算法设计与分析 王红梅 胡明 习题答案Word格式文档下载.docx
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value=value*10+1;
if（value%2013==0）
cout<
<
"
n至少为:
endl;
break;
}
}计算π值的问题能精确求解吗？
编写程序，求解满足给定精度要求的π值
#include<
intmain（）
doublea,b;
doublearctan（doublex）;
圣经上说：
神6天创造天地万有，第7日安歇。
为什么是6天呢？
任何一个自然数的因数中都有1和它本身，所有小于它本身的因数称为这个数的真因数，如果一个自然数的真因数之和等于它本身，这个自然数称为完美数。
例如，6=1+2+3，因此6是完美数。
神6天创造世界，暗示着该创造是完美的。
设计算法，判断给定的自然数是否是完美数
intvalue,k=1;
cin>
>
value;
for（inti=2;
i!
=value;
++i）
while（value%i==0）
k+=i;
有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。
他们都在桥的某一端，并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。
这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。
每个人走路的速度是不同的：
甲过桥要用1分钟，乙过桥要用2分钟，丙过桥要用5分钟，丁过桥要用10分钟，显然，两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间？
由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成
甲每次分别带着乙丙丁过桥
例如：
第一趟：
甲，乙过桥且甲回来
第二趟：
甲，丙过桥且甲回来
甲，丁过桥
一共用时19小时
9．欧几里德游戏：
开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动，每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差，而且这个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写不出新数字时，他就输了。
请问，你是选择先行动还是后行动？
为什么？
设最初两个数较大的为a,较小的为b，两个数的最大公约数为factor。
则最终能出现的数包括:
factor,factor*2,factor*3,...,factor*（a/factor）=a.一共a/factor个。
如果a/factor是奇数，就选择先行动；
否则就后行动。
习题2
1．如果T1（n）=O（f（n）），T2（n）=O（g（n）），解答下列问题：
（1）证明加法定理：
T1（n）＋T2（n）=max{O（f（n））,O（g（n））}；
（2）证明乘法定理：
T1（n）×
T2（n）=O（f（n））×
O（g（n））；
（3）举例说明在什么情况下应用加法定理和乘法定理。
（1）
（2）
（3）比如在
for（f（n））
for（g（n））
}
中应该用乘法定理
如果在“讲两个数组合并成一个数组时”，应当用加法定理
2．考虑下面的算法，回答下列问题：
算法完成什么功能？
算法的基本语句是什么？
基本语句执行了多少次？
算法的时间复杂性是多少？
（1）完成的是1-n的平方和
基本语句：
s+=i*i，执行了n次
时间复杂度O（n）
（2）
（2）完成的是n的平方
returnQ（n-1）+2*n–1，执行了n次
3.分析以下程序段中基本语句的执行次数是多少，要求列出计算公式。
（1）基本语句2*i<
n执行了n/2次
基本语句y=y+i*j执行了2/n次
一共执行次数=n/2+n/2=O（n）
（2）基本语句m+=1执行了（n/2）*n=O（n*n）
4.使用扩展递归技术求解下列递推关系式：
（1）
（2）
（1）intT（intn）
{
if（n==1）
return4;
elseif（n>
1）
return3*T（n-1）;
intT（intn）
return1;
return2*T（n/3）+n;
5.求下列问题的平凡下界，并指出其下界是否紧密。
（1）求数组中的最大元素；
（2）判断邻接矩阵表示的无向图是不是完全图；
（3）确定数组中的元素是否都是惟一的；
（4）生成一个具有n个元素集合的所有子集
（1）Ω（n）紧密？
（2）Ω（n*n）
（3）Ω（logn+n）（先进行快排，然后进行比较查找）
（4）Ω（2^n）
7．画出在三个数a,b,c中求中值问题的判定树。
8．国际象棋是很久以前由一个印度人Shashi发明的，当他把该发明献给国王时，国王很高兴，就许诺可以给这个发明人任何他想要的奖赏。
Shashi要求以这种方式给他一些粮食：
棋盘的第1个方格内只放1粒麦粒，第2格2粒，第3格4粒，第4格8粒，……，以此类推，直到64个方格全部放满。
这个奖赏的最终结果会是什么样呢？
longdoubleresult=1;
doublej=1;
for（inti=1;
i<
=64;
j=j*2;
result+=j;
j++;
result<
return0;
习题3
1．假设在文本"
ababcabccabccacbab"
中查找模式"
abccac"
，写出分别采用BF算法和KMP算法的串匹配过
式化简。
设计算法，将一个给定的真分数化简为最简分数形式。
例如，将6/8化简为3/4。
intn;
数字游戏。
把数字1,2,…,9这9个数字填入以下含有加、减、乘、除的四则运算式中，使得该等式成立。
要求9个数字均出现一次且仅出现一次，且数字1不能出现在乘和除的一位数中（即排除运算式中一位数为1的平凡情形）。
×
＋÷
－=0
5.设计算法求解anmodm，其中a、n和m均为大于1的整数。
（提示：
为了避免an超出int型的表示范围，应该每做一次乘法之后对n取模）
intsquare（intx）
returnx*x;
设计算法，在数组r[n]中删除所有元素值为x的元素，要求时间复杂性为O（n），空间复杂性为O
（1）。
7.设计算法，在数组r[n]中删除重复的元素，要求移动元素的次数较少并使剩余元素间的相对次序保持不变。
voiddeletere（inta[],intN）
intb[100]={0};
inti,k;
k=0;
staticintj=0;
for（i=0;
N;
i++）
b[a[i]]++;
100;
{
if（b[i]!
