3.已知函数f(x)=xlnx.
(1)求函数f(x)的极值点;
(2)设函数g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函数g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数).
【规解答】
(1)f′(x)=lnx+1,x>0,由f′(x)=0得x=,
所以f(x)在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增.
所以,x=是函数f(x)的极小值点,极大值点不存在.
(2)g(x)=xlnx-a(x-1),则g′(x)=lnx+1-a,
由g′(x)=0,得x=ea-1,所以,在区间(0,ea-1)上,g(x)为递减函数,
在区间(ea-1,+∞)上,g(x)为递增函数.
当ea-1≤1,即a≤1时,在区间[1,e]上,g(x)为递增函数,
所以g(x)的最小值为g
(1)=0.
当1当ea-1≥e,即a≥2时,在区间[1,e]上,g(x)为递减函数,
所以g(x)的最小值为g(e)=a+e-ae.
综上,当a≤1时,g(x)的最小值为0;
当1当a≥2时,g(x)的最小值为a+e-ae.
【巩固】
1、已知函数f(x)=(x-k)ex.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
【规解答】
(1)由题意知f′(x)=(x-k+1)ex.令f′(x)=0,得x=k-1.
f(x)与f′(x)的情况如下:
x
(-∞,k-1)
k-1
(k-1,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
-ek-1
所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).
(2)当k-1≤0,即k≤1时,f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的