线性代数习题文档格式.docx
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A.r与s未必相等B.r+s=m
C.r=sD.r+s>
m
8.对方程组Ax=b与其导出组Ax=o,下列命题正确的是(D).
A.Ax=o有解时,Ax=b必有解.
B.Ax=o有无穷多解时,Ax=b有无穷多解.
C.Ax=b无解时,Ax=o也无解.
D.Ax=b有惟一解时,Ax=o只有零解.
9.设方程组有非零解,则k=(D).
A.2B.3C.-1D.1
阶对称矩阵A正定的充分必要条件是(D).
A.|A|>
0B.存在n阶方阵C使A=CTC
C.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.四阶行列式D中第3列元素依次为-1,2,0,1,它们的余子式的值依次为5,3,-7,4,则D=-15.
12.若方阵A满足A2=A,且A≠E,则|A|=0.
13.若A为3阶方阵,且,则|2A|=4.
14.设矩阵的秩为2,则t=t=3.
15.设向量=(6,8,0),=(4,–3,5),则(,)=0.
16.设n元齐次线性方程组Ax=o,r(A)=r<
n,则基础解系含有解向量的个数为n-r个.
17.设=(1,1,0),=(0,1,1),=(0,0,1)是R3的基,则=(1,2,3)在此基下的坐标为(1,1,2).
18.设A为三阶方阵,其特征值为1,-1,2,则A2的特征值为1,1,4.
19.二次型的矩阵
A=.
20.若矩阵A与B=相似,则A的特征值为1,2,3.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.求行列式的值.
22.解矩阵方程:
.
23.求向量组=(1,1,2,3),=(-1,-1,1,1),=(1,3,3,5),=(4,-2,5,6)的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示.
取何值时,方程组有解?
并求其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示).
25.已知,求A的特征值及特征向量,并判断A能否对角化,若能,求可逆矩阵P,使P–1AP=Λ(对角形矩阵).
26.用配方法将下列二次型化为标准形:
四、证明题(本大题共6分)
27.设向量,证明向量组是R3空间中的一个基.
线性代数(经管类)综合试题二
1.若三阶行列式=0,则k=(C).
A.1B.0C.-1D.-2
2.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是(D).
A.A可逆B.B可逆C.|A|=|B|D.AB=BA
3.设A是n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,则(A).
A.B.
C.D.
4.矩阵的秩为2,则λ=(B).
A.2B.1C.0D.
5.设3×
4矩阵A的秩r(A)=1,是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量,则方程组的基础解系为(D).
A.B.
C.D.
6.向量线性相关,则(C).
A.k=-4B.k=4C.k=-3D.k=3
7.设u1,u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解,若是其导出组Ax=o的解,则有(B).
A.c1+c2=1B.c1=c2C.c1+c2=0D.c1=2c2
8.设A为n(n≥2)阶方阵,且A2=E,则必有(B).
A.A的行列式等于1B.A的秩等于n
C.A的逆矩阵等于ED.A的特征值均为1
9.设三阶矩阵A的特征值为2,1,1,则A-1的特征值为(D).
A.1,2B.2,1,1C.,1D.,1,1
10.二次型是(A).
A.正定的B.半正定的C.负定的D.不定的
11.=____5______.
12.设A为三阶方阵,且|A|=4,则|2A|=______32____.
13.设A=,B=,则ATB=_____.
14.设A=,则A-1=__________.
15.向量表示为向量组
的线性组合式为_______.
16.如果方程组有非零解,则k=___-1_____.
17.设向量与正交,则a=_2__.
18.已知实对称矩阵A=,写出矩阵A对应的二次型__________.
19.已知矩阵A与对角矩阵Λ=相似,则A2=___E_____.
20.设实二次型的矩阵A是满秩矩阵,且二次型的正惯性指数为3,则其规范形为_________.
21.计算行列式的值.
22.设矩阵A=,B=,求矩阵A-1B.
23.设矩阵,求k的值,使A的秩r(A)分别等于1,2,3.
解:
24.求向量组的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.
25.求线性方程组的基础解系,并用基础解系表示其通解.