=0）
{
if（b[i]==2）
{
k++;
}
a[j]=i;
j++;
}
N-k;
cout<
a[i]<
inta[]={1,2,1,3,2,4};
deletere（a,6）;
设表A={a1,a2,…,an}，将A拆成B和C两个表，使A中值大于等于0的元素存入表B，值小于0的元素存入表C，要求表B和C不另外设置存储空间而利用表A的空间。
荷兰国旗问题。
要求重新排列一个由字符R,W,B（R代表红色，W代表白色，B代表兰色，这都是荷兰国旗的颜色）构成的数组，使得所有的R都排在最前面，W排在其次，B排在最后。
为荷兰国旗问题设计一个算法，其时间性能是O（n）。
设最近对问题以k维空间的形式出现，k维空间的两个点p1=（x1,x2,…,xk）和p2=（y1,y2,…,yk）的欧几里德距离定义为：
。
对k维空间的最近对问题设计蛮力算法，并分析其时间性能。
11．设计蛮力算法求解小规模的线性规划问题。
假设约束条件为：
（1）x+y≤4；
（2）x+3y≤6；
（3）x≥0且y≥0；
使目标函数3x+5y取得极大值。
intx,y,x0,y0;
intsummax=0,temp=0;
for（x0=0;
x0<
=4;
++x0）
for（y0=0;
（x0+y0<
=4）&
&
（x0+3*y0<
=6）;
++y0）
temp=3*x0+5*y0;
if（temp>
=summax）
summax=temp;
x=x0;
1.1.11.1.2变位词。
给定两个单词，判断这两个单词是否是变位词。
如果两个单词的字母完全相同，只是位置有所不同，则这两个单词称为变位词。
例如，eat和tea是变位词。
分治法的时间性能与直接计算最小问题的时间、合并子问题解的时间以及子问题的个数有关，试说明这几个参数与分治法时间复杂性之间的关系。
2.证明：
如果分治法的合并可以在线性时间内完成，则当子问题的规模之和小于原问题的规模时，算法的时间复杂性可达到O（n）。
O（N）=2*O（N/2）+x
O（N）+x=2*O（N/2）+2*x
a*O（N）+x=a*（2*O（N/2）+x）+x=2*a*O（N/2）+（a+1）*x
由此可知，时间复杂度可达到O（n）;
3.分治策略一定导致递归吗？
如果是，请解释原因。
如果不是，给出一个不包含递归的分治例子，并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。
不一定导致递归。
如非递归的二叉树中序遍历。
这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是：
应用了栈这个数据结构。
4.对于待排序序列（5,3,1,9），分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。
归并排序：
（5,3）（1,9）；
（3,5,1,9）；
第三趟：
（1,3,5,9）；
快速排序：
第一趟：
5（,3,1,9）；
设计分治算法求一个数组中的最大元素，并分析时间性能。
设计分治算法，实现将数组A[n]中所有元素循环左移k个位置,要求时间复杂性为O（n），空间复杂性为O
（1）。
例如，对abcdefgh循环左移3位得到defghabc。
设计递归算法生成n个元素的所有排列对象。
intdata[100];
设计分治算法求解一维空间上n个点的最近对问题。
参见4.4.1最近对问题的算法分析及算法实现
9.在有序序列（r1,r2,…,rn）中，存在序号i（1≤i≤n），使得ri=i。
请设计一个分治算法找到这个元素，要求算法在最坏情况下的时间性能为O（log2n）。
在一个序列中出现次数最多的元素称为众数。
请设计算法寻找众数并分析算法的时间复杂性。
设M是一个n×
n的整数矩阵，其中每一行（从左到右）和每一列（从上到下）的元素都按升序排列。
设计分治算法确定一个给定的整数x是否在M中，并分析算法的时间复杂性。
