1=I。

备注2经计算得到，2×

2幂等矩阵的形式是或，

其中a,b∈ψ，ab=;

或者是形式，其中x,y,z∈ψ，x2+yz=x且x≠。

那么2×

2型非零可交换幂等矩阵P1、P2、P3均不满足以下情况。

（a）PiPj=0，i≠j，j=1,2,3。

（b）P1P2=P1或者P1P2=P2。

根据幂等矩阵的特征值可以证明：

（a）不失一般性的情况下，我们可以得到：

（a1）

P1=；

P2、P3是的矩阵，其中a,b∈ψ，ab=，或，

x,y,z∈ψ，x2+yz=x且x≠。

那么P1P2=P2≠0，P1P3=P3≠0，则与假设定理不符。

（a2）

P1=，P2=和P3=，其中a,b,c,d,e,f∈ψ，ab=，cd=，ef。

由于P1P2=P2P1=0，P1P3=P3P1=0和P2P3=P3P2=0，

那么可以分别得到c=-a，d=-b，e=-a，f=-b，且c=-e，f=-d。

所以由P2=-P1，P3=-P1和P3=-P2可以得到P1=P2=P3=0，这与假设定理相矛盾。

（a3）

P1=，a,b∈ψ且ab=；

P2=，P3=，

其中x,y,z,p,r,s∈ψ，x2+yz=x，x≠，且p2+rs=p和p≠。

那么由P1P2=P2P1=0，P1P3=P3P1=0可以得到

（iy+a-ax=y+ax=0所以x=因为a≠0）

（iir+a-ap=r+ap=0所以p=因为a≠0），这就变成了情况（a2）。

（a4）

P1=，P2=其中a,b,c,d∈ψ，ab=且cd=；

P3=

其中x,y,z∈ψ，x2+yz=x且x≠。

那么从P1P3=P3P1=0可以得到y+a-ax=y+ax=0，所以x=，这又变成了情况（a2）。

（a5）

P1=，P2=和P3=,

其中x,y,z,p,r,s,u,v,w∈ψ，x2+yz=x，p2+rs=p，u2+vw=u，x≠，p≠和u≠。

由P1P2=P2P1=0，P1P3=P3P1=0，和P1P2=P2P1=0我们可以依次得到t=-y，s=-z，v=-y，w=-z和v=-r，w=-s所以得到y=0，z=0推出v=0，w=0，r=0，s=0，也就是说P1，P2和P3是对角线。

那么由x2+yz=x，p2+rs=p和u2+vw=u可以得到x=0或1；

p=0或1；

u=0或1，所以任意选择x，p，u可以得到P1=P2=P3或P1=P2或P1=P3或P2=P3，每一种情况都和假设相矛盾。

（b）在不失一般性的情况下，我们可以得到：

（b1）

P1=，P2=其中a,b,c,d∈ψ，ab=且cd=。

如果P1P2=P1（或P1P2=P2），则c=a，d=b，所以P1=P2，与条件矛盾。

（b2）

P1=和P2=其中a,b,c,d,z∈ψ，ab=，x2+yz=x和

x≠由P1P2=P2P1可以得到x=（因为a≠0）。

如果P1P2=P1则y+a-ax=a推出y=a，z+b-bx=ba推出z=b，所以P1=P2，这与已知矛盾。

如果P1P2=P2，则y+a-ax=a推出y=a，z+b-bx=ba推出z=b，所以P1=P2，这与已知矛盾。

（b3）

P1=和P2=，其中a,b,c,d,z,p,r,s∈ψ，x2+yz=x，p2+rs=p，x≠，p≠，由P1P2=P2P1可以得到

（i）xp+ys=xp+zr推出ys=zr，

（ii）xr+y-yp=yp+r-xr推出2（xr-yp）=r-y，

（iii）zp+s-sx=sx+z-zp推出2（zp-sx）=z-s。

如果P1P2=P1那么xr+y-yp=y推出xr=yp和sx+z-zp。

把这些带进（ⅱ）（ⅲ）可以得到r=y和s=z。

所以由xr=yp推出（i）y=0或（ii）x=p或（ⅲ）y=0和x=p。

因为r=y，所以如果y=0，那么r=0。

但是由假设定理我们可以得到x2=x和p2=p或x=0；

1和p=0；

1.。

由P1P2=P1可以得到（1-x）（1-p）=1-x，xp=x。

所以x=0推出p=0或者x=1推出p=1。

所以p=x，P1=P2与假设相矛盾。

如果P1P2=P1，可以得到同样的结果。

最后，P1、P2、P3为1×

1型矩阵的案例可以不必考虑。

在文章结尾部分，我们给出一些符合定理3。

2（a）…（d）的3×

3型幂等矩阵。

矩阵

P1=，P2=，P3=，

符合（a）；

P1=，P2=，P3=，

符合（b）的均采用；

符合（b）的均采用，矩阵

符合（c）的均采用，矩阵

符合（d）的均采用，矩阵

符合（d）的均采用。

以上提到的矩阵也是备注1的例证。

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