26.已知矩阵,求正交矩阵P和对角矩阵Λ,使P-1AP=Λ.
27.设向量组线性无关,证明:
向量组
也线性无关.
线性代数(经管类)综合试题三
1.当(D)成立时,阶行列式的值为零.
A.行列式主对角线上的元素全为零
B.行列式中有个元素等于零
C.行列式至少有一个阶子式为零
D.行列式所有阶子式全为零
2.已知均为n阶矩阵,E为单位矩阵,且满足ABC=E,则下列结论必然成立的是(B).
A.ACB=EB.BCA=EC.CBA=ED.BAC=E
3.设A,B均为n阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(D).
A.(AB)-1=A-1B-1B.(A+B)-1=A-1+B-1
C.(AB)T=ATBTD.
4.下列矩阵不是初等矩阵的是(B).
A.B.C.D.
5.设是4维向量组,则(D).
A.线性无关
B.至少有两个向量成比例
C.只有一个向量能由其余向量线性表示
D.至少有两个向量可由其余向量线性表示
6.设A为m×
n矩阵,且m<
n,则齐次线性方程组Ax=o必(C).
A.无解B.只有唯一零解C.有非零解D.不能确定
7.已知4元线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3,又
是Ax=b的两个解,则Ax=b的通解是(D).
A.B.
C.D.
8.如果矩阵A与B满足(D),则矩阵A与B相似.
A.有相同的行列式
B.有相同的特征多项式
C.有相同的秩
D.有相同的特征值,且这些特征值各不相同
9.设A是n阶实对称矩阵,则A是正定矩阵的充要条件是(D).
0B.A的每一个元素都大于零
C.D.A的正惯性指数为n
10.设A,B为同阶方阵,且r(A)=r(B),则(C).
A.A与B相似B.A与B合同
C.A与B等价D.|A|=|B|
11.行列式24.
12.设A为三阶矩阵,|A|=-2,将矩阵A按列分块为,其中是A的第j列,,则|B|=6.
13.已知矩阵方程AX=B,其中A=,B=,则X=.
14.已知向量组的秩为2,则k=-2.
15.向量的长度=根号15.
16.向量在基下的坐标为(3,-4,3).
17.设是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系,则矩阵A的秩r(A)=1.
18.设是三阶矩阵A的特征值,则a=1.
19.若是正定二次型,则满足>
5.
20.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3,矩阵B=A2+2A,则|B|=360.
21.设三阶矩阵A=,E为三阶单位矩阵.
求:
(1)矩阵A-2E及|A-2E|;
(2).
22.已知向量组
(1)向量组的秩;
(2)向量组的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.
(1)
23.讨论a为何值时,线性方程组有解?
当方程组有解时,求出方程组的通解.
24.已知向量组,讨论该向量组的线性相关性.
25.已知矩阵A=,
(1)求矩阵A的特征值与特征向量;
(2)判断A可否与对角矩阵相似,若可以,求一可逆矩阵P及相应的对角形矩阵Λ.
26.设二次型
(1)将二次型化为标准形;
(2)求二次型的秩和正惯性指数.
27.已知A是n阶方阵,且,证明矩阵A可逆,并求
线性代数(经管类)综合试题四
1.三阶行列式,则a=(B).
A.2B.3C.D.-3
2.设A,B均为n阶非零方阵,下列选项正确的是(D).
A.(A+B)(A-B)=A2-B2B.(AB)-1=B-1A-1
C.若AB=O,则A=O或B=OD.|AB|=|A||B|
3.设A,B,AB-BA=(D).
A.B.C.D.
4.设矩阵的秩为2,则(A).
A.=-4C.t是任意实数D.以上都不对
5.设向量,则(A).
A.(1,0,5,4)B.(1,0,-5,4)C.(-1,0,5,4)D.(1,0,5,-6)
6.向量组线性相关,则(B).
A.k=-4B.k=4C.k=3D.k=2
7.设u1,u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解,若c1u1+c2u2也是方程组Ax=b的解,则(A).