12.设S是n（n为偶数）个不等的正整数的集合，要求将集合S划分为子集S1和S2，使得|S1|=|S2|=n/2，且两个子集元素之和的差达到最大。
设a1,a2,…,an是集合{1,2,…,n}的一个排列，如果i<
j且ai>
aj，则序偶（ai,aj）称为该排列的一个逆序。
例如，2,3,1有两个逆序：
（3,1）和（2,1）。
设计算法统计给定排列中含有逆序的个数。
循环赛日程安排问题。
设有n=2k个选手要进行网球循环赛，要求设计一个满足以下要求的比赛日程表：
（1）每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；
（2）每个选手一天只能赛一次。
采用分治方法。
将2^k选手分为2^k-1两组，采用递归方法，继续进行分组，直到只剩下2个选手时，然后进行比赛，回溯就可以指定比赛日程表了
15.格雷码是一个长度为2n的序列，序列中无相同元素，且每个元素都是长度为n的二进制位串，相邻元素恰好只有1位不同。
例如长度为23的格雷码为（000,001,011,010,110,111,101,100）。
设计分治算法对任意的n值构造相应的格雷码。
矩阵乘法。
两个n×
n的矩阵X和Y的乘积得到另外一个n×
n的矩阵Z，且Zij
满足（1≤i,j≤n），这个公式给出了运行时间为O（n3）的算法。
可以用分
治法解决矩阵乘法问题，将矩阵X和Y都划分成四个n/2×
n/2的子块，从而X和Y的乘积可以用这些子块进行表达，即
从而得到分治算法：
先递归地计算8个规模为n/2的矩阵乘积AE、BG、AF、BH、CE、DG、CF、DH，然后再花费O（n2）的时间完成加法运算即可。
请设计分治算法实现矩阵乘法，并分析时间性能。
能否再改进这个分治算法？
习题5
1.下面这个折半查找算法正确吗？
如果正确，请给出算法的正确性证明，如果不正确，请说明产生错误的原因。
intBinSearch（intr[],intn,intk）
intlow=0,high=n-1;
intmid;
while（low<
=high）
mid=（low+high）/2;
if（k<
r[mid]）high=mid;
elseif（k>
r[mid]）low=mid;
elsereturnmid;
return0;
错误。
正确算法：
intBinSearch1（intr[],intn,intk）
=high）
r[mid]）high=mid-1;
r[mid]）low=mid+1;
2.请写出折半查找的递归算法，并分析时间性能。
求两个正整数m和n的最小公倍数。
m和n的最小公倍数lcm（m,n）与m和n的最大公约数gcd（m,n）之间有如下关系：
lcm（m,n）=m×
n/gcd（m,n））
插入法调整堆。
已知（k1,k2,…,kn）是堆，设计算法将（k1,k2,…,kn,kn+1）调整为堆（假设调整为大根堆）。
参照：
voidSiftHeap（intr[],intk,intn）
inti,j,temp;
i=k;
j=2*i+1;
设计算法实现在大根堆中删除一个元素，要求算法的时间复杂性为O（log2n）。
计算两个正整数n和m的乘积有一个很有名的算法称为俄式乘法，其思想是利用了一个规模是n的解和一个规模是n/2的解之间的关系：
n×
m＝n/2×
2m（当n是偶数）或：
m＝（n-1）/2×
2m＋m（当n是奇数），并以1×
m＝m作为算法结束的条件。
例如，图给出了利用俄式乘法计算50×
65的例子。
据说十九世纪的俄国农夫使用该算法并因此得名，这个算法也使得乘法的硬件实现速度非常快，因为只使用移位就可以完成二进制数的折半和加倍。
请设计算法实现俄式乘法。
拿子游戏。
考虑下面这个游戏：
桌子上有一堆火柴，游戏开始时共有n根火柴，两个玩家轮流拿走1，2，3或4根火柴，拿走最后一根火柴的玩家为获胜方。
请为先走的玩家设计一个制胜的策略（如果该策略存在）。
