南京市届高三年级学情调研Word文档下载推荐.docx
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因为a为锐角，B为钝角，故a+氏
5）+10x5-—10
531^252
2
11分
所以a+3=
4
16.
（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，点的中点.
（1）求证：
MN//平面BB1C1C;
（2）若D在边BC上，AD丄DC1，求证：
MN丄AD.证明：
（1）如图，连结AC
在直三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形.又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N,即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点.•…因为M为线段A1B的中点，
所以MN//BC.
又MN%平面BB1C1C,BC?
平面BB1C1C,所以MN//平面BB1C1C.
（2）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1丄平面ABC.又AD?
平面ABC，所以CC1丄AD.
14分
因为AD丄DC1,DC1?
平面BB1C1C,CC1?
平面BB1C1C,CC1QDC1=C1,所以AD丄平面BB1C1C.
又BC?
平面BB1C1C，所以AD丄BC.又由
（1）知，MN//BC,所以MN丄AD.
17.
（本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心,
为直径），现计划对其进行改建•在AB的延长线上取
点D,OD=80m，在半圆上选定一点C,改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其
面积为Sm2.设/AOC=xrad.
（1）写出S关于x的函数关系式S（x）,并指出x的取值范围；
（2）试问/AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值.
AB
解：
（1）因为扇形AOC的半径为40m,/AOC=xrad,
xOA2
所以扇形AOC的面积S扇形aoc=—2=800x,0Vxvn
在ACOD中，OD=80,OC=40,/COD=n-x,
所以ACOD的面积Sacod=2OCODsin/COD=1600sin（-nx）=1600sinx.
从而S=Szcod+S扇形aoc=1600sinx+800x,0vxvn
⑵由
（1）知，S（x）=1600sinx+800x,0vxvn
S'
（x）=1600cosx+800=1600（cosx+?
）.
由S'
x）=0,解得x=
从而当0vxv
x）>
0;
当^^Vxvn时，S'
x（v0.
3
,、,2n2n
因此s（x）在区间（0,―）上单调递增；
在区间（§
n上单调递减.11分
所以当x=争s（x）取得最大值.
答：
当/AOC为；
中寸，改建后的绿化区域面积S最大.
18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q,设PF1=扃Q.
（1）若点P的坐标为（1,2），且APQF2的周长为8,求椭圆C的方程；
⑵若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e€[|,子]，求实数入的取值范围.
解:
（1）因为F1,F2为椭圆C的两焦点，且P,Q为椭圆上的点，所以PF1+PF2=QF1+QF2=2a，从而APQF2的周长为4a.由题意，得4a=8，解得a=2.
319
因为点P的坐标为（1,2）,所以护+4b2=1,
解得b2=3.
所以椭圆C的方程为x+y=1.5分
43
（2）方法一：
因为PF2丄x轴，且P在x轴上方，故设P（c,y。
）,因为P在椭圆上，所以：
：
+常=J解得y0=£
，即P（C,f）.
y0>
0.设Q（X1,y1）.
7分
因为F1（—c,0），所以PF1=（—2c,
b2
—a）,
F1Q=（X1+c,
y1）.
TTb2
由PF1=?
F1Q，得—2c=心1+c）,——=M,a
解得X1=—^c,y1=—号，所以Q（—fc,—号因为点Q在椭圆上，所以（入:
2）2e2+^2^=1,
A兀a
即（H2）2e2+（1—e2）=*,（*+4H3洽=*—1,因为H1丰0,
x+c）,
得（4c2+b2）x2+2b2cx+c2（b2—4a2）=o.
一1
⑵数列｛bn｝满足b1=a1,bn+1—bn=an.an+1.
1求数列｛bn｝的通项公式；
2是否存在正整数m,n（m^n），使得b2,bm,bn成等差数列？
若存在，求出
的值；
若不存在，请说明理由.
（1）设数列｛an｝的公差为d,则d>
0.
由a2a3=15,S4=16,得
解得al或a二2.
所以an=2n—1.
（舍去）
（a1+d）（a1+2d）=15,
4a1+6d=16,
1
（2）①因为b1=a1,bn+1—bn=,
anan+1
所以b1=a1=1,
11_1_
bn+1一bn=anan+1=（2n—1）（2n+1）=2（2n—12n+1）,即b2—b1=2（1—；
）,
111
b3—b2=2（3—5），
bn—bn-1=一（—）,（n》2）
2、2n-32n-
11n—1
累加得：
bn—b1=c（1一）=
2'
2n—12n—1
n—1n—13n—2
所以bn=b1+=1+=——•
2n—12n—12n—1
b1=1也符合上式.
故bn=3^—2,n€N*.
2n—1
②假设存在正整数m、n（mzn）,使得b2,bm,bn成等差数列，则b2+bn=2bm.
又b一4b_3n—2=3一1
又b2=3，bn=2n_1=2—4n—2
b=3—^^
，bm=24m—2，
=Z.+
4z3131卄
所以3+（2一4n—2）=2（2一4m—2），即2m—16'
4n—2'
7n—29
化简得：
2m=7n—2=7—十.
n+1n+1
当n+1=3，即n=2时，m=2,（舍去）;
当n+1=9，即n=8时，m=3,符合题意.所以存在正整数m=3,n=8,使得b2,bm,bn成等差数列.
20.（本小题满分16分）已知函数f（x）=ax2—bx+lnx,a,b€R.
（1）当a=b=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当b=2a+1时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）当a=1,b>
3时，记函数f（x）的导函数f'
（x）的两个零点是
3—f（x2）>
4—ln2.
（1）因为a=b=1，所以f（x）=x2—x+lnx,
1从而f'
x）=2x—1+.
x
因为f
（1）=0,f
（1）=2，故曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为即2x—y—2=0.
（2）因为b=2a+1,所以f（x）=ax2—（2a+1）x+lnx,
…,12ax2—（2a+1）x+1（2ax—1）（x—1）
从而f'
（x）=2ax—（2a+1）+_=11
xx
当aw0时，x€（0,1）时,f'
（x）>
0,x€（1,所以，f（x）在区间（0,1）上单调递增，在区间当0vav*时，由f'
0，得0vxv1,或
16分
X1和X2（x1VX2）.求证：
f（X1）
y—0=2（x-1）,
所以f（x）在区间（0，1）和区间
x>
+m）时，f（x）v0,
（1,+m）上单调递减.
11
x>
;
由f'
（x）v0，得1vxv1,2a2a
+m）上单调递增，在区间（1,£
）上单调递减.
当a=2时，因为f'
（x）》0（当且仅当x=1时取等号），所以f（x）在区间（0,+8）上单调递增.
，由f'
0,得0vxv务，或x>
1;
（x）V0,得2^vxv1,
11
所以f（x）在区间（0,2a）和区间（1,+^）上单调递增，在区间（2a，1）上单调递减・
2yX—bx+1⑶方法一：
因为a=1，所以f（x）=x2—bx+lnx,从而f（x）=（x>
0）.
1由题意知，X1,x2是方程2x2—bx+1=0的两个根，故X1X2=2.
12分
22X1.22X1
f（x1）—f（x2）=（X1—X2）—（bx1—bx2）+In=—（X1—X2）+In.
2X2
因为X1X2=2，所以f（X1）—f（X2）=X22—4X^—In（2X22）,X2€（1,+8）.
t1令t=2X22€（2,+^）,（f）（t）=f（X1）—f（x2）=2—2t—Int.
0（'
t）=（t2t^）》0,所以根）在区间（2,+^）单调递增，
33
Ht）>
（K2）=4—In2,即f（x"
—f（x2）>
4—In2.••…
因为
所以
方法二:
2x2—bx+1
因为a=1,所以f（x）=x2—bx+Inx,从而f'
（x）=（x>
0）.
由题意知，X1,X2是方程2x2—bx+1=0的两个根.
3—b
2v0,g
（1）=3—bv0,
记g（x）=2x2—bx+1，因为b>
3,所以g（；
）
所以X1€（0,2）,X2€（1,+s），且f（x）在［X1,X2］上为减函数.
11b,13b,
所以f（X1）—f（x2）>
f
（2）—f
（1）=（4—2+In2）—（1—b）=—4+2―In2.
因为b>
3,故f（x1）—f（x2）>
—3+—In2>
-—In2.
3,所以g
（2）=色2上<
0,g
（1）=3—bv0,
所以捲€（0,2）,x2€（1,+s），且bxi=2xi2+1（i=1,2）.
数学附加题2016.09
注意事项：
1•附加题供选修物理的考生使用.
2.本试卷共40分，考试时间30分钟.
3•答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上•试题的答案写在答题卡...上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.
21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分•请在答.卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4—1:
几何证明选讲
如图，AB为圆O的一条弦，C为圆O外一点.CA,CB分别交圆O于D,E两点.若
AB=AC,EF丄AC于点F，求证：
F为线段DC的中点.证明：
因为点A、D、E、B在圆O上，即四边形ADEB是圆内接
四边形，
所以/B=ZEDC.3分
因为AB=AC,所以/B=ZC.5分
所以/C=ZEDC，从而ED=EC.7分
又因为EF丄DC于点F，所以F为线段DC中点.…10分B.选修4—2:
矩阵与变换
2—210
已知矩阵A=,B=，设M=AB.
1—30—1
（1）求矩阵M;
（2）求矩阵M的特征值.
2—21022解：
（1）M=AB==
⑵矩阵M的特征多项式为f（R=
^—2—2
=（入一2）（入一3）—2
—1—3
1—30—113
10分
令f（为=0，解得入=1,?
2=4,所以矩阵M的特征值为1或4.
C.选修4—4:
坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程为尸2cosB,直线I的极坐标方程为psin（0+f）=m.若直线I
与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值.
曲线C的极坐标方程为p=2cos0化为直角坐标方程为x2+y2=2x.
即（x—1）2+y2=1,表示以（1,0）为圆心，1为半径的圆.3分
直线I的极坐标方程是pin（0+n=m,即丁如卅罗pin0=m,
化为直角坐标方程为x+3y—2m=0.6分
因为直线I与曲线C有且只有一个公共点，
所以|1—2m|=1，解得m=—或m=2.
所以，所求实数m的值为—1或2-10分
D.选修4—5:
不等式选讲
解不等式|x—1|+2|x|w4x.
原不等式等价于
XW0,
1-x-2x<
4x，
x<
0,
1-x-2x<
4x,
0vx<
1,
1-x+2x<
1,
x-1+2x<
得x€;
得3Wx<
1；
得x>
1.
（第22题）
0vx<
1,亠x>
1—x+2xw4x，或x-1+2xw4x.
、1
所以原不等式的解集为【3，+8）.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答卷卡指定区域内作答•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.（本小题满分10分）如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PD丄底面ABCD,
PD=DC,点E是线段PC的中点.
（1）求异面直线AP与BE所成角的大小；
⑵若点F在线段PB上,使得二面角F—DE-B的正弦值为品求圧的值
3'
求PB的值.
（1）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD丄底面ABCD，所以DA、DC、DP两两垂直，故以｛DA,DC,DP｝为正交基底，建立空间直角坐标系D-xyz.
因为PD=DC，所以DA=DC=DP，不妨设DA=DC=DP=2,
则D（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,P（0,0,2）,B（2,2,0）.
x』AB
因为E是PC的中点，所以E（0,1,1）.
所以DP=（-2,0,2）,DE=（-2,-1,1）,
所以cos矗，Be=APBE=3,
DD2
|AP||BE|
从而云卩,de=n
6
因此异面直线AP与BE所成角的大小为n.…4分
（2）由
（1）可知，DE=（0,1,1）,DB=（2,2,0）,DB=（2,2,-2）.
设侖=XPB,则BF=（2人2入-2,从而DF=DP
+DF=（2人2人2-2为.
设m=（X1,y1,Z1）为平面DEF的一个法向量，
则mDF=0,即恥+“计（1-0,
D0y1+Z1=0,
mDE=0,，
取z1=入贝Vy1=-入X1=2-1.
所以m=（211,—人为为平面DEF的一个法向量.
设n=（X2,y2,Z2）为平面DEB的一个法向量，
则n抚=0，即2x2+2y2=0，
nDE=0,y2+Z2=0，
取X2=1,贝yy2=-1,Z2=1.
所以n=（1,—1,1）为平面BDE的一个法向量.
因为二面角F—DE—B的正弦值为33，所以二面角F—DE—B的余弦的绝对值为3
即|cosm,n|=誓,
所以|mn|=x6|411丨=远
所|m||n「3，3•（2入—1）2+2旷3，
化简得，4*=1,因为点F在线段PB上，所以0W疋1,
PF_1
PB=2
23.（本小题满分10分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜•投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为2，乙每次投篮命中
5
的概率为2,且各次投篮互不影响.现由甲先投.
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列与期望.
（1）设甲第i次投中获胜的事件为Ai（i=1,2,3），则A1,A2,A3彼此互斥.
甲获胜的事件为A1+A2+A3.
231223122
P（A）=5；
P（A2）=5X3X5=25；
卩斫（广（广5F
22262
甲获胜的概率为
62
125.
所以P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=5+25+125=125.
（2）X所有可能取的值为1,2,3.
2324231324311
则P（X=1）=5+5X3=5；
P（X=2）=25+5X3X5X3=25；
P（X=3）=（5〃（3〃1=25即X的概率分布列为
X
P
_4
25
所以X的数学期望E（X）=1X5+2X25+3X右二卷.
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