A.c1+c2=1B.c1=c2C.c1+c2=0D.c1=2c2
8.设m×
n矩阵A的秩r(A)=n-3(n>
3),是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量,则方程组Ax=o的基础解系为(C).
A.B.
C.D.
9.设三阶矩阵A的特征值为1,1,2,则2A+E的特征值为(D).
A.3,5B.1,2C.1,1,2D.3,3,5
阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是(D).
A.B.存在n阶矩阵P,使得A=PTP
C.负惯性指数为D.各阶顺序主子式均为正数
11.2b-4a.
12.设A为三阶方阵,且|A|=2,A*是其伴随矩阵,则|2A*|=32.
13.设矩阵A,则=.
14.设,则内积=2.
15.若向量不能由线性表示,且r()=2,则
r(,)=3.
16.设线性方程组有解,则t=1.
17.方程组的基础解系含有解向量的个数是3.
18.设二阶矩阵A与B相似,A的特征值为-1,2,则|B|=-2.
19.设二次型的矩阵,则二次型.
20.用正交变换将二次型化为标准形为
,则矩阵A的最小特征值为-1.
21.计算n阶行列式.
23.验证是R3的一个基,并求向量在此基下的坐标.
24.设向量组线性无关,令
,
试确定向量组的线性相关性.
25.求线性方程组的基础解系,并表示其通解.
26.求矩阵的特征值和全部特征向量.
27.设是三维向量组,证明:
线性无关的充分必要条件是任一三维向量都可由它线性表示.
线性代数(经管类)综合试题五
1.行列式,则k=(C).
A.1B.4C.-1或4D.-1
2.设A,B,C均为n阶非零方阵,下列选项正确的是(D).
A.若AB=AC,则B=CB.(A-C)2=A2-2AC+C2
C.ABC=BCAD.|ABC|=|A||B||C|
3.设A,B均为n阶方阵,则等式(A+B)(A-B)=A2-B2成立的充分
必要条件是(D).
A.A=EB.B=OC.A=BD.AB=BA
4.若,则初等矩阵P=(C).
C.D.
5.设向量,则
(A).
A.(-1,3,8,9)B.(1,3,8,9)C.(-1,0,8,6)D.(-1,3,9,8)
6.下列结论正确的是(C).
A.若存在一组数k1,k2,…,km,使得成立,则向量组线性相关.
B.当k1=k2=…=km=0时,,则向量组线性无关.
C.若向量线性相关,则线性相关.
D.若向量线性无关,则线性无关.
7.设u1,u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解,若c1u1+c2u2是其导出组Ax=o的解,则(A).
A.c1+c2=0B.c1=c2C.c1=2c2D.c1+c2=1
8.线性方程组Ax=o只有零解的充分必要条件是(C).
A.A的行向量组线性无关B.A的行向量组线性相关
C.A的列向量组线性无关D.A的列向量组线性相关
9.设,则2的特征值为(C).
C.D.
10.设二次型的矩阵A是满秩矩阵,且二次型的正惯性指数为3,则二次型的规范形为(A).
A.B.
C.D.
11.行列式0.
12.设A为三阶方阵,|A|=2,则|2A-1|=4.
13.设,则2A+B=.
14.设,则(AB)-1=.
15.向量的单位化向量为.
16.设向量组的两个极大无关组分别是和,r和t的关系是r=t.
17.设向量组的秩为2,则t=6.
18.设向量与正交,则k=2.
19.已知二次型,写出二次型f的矩阵A=.
20.设三阶实对称矩阵的特征值为3,3,0,则A的秩r(A)=2.
21.计算行列式.
22.已知矩阵A=,且A+X=XA,求X.
23.设A=,已知r(A)=2,求a,b的值.
24.已知线性方程组,
(1)问常数a1,a2,a3满足什么条件时,方程组有解?
(2)当方程组有无穷多解时,求出其通解(用它的一个特解和导出组的基础解系表示).
25.设实对称矩阵A=,求正交矩阵Q,使得Q-1AQ=Λ.
其中,Λ是对角矩阵.
26.设二次型是正定二次型,求a的取值范围.
27.设向量组线性无关,可由线性表示,而不能由线性表示.证明:
向量组线性无关.