如果桌上有小于4根的火柴，先手必胜，如果是5根，先手必输；
依次类推，同理15、20、25…….都是必输状态；
所有每次把对手逼到15、20、25…….等必输状态，就可以获胜。
9.竞赛树是一棵完全二叉树，它反映了一系列“淘汰赛”的结果：
叶子代表参加比赛的n个选手，每个内部结点代表由该结点的孩子结点所代表的选手中的胜者，显然，树的根结点就代表了淘汰赛的冠军。
请回答下列问题：
（1）这一系列的淘汰赛中比赛的总场数是多少？
（2）设计一个高效的算法，它能够利用比赛中产生的信息确定亚军。
（1）因为n人进行淘汰赛，要淘汰n-1人，所有要进行n-1场比赛。
10.在120枚外观相同的硬币中，有一枚是假币，并且已知假币与真币的重量不同，但不知道假币与真币相比较轻还是较重。
可以通过一架天平来任意比较两组硬币，最坏情况下，能不能只比较5次就检测出这枚假币？
将120枚平均分为三组，记为：
A，B，C；
先将A,B比较，如果A,B重量不同（假如B比A重），再将B与C比较，如果B，C相同，则A有假币；
如果B,C不同，再将A,C比较，如果A,C相同，则B有假币；
如果A,C不同，则B有假币；
如果A,B相同，则C有假币；
习题6
1.动态规划法为什么都需要填表？
如何设计表格的结构？
在填写表格过程中，不仅可以使问题更加清晰，更重要的是可以确定问题的存储结构；
设计表格，以自底向上的方式计算各个子问题的解并填表。
2.对于图所示多段图，用动态规划法求从顶点0到顶点12的最短路径，写出求解过程。
将该多段图分为四段；
首先求解初始子问题，可直接获得：
d（0,1）=c01＝5（0→1）
d（0,2）=c02＝3（0→1）
再求解下一个阶段的子问题，有：
d（0,3）=d（0,1）+c13=6（1→3）
d（0,4）=min{d（0,1）+c14,d（0,2）+c24}=8（1→4）
（以此类推）
最短路径为：
0→1→3→8→11→12
3．用动态规划法求如下0/1背包问题的最优解：
有5个物品，其重量分别为（3,2,1,4,5），价值分别为（25,20,15,40,50），背包容量为6。
写出求解过程。
（x1,x2,x3,x4,x5）→（1,1,1,0,0）（过程略）
4.用动态规划法求两个字符串A="
xzyzzyx"
和B="
zxyyzxz"
的最长公共子序列。
略
5.给定模式"
grammer"
和文本"
grameer"
，写出动态规划法求解K-近似匹配的过程。
6.对于最优二叉查找树的动态规划算法，设计一个线性时间算法，从二维表R中生成最优二叉查找树。
7.Ackermann函数A（m,n）的递归定义如下：
设计动态规划算法计算A（m,n），要求算法的空间复杂性为O（m）。
考虑下面的货币兑付问题：
在面值为（v1,v2,…,vn）的n种货币中，需要支付y值的货币，应如何支付才能使货币支付的张数最少，即满足
，且使
最小（xi是非负整数）。
设计动态规划算法求解货币兑付问题，并分析时间性能和空间性能。
#defineN100000
#defineM20
inta[N][M];
intvalue[M];
while（true）
inti,j,k;
intx,y,z;
输入货币种类的个数：
cin>
x;
从小到大输入货币的价值，其中第一个必须为一：
for（i=1;
=x;
i++）多边形游戏。
多边形游戏是一个单人玩的游戏，开始时有一个由n个顶点构成的多边形，每个顶点具有一个整数值，每条边具有一个运算符“＋”或“×
”。
游戏规则是每次选择一条边e以及和e相关联的两个顶点i和j，用一个新的顶点k取代边e、顶点i和j，顶点k的整数值是顶点i和j的整数值通过边e上的运算符计算得到的结果。
当所有边都删除时，游戏结束，游戏的得分就是所剩顶点的整数值。
设计动态规划算法，对于给定的多边形计算最高得分